Ensemble absorbant - Absorbing set

En analyse fonctionnelle et dans les domaines mathématiques connexes, un ensemble absorbant dans un espace vectoriel est un ensemble S qui peut être « gonflé » ou « mis à l'échelle » pour éventuellement toujours inclure un point donné de l'espace vectoriel. Les termes alternatifs sont ensemble radial ou absorbant .

Définition

Supposons que soit un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou des nombres complexes${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Notation

Produits de scalaires et de vecteurs

Pour toute location ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty ,}$

désigner la boule fermée (respectivement, la boule ouverte ) de rayon dans centré à${\style d'affichage r}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\style d'affichage 0.}$

Pour tous les sous - ensembles et et tout et définir ${\style d'affichage A\subseteq X}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} ,}$${\displaystyle x\in X,k_{0}\in \mathbb {K} ,}$${\displaystyle -\infty \leq r\leq R\leq \infty ,}$

de sorte qu'en particulier,

Un ensemble absorbant un autre

Si et sont des sous-ensembles de then, on dit qu'il absorbe s'il satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes : ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage A}$ ${\style d'affichage S}$

1. Définition : Il existe un réel pour tout scalaire satisfaisant${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}S\subseteq cA}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage |c|\geq r.}$
   • Si le champ scalaire est alors intuitivement, « absorbe » signifie que si est perpétuellement « mis à l' échelle » ou « gonflé » ( se référant à des ) puis finalement , tout contiendra (pour suffisamment grand); de même, tout finira aussi par contenir (pour suffisamment grand).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage tA}$${\style d'affichage t\à \infty }$${\style d'affichage tA}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage tA}$${\style d'affichage -S}$${\style d'affichage t>0}$
   • Cette définition dépend de la norme canonique sur le champ scalaire sous-jacent, qui lie cette définition à la topologie euclidienne habituelle sur le champ scalaire.
2. Il existe un réel pour chaque scalaire satisfaisant${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}cS\subseteq A}$${\style d'affichage c\neq 0}$${\style d'affichage |c|\leq r.}$
   • S'il est connu que la restriction peut être supprimée, en donnant la caractérisation : Il existe un réel pour chaque scalaire satisfaisant${\style d'affichage 0\dans A}$${\style d'affichage c\neq 0}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}cS\subseteq A}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage |c|\leq r.}$
3. Il existe un vrai ${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}\left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq A.}$
   • La boule fermée (avec l'origine supprimée) peut être utilisée à la place de la boule ouverte, donnant la caractérisation suivante.
4. Il existe un vrai ${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}\left({\overline {B_{r}}}\setminus \{0\}\right)S\subseteq A.}$

Si est un ensemble équilibré, alors à cette liste peut être ajouté : ${\style d'affichage A}$

5. Il existe un scalaire ${\displaystyle c\neq 0{\text{ tel que }}S\subseteq cA.}$
6. Il existe un scalaire ${\displaystyle c\neq 0{\text{ tel que }}cS\subseteq A.}$

On dit qu'un ensemble absorbe un point si et seulement s'il absorbe l' ensemble singleton Un ensemble absorbe l'origine si et seulement s'il contient l'origine ; c'est-à-dire si et seulement si${\style d'affichage x}$ ${\style d'affichage \{x\}.}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage 0\dans A.}$

Ensemble absorbant

Un sous - ensemble d'un espace vectoriel sur un champ est appelé absorbant ou absorbant dans s'il satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes (ici ordonnées de sorte que chaque condition soit une conséquence facile de la précédente, à commencer par la définition) : ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\style d'affichage X}$

