Ensemble absolument convexe - Absolutely convex set

En mathématiques , un sous - ensemble C d'un espace vectoriel réel ou complexe est dit absolument convexe ou en disque s'il est convexe et équilibré (certaines personnes utilisent le terme "cerclé" au lieu de "équilibré"), auquel cas on l'appelle un disque . L' enveloppe discale ou l' enveloppe convexe absolue d'un ensemble est l' intersection de tous les disques contenant cet ensemble.

Définition

La zone gris clair est l'enveloppe absolument convexe de la croix.

Si est un sous-ensemble d'un espace vectoriel réel ou complexe, nous appelons un disque et disons qu'il est en forme de disque , absolument convexe et convexe équilibré si l'une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite : ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$

1. ${\style d'affichage S}$est convexe et équilibré ;
2. pour tous les scalaires et si alors ;${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b,}$${\style d'affichage |a|+|b|\leq 1}$${\displaystyle aS+bS\subseteq S}$
3. pour tous les scalaires et si alors ;${\style d'affichage a,b,}$${\style d'affichage c,}$${\style d'affichage |a|+|b|\leq |c|,}$${\displaystyle aS+bS\subseteq cS}$
4. pour tous les scalaires si alors ;${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq 1}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S}$
5. pour tous les scalaires si alors ;${\displaystyle c,a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq |c|}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS}$

Rappelons que le plus petit sous-ensemble convexe (resp. équilibré ) contenant un ensemble est appelé l' enveloppe convexe (resp. l'enveloppe équilibrée) de cet ensemble et est noté (resp. ). ${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

De même, nous définissons l' enveloppe disque , l' enveloppe convexe absolue , ou l' enveloppe équilibrée convexe d'un ensemble est définie comme étant le plus petit disque (par rapport à l' inclusion de sous-ensemble ) contenant L'enveloppe disque de sera notée ou et elle est égale à chacun des ensembles suivants : ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S.}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {disk} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right),}$qui est l'enveloppe convexe de l' enveloppe équilibrée de ; ainsi, ; ${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right)}$
   • Notons cependant qu'en général, même en dimensions finies ,${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right),}$
2. l'intersection de tous les disques contenant ${\style d'affichage S,}$
3. ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A ,\,\sum _{i=1}^{n}\left|\lambda _{i}\right|\leq 1\right\},}$ où sont les éléments du champ sous-jacent .${\displaystyle \lambda _{i}}$

Conditions suffisantes

• L'intersection d'un nombre arbitraire d'ensembles absolument convexes est encore une fois absolument convexe ; cependant, les unions d'ensembles absolument convexes n'ont plus besoin d'être absolument convexes.
• si est un disque dans alors est absorbant dans si et seulement si${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Propriétés

• Si est un absorbant disque dans un espace vectoriel alors il existe un disque absorbant dans de telle sorte que${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle E+E\subseteq S.}$
• L'enveloppe équilibrée convexe de contient à la fois l'enveloppe convexe de et l'enveloppe équilibrée de . De plus, il contient l'enveloppe équilibrée de l'enveloppe convexe de , mais, comme indiqué, l'inclusion peut être stricte (comme elle peut ne pas être convexe, cf exemple).${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$
• L'enveloppe absolument convexe d'un ensemble borné dans un espace vectoriel topologique localement convexe est à nouveau bornée.
• Si est un disque borné dans un TVS et si est une séquence dans alors les sommes partielles sont Cauchy , où pour tout${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage D,}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\style d'affichage n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$
  • En particulier, si en plus est un sous-ensemble
  séquentiellement complet de alors cette série converge vers un certain point de${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage D.}$

Exemples

Bien que la coque convexe équilibrée de est pas nécessairement égale à la coque équilibrée de la coque convexe de Pour un exemple où nous allons être le véritable espace vectoriel et de laisser ensuite est un sous - ensemble strict de qui est même pas convexe. En particulier, cet exemple montre également que l'enveloppe équilibrée d'un ensemble convexe n'est pas nécessairement convexe. Pour voir cela, note qui est égale au carré fermée avec des sommets et tout est fermé « sablier en forme de » sous - ensemble de forme qui coupe la -AXIS à l'origine et est l'union de deux triangles: un dont les sommets sont à l'origine le long avec et l'autre triangle dont les sommets sont l'origine avec${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right),}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S.}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$${\style d'affichage (1,-1)}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$

Voir également

• Ensemble absorbant  - Un ensemble qui peut être "gonflé" pour éventuellement toujours inclure un point donné dans un espace
• Ensemble équilibré  – Construire en analyse fonctionnelle
• Ensemble borné (espace vectoriel topologique)
• Ensemble convexe  - En géométrie, ensemble qui coupe chaque ligne en un seul segment de ligne
• Domaine étoilé
• Ensemble symétrique
• Vecteur (géométrique) , pour les vecteurs en physique
• Champ vectoriel  – Affectation d'un vecteur à chaque point d'un sous-ensemble de l'espace euclidien

Les références

Bibliographie

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espaces vectoriels topologiques . Cambridge Tracts en mathématiques. 53 . Presse de l'Université de Cambridge . p. 4–6.
• Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, HH (1999). Espaces vectoriels topologiques . Presse Springer-Verlag . p. 39.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .