Cardinal Woodin - Woodin cardinal

En théorie des ensembles , un cardinal Woodin (nommé d'après W. Hugh Woodin ) est un nombre cardinal λ tel que pour toutes les fonctions

f  : λ → λ

il existe un cardinal κ <λ avec

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

et un encastrement élémentaire

j  : V M

de l' univers Von Neumann V dans un modèle interne transitif M de point critique κ et

V j (f) (κ) M .

Une définition équivalente est la suivante: λ est Woodin si et seulement si λ est fortement inaccessible et pour tout , il existe un <λ qui est - -Forte.

être - des moyens pour que tous Forte prise ordinaux a <λ, il existe un qui est un plongement élémentaire avec point critique , , et . (Voir aussi cardinal fort .)

Un cardinal Woodin est précédé d'un ensemble stationnaire de cardinaux mesurables , et donc c'est un cardinal Mahlo . Cependant, le premier cardinal Woodin n'est même pas faiblement compact .

Conséquences

Les cardinaux de Woodin sont importants dans la théorie descriptive des ensembles . Par un résultat de Martin et Steel , l'existence d'une infinité de cardinaux Woodin implique une détermination projective , qui à son tour implique que chaque ensemble projectif est mesurable Lebesgue , a la propriété de Baire (diffère d'un ensemble ouvert par un ensemble maigre , c'est-à-dire un ensemble qui est une union dénombrable d' ensembles denses nulle part ), et la propriété d'ensemble parfait (est dénombrable ou contient un sous-ensemble parfait ).

La cohérence de l'existence des cardinaux de Woodin peut être prouvée à l'aide d'hypothèses de détermination. En travaillant dans ZF + AD + DC, on peut prouver que Woodin est dans la classe des ensembles héréditairement ordinal-définissables. est le premier ordinal sur lequel le continuum ne peut pas être mappé par une surjection ordinal-définissable (voir Θ (théorie des ensembles) ).

Shelah a prouvé que si l'existence d'un cardinal de Woodin est cohérente alors il est cohérent que l'idéal non stationnaire sur ω 1 est -saturé. Woodin a également prouvé l'équiconsistance de l'existence d'une infinité de cardinaux Woodin et l'existence d'un idéal -dense over .

Cardinaux Hyper-Woodin

Un cardinal κ est appelé hyper-Woodin s'il existe une mesure normale U sur κ telle que pour tout ensemble S , l'ensemble

{λ <κ | λ est <κ- S - fort }

est en U .

λ est <κ-S-fort si et seulement si pour chaque δ <κ il y a une classe transitive N et un plongement élémentaire

j: V → N

avec

λ = crit (j),
j (λ) ≥ δ, et
.

Le nom fait allusion au résultat classique qu'un cardinal est Woodin si et seulement si pour chaque ensemble S , l'ensemble

{λ <κ | λ est <κ- S - fort }

est un ensemble stationnaire

La mesure U contiendra l'ensemble de tous les cardinaux Shelah ci-dessous κ.

Cardinaux faiblement hyper-Woodin

Un cardinal κ est appelé faiblement hyper-Woodin si pour tout ensemble S il existe une mesure normale U sur κ telle que l'ensemble {λ <κ | λ est <κ- S -Forte} est en U . λ est <κ-S-fort si et seulement si pour chaque δ <κ il y a une classe transitive N et un plongement élémentaire j: V → N avec λ = crit (j), j (λ)> = δ, et

Le nom fait allusion au résultat classique qu'un cardinal est Woodin si pour tout ensemble S , l'ensemble {λ <κ | λ est <κ- S - fort } est stationnaire.

La différence entre les cardinaux hyper-Woodin et les cardinaux faiblement hyper-Woodin est que le choix de U ne dépend pas du choix de l'ensemble S pour les cardinaux hyper-Woodin.

Notes et références

Lectures complémentaires

  • Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings (2e éd.). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
  • Pour des preuves des deux résultats énumérés dans les conséquences, voir Handbook of Set Theory (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (à paraître). Des ébauches de certains chapitres sont disponibles.
  • Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, en ligne
  • Steel, John R. (octobre 2007). "Qu'est-ce qu'un Woodin Cardinal?" ( PDF ) . Avis de l'American Mathematical Society . 54 (9): 1146–7 . Récupéré le 15 janvier 2008 .