1. Définition : Pour chaque absorbe${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage \{x\}.}$
   • Donc en particulier, ne peut pas être absorbant si${\style d'affichage A}$${\displaystyle 0\pas \in A.}$
2. Pour tout il existe un réel pour tout scalaire satisfaisant${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}x\in cA}$${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$${\style d'affichage |c|\geq r.}$
3. Pour tout il existe un réel pour tout scalaire satisfaisant${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}cx\in A}$${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$${\style d'affichage |c|\leq r.}$
4. Pour chaque il existe un vrai${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}B_{r}x\subseteq A.}$
   • Voici la boule ouverte de rayon en centrée à l'origine et${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\left\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\right\}}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle B_{r}x:=\left\{cx:c\in B_{r}^{\mathbb {K} }\right\}=\left\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ et }}|c|<r\right\}.}$
   • La boule fermée peut être utilisée à la place de la boule ouverte.
5. Pour chaque il existe un réel où${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • Preuve : Ceci découle de la condition précédente puisque de sorte que si et seulement si${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x,}$${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
   • Connexion à la topologie : Si on donne sa topologie euclidienne de Hausdorff habituelle alors l'ensemble est un voisinage de l'origine dans donc, il existe un réel si et seulement si est un voisinage de l'origine dans${\displaystyle \mathbb {K} x}$${\style d'affichage B_{r}x}$${\displaystyle \mathbb {K} x;}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$${\displaystyle \mathbb {K} x.}$
   • Chaque sous-espace vectoriel à 1 dimension de est de la forme pour certains non nuls et si cet espace à 1 dimension est doté de l'unique topologie vectorielle de Hausdorff, alors l'application définie par est nécessairement un isomorphisme TVS (où, comme d'habitude, a le topologie euclidienne normée).${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle \mathbb {K} x}$${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$${\displaystyle c\mapsto cx}$${\displaystyle \mathbb {K} }$
6. ${\style d'affichage A}$contient l'origine et pour chaque sous-espace vectoriel à une dimension de est un voisinage de l'origine dans quand est donné sa topologie vectorielle de Hausdorff unique . ${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y}$
   • La topologie vectorielle de Hausdorff sur un espace vectoriel à 1 dimension est nécessairement TVS-isomorphe à sa
   topologie euclidienne normée habituelle .${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. Intuition : Cette condition montre qu'il est naturel que tout voisinage de 0 dans n'importe quel espace vectoriel topologique (TVS) soit absorbant : si est un voisinage de l'origine dans alors il serait pathologique s'il existait un sous-espace vectoriel à 1 dimension dans lequel n'était pas un voisinage de l'origine dans au moins certaines topologies TVS sur Les seules topologies TVS sur sont la topologie euclidienne de Hausdorff et la topologie triviale, qui est un sous-ensemble de la topologie euclidienne. Par conséquent, il est naturel de s'attendre à être un voisinage de dans la topologie euclidienne pour tous les sous-espaces vectoriels à une dimension, ce qui est exactement la condition qui est absorbante dans Le fait que tous les voisinages de l'origine dans tous les TVS soient nécessairement absorbants signifie que ce le comportement pathologique ne se produit pas. La raison pour laquelle la topologie euclidienne est distinguée est finalement due à l'exigence de définition sur les topologies TVS que la multiplication scalaire soit continue lorsque le champ scalaire reçoit la topologie euclidienne.${\style d'affichage X}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle U\cap Y}$${\style d'affichage Y.}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle U\cap Y}$${\style d'affichage 0}$${\style d'affichage Y,}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X.}$${\displaystyle \mathbb {K} \fois X\à X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$
8. Cette condition est équivalente à : For every est un voisinage de in quand est donnée sa topologie TVS de Hausdorff unique.${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$${\style d'affichage 0}$${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
9. ${\style d'affichage A}$contient l'origine et pour chaque sous-espace vectoriel à une dimension de est absorbant dans le${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$${\style d'affichage Y.}$
   • Ici, "absorber" signifie absorber selon toute condition de définition autre que celle-ci.
   • Cela montre que la propriété d'être absorbant dans dépend uniquement de la façon dont se comporte par rapport aux sous-espaces vectoriels de dimension 1 (ou 0) de En revanche, si un sous-espace vectoriel de dimension finie de a une dimension alors être absorbant dans n'est plus suffisant pour garantir que est un quartier de l'origine dans quand est doté de sa topologie TVS de Hausdorff unique (bien que ce soit toujours une condition nécessaire). Pour que cela se produise, il suffit d'être un tonneau dans ce Hausdorff TVS (car tout espace euclidien de dimension finie est un espace tonneau ).${\style d'affichage X}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage n>1}$${\displaystyle A\cap Z}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle A\cap Z}$${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle A\cap Z}$${\style d'affichage Z}$

Si alors à cette liste peuvent être annexés : ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

8. L' intérieur algébrique de contient l'origine (c'est-à-dire ).${\style d'affichage A}$${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

Si est équilibré alors à cette liste peut être ajouté : ${\style d'affichage A}$

9. Pour chaque il existe un scalaire${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle c\neq 0{\text{ tel que }}x\in cA.}$

Si est convexe ou équilibré alors à cette liste peut être ajouté : ${\style d'affichage A}$

10. Pour tout il existe un réel positif${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}rx\in ​​A.}$
    • La preuve qu'un ensemble équilibré satisfaisant cette condition est nécessairement absorbant est presque immédiate à partir de la définition d'un "ensemble équilibré".${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X}$
    • La preuve qu'un ensemble convexe satisfaisant cette condition est nécessairement absorbant en est moins triviale (mais pas difficile). Une preuve détaillée est donnée dans cette note de bas de page et un résumé est donné ci-dessous. ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X}$
      • Résumé de la preuve : Par hypothèse, pour tout non nul il est possible de choisir un réel positif et tel que et de telle sorte que l'ensemble convexe contienne le sous-intervalle ouvert qui contient l'origine (l'ensemble est aussi appelé un intervalle car tout non- sous-ensemble convexe vide de est un intervalle). Donnez sa topologie vectorielle de Hausdorff unique pour qu'il reste à montrer qu'il s'agit d'un voisinage de l'origine dans Si alors nous avons terminé, supposons donc que L'ensemble est une union de deux intervalles, dont chacun contient un sous-intervalle ouvert qui contient l'origine ; de plus, l'intersection de ces deux intervalles est précisément l'origine. Ainsi, dont l'enveloppe convexe est contenue dans l'ensemble convexe contient clairement une boule ouverte autour de l'origine.${\displaystyle 0\neq y\in X,}$${\style d'affichage r>0}$${\style d'affichage R>0}$${\displaystyle Ry\dans A}$${\displaystyle r(-y)\dans A}$${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$${\displaystyle (-r,R)y:=\left\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \right\},}$${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {K} y}$${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$${\displaystyle \mathbb {K} y.}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$${\displaystyle S\,:=\,\left(A\cap \mathbb {R} y\right)\,\cup \,\left(A\cap \mathbb {R} (iy)\right)\, \subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$${\style d'affichage S,}$${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$${\displaystyle \blacksquare }$
11. Pour tout il existe un réel positif${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle r>0{\text{ tel que }}x\in rA.}$
    • Cette condition est équivalente à : chaque appartient à l'ensemble Cela se produit si et seulement si ce qui donne la caractérisation suivante.${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle \bigcup _{0<r<\infty }rA=\left\{ra:0<r<\infty ,a\in A\right\}=(0,\infty )A.}$${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
12. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • On peut montrer que pour tout sous - ensemble de si et seulement si${\style d'affichage T}$${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage (0,\infty )T=X}$${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing {\text{ pour chaque }}x\in X.}$
13. Pour chaque où${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing ,}$${\displaystyle (0,\infty )x:=\{rx:0<r<\infty \}}$

Si (ce qui est nécessaire pour être absorbant) alors il suffit de vérifier l'une des conditions ci-dessus pour tous les non nuls plutôt que tous${\style d'affichage 0\dans A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage x\dans X,}$${\style d'affichage x\dans X.}$

Exemples et conditions suffisantes

Pour qu'un ensemble en absorbe un autre

Soit une application linéaire entre les espaces vectoriels et soit des ensembles équilibrés. Puis absorbe si et seulement si absorbe${\style d'affichage F:X\à Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Y}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage F(B)}$${\style d'affichage F^{-1}(C)}$${\style d'affichage B.}$

Si un ensemble absorbe un autre ensemble alors tout surensemble de absorbe également Un ensemble absorbe l'origine si et seulement si l'origine est un élément de${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B.}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A.}$

Pour qu'un ensemble soit absorbant

Dans un espace vectoriel semi-normé la boule unité est absorbante. Plus généralement, si est un espace vectoriel topologique (TVS) alors tout voisinage de l'origine dans est absorbant dans Ce fait est l'une des principales motivations pour définir même la propriété « absorbant dans » ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage X.}$

Si est un disque dans alors de sorte qu'en particulier, est un sous-ensemble absorbant de Ainsi si est un disque dans alors est absorbant dans si et seulement si${\displaystyle D\neq \varnothing }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$${\style d'affichage D}$${\displaystyle \operatorname {span} D.}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Tout surensemble d'un ensemble absorbant est absorbant. Ainsi, l'union de toute famille d'ensembles absorbants (un ou plusieurs) est absorbante. L'intersection d'une famille finie de (un ou plusieurs) ensembles absorbants est absorbante.

L'image d'un ensemble absorbant sous un opérateur linéaire surjectif est à nouveau absorbante. L'image inverse d'un sous-ensemble absorbant (du codomaine) sous un opérateur linéaire est à nouveau absorbante (dans le domaine).

Propriétés

Chaque ensemble absorbant contient l'origine.

Si est un disque absorbant dans un espace vectoriel alors il existe un disque absorbant dans de telle sorte que${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

Voir également

• Intérieur algébrique  – Concept mathématique
• Ensemble absolument convexe
• Ensemble équilibré  – Construire en analyse fonctionnelle
• Ensemble bornivore  - Un ensemble qui peut absorber n'importe quel sous-ensemble limité
• Ensemble borné (espace vectoriel topologique)
• Ensemble convexe  - En géométrie, ensemble qui coupe chaque ligne en un seul segment de ligne
• Espace vectoriel topologique localement convexe  - Un espace vectoriel avec une topologie définie par des ensembles ouverts convexes
• Ensemble radial
• Domaine étoilé
• Ensemble symétrique
• Espace vectoriel topologique  – Espace vectoriel avec une notion de proximité

Remarques

Citations

Les références

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