Zitterbewegung - Zitterbewegung

En physique , le zitterbewegung (« mouvement nerveux » en allemand ) est le mouvement oscillatoire rapide prédit de particules élémentaires qui obéissent à des équations d'onde relativistes . L'existence d'un tel mouvement a été discutée pour la première fois par Gregory Breit en 1928 et plus tard par Erwin Schrödinger en 1930 à la suite de l'analyse des solutions de paquets d'ondes de l' équation de Dirac pour les électrons relativistes dans l'espace libre, dans laquelle une interférence entre l' énergie positive et négative états produit ce qui semble être une fluctuation (jusqu'à la vitesse de la lumière) de la position d'un électron autour de la médiane, avec une fréquence angulaire de 2 mc ²/??, ou environ 1,6 × 10 ²¹ radians par seconde. Pour l' atome d'hydrogène , le zitterbewegung peut être invoqué comme un moyen heuristique de dériver le terme de Darwin , une petite correction du niveau d'énergie des orbitales s .

Théorie

Fermion libre

L' équation de Dirac dépendante du temps s'écrit sous la forme

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

où est la constante de Planck (réduite) , est la fonction d'onde ( bispinor ) d'une particule fermionique spin-½ , et H est l' hamiltonien de Dirac d'une particule libre : ${\style d'affichage \hbar }$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c}$,

où est la masse de la particule, est la vitesse de la lumière , est l' opérateur de quantité de mouvement , et et sont des matrices liées aux matrices Gamma , as et . ${\textstyle m}$${\textstyle c}$${\textstyle p_{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\textstyle \gamma _{\mu }}$${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$

Dans l' image de Heisenberg , la dépendance temporelle d' une observable Q arbitraire obéit à l' équation

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\gauche[H,Q\droit].}$

En particulier, la dépendance temporelle de l' opérateur de position est donnée par

${\displaystyle {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\ alpha _{k}}$.

où x _k ( t ) est l' opérateur de position au temps t .

L'équation ci-dessus montre que l'opérateur α _k peut être interprété comme la k -ième composante d'un "opérateur de vitesse".

Notez que cela implique que

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

comme si la "vitesse quadratique moyenne" dans toutes les directions de l'espace était la vitesse de la lumière.

Pour ajouter une dépendance temporelle à α _k , on implémente l'image de Heisenberg, qui dit

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$.

La dépendance temporelle de l'opérateur vitesse est donnée par

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\ gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)}$,

où

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

Maintenant, parce que p _k et H sont indépendants du temps, l'équation ci-dessus peut facilement être intégrée deux fois pour trouver la dépendance explicite du temps de l'opérateur de position.

D'abord:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{ \hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$,

et enfin

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^ {-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}- 1\à droite)}$.

L'expression résultante consiste en une position initiale, un mouvement proportionnel au temps et un terme d'oscillation avec une amplitude égale à la longueur d'onde de Compton réduite . Ce terme d'oscillation est ce qu'on appelle le zitterbewegung.

Interprétation comme artefact

En mécanique quantique, le terme zitterbewegung disparaît en prenant des valeurs attendues pour des paquets d'ondes entièrement constitués d'ondes d'énergie positive (ou entièrement négative). La vitesse relativiste standard peut être récupérée en prenant une transformation de Foldy-Wouthuysen , lorsque les composantes positives et négatives sont découplées. Ainsi, nous arrivons à l'interprétation du zitterbewegung comme étant causé par une interférence entre les composantes d'onde d'énergie positive et négative.

En électrodynamique quantique, les états d'énergie négative sont remplacés par des états de positron , et le zitterbewegung est compris comme le résultat de l'interaction de l'électron avec des paires électron-positon se formant et s'annihilant spontanément .

Plus récemment, il a été noté que dans le cas des particules libres, il pourrait s'agir simplement d'un artefact de la théorie simplifiée. Le Zitterbewegung apparaît comme dû aux "petites composantes" du dirac 4-spinor, dues à un peu d'antiparticule mélangée dans la fonction d'onde de la particule pour un mouvement non relativiste. Il n'apparaît pas dans la seconde théorie quantifiée correcte , ou plutôt, il est résolu en utilisant des propagateurs Feynman et en faisant QED . Néanmoins, c'est une manière intéressante de comprendre certains effets QED de manière heuristique à partir de l'image d'une seule particule.

Simulation expérimentale

Le Zitterbewegung d'une particule relativiste libre n'a jamais été observé directement, bien que certains auteurs pensent avoir trouvé des preuves en faveur de son existence. Il a également été simulé deux fois dans des systèmes modèles qui fournissent des analogues de la matière condensée du phénomène relativiste. Le premier exemple, en 2010, a placé un ion piégé dans un environnement tel que l'équation de Schrödinger non relativiste pour l'ion ait la même forme mathématique que l'équation de Dirac (bien que la situation physique soit différente). Puis, en 2013, il a été simulé dans une configuration avec des condensats de Bose-Einstein .

D'autres propositions d'analogues de la matière condensée incluent les nanostructures semi-conductrices, le graphène et les isolants topologiques .

Voir également

• Effet Casimir
• Changement d'agneau

Les références

Lectures complémentaires

• Messie, A. (1962). "XX, article 37" (pdf) . Mécanique Quantique . II . p. 950–952. ISBN 9780471597681.

Liens externes

• Zitterbewegung dans le nouveau scientifique
• Algèbre géométrique en mécanique quantique