Théorie additive des nombres - Additive number theory
La théorie additive des nombres est le sous-domaine de la théorie des nombres concernant l'étude des sous-ensembles d' entiers et leur comportement sous addition . De manière plus abstraite, le domaine de la théorie additive des nombres comprend l'étude des groupes abéliens et des semi- groupes commutatifs avec une opération d'addition. La théorie additive des nombres a des liens étroits avec la théorie combinatoire des nombres et la géométrie des nombres . Deux principaux objets d'étude sont la somme de deux sous-ensembles A et B d'éléments d'un groupe abélien G ,
et la somme en H de A ,
Théorie additive des nombres
Le champ est principalement consacré à l'examen de problèmes directs sur (typiquement) les entiers, c'est-à-dire à la détermination de la structure de hA à partir de la structure de A : par exemple, déterminer quels éléments peuvent être représentés comme une somme de hA , où A est un sous-ensemble fixe. Deux problèmes classiques de ce type sont la conjecture de Goldbach (qui est la conjecture que 2 P contient tous les nombres pairs supérieurs à deux, où P est l'ensemble des nombres premiers ) et le problème de Waring (qui demande quelle doit être la taille de h pour garantir que hA k contient tous les nombres entiers positifs, où
est l'ensemble des k-èmes puissances). Beaucoup de ces problèmes sont étudiés à l'aide des outils de la méthode du cercle Hardy-Littlewood et des méthodes de tamisage . Par exemple, Vinogradov a prouvé que chaque nombre impair suffisamment grand est la somme de trois nombres premiers, et ainsi chaque entier pair suffisamment grand est la somme de quatre nombres premiers. Hilbert a prouvé que, pour tout entier k > 1, tout entier non négatif est la somme d'un nombre borné de k -èmes puissances. En général, un ensemble A d'entiers non négatifs est appelé une base d'ordre h si hA contient tous les entiers positifs, et on l'appelle une base asymptotique si hA contient tous les entiers suffisamment grands. La plupart des recherches actuelles dans ce domaine concernent les propriétés des bases asymptotiques générales d'ordre fini. Par exemple, un ensemble A est appelé une base asymptotique minimale d'ordre h si A est une base asymptotique d'ordre h mais aucun sous-ensemble propre de A n'est une base asymptotique d'ordre h . Il a été prouvé que des bases asymptotiques minimales d'ordre h existent pour tout h , et qu'il existe également des bases asymptotiques d'ordre h qui ne contiennent pas de bases asymptotiques minimales d'ordre h . Une autre question à considérer est de savoir dans quelle mesure le nombre de représentations de n en tant que somme de h éléments dans une base asymptotique peut être petit . Tel est le contenu de la conjecture d'Erdős – Turán sur des bases additives .
Voir également
Les références
- Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Réimpression corrigée de 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Société d'édition Robert E. Krieger. ISBN 0-88275-418-1.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Théorie additive des nombres: les bases classiques . Textes d'études supérieures en mathématiques . 164 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002 .
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Théorie additive des nombres: problèmes inverses et géométrie des ensembles de somme . Textes d'études supérieures en mathématiques . 165 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 .
- Tao, Terence ; Vu, Van (2006). Combinatoires additifs . Études de Cambridge en mathématiques avancées. 105 . Cambridge University Press .