Axiome de l'ensemble vide - Axiom of empty set

Dans la théorie des ensembles axiomatiques , l' axiome de l'ensemble vide est une affirmation qui affirme l'existence d'un ensemble sans éléments. C'est un axiome de la théorie des ensembles de Kripke – Platek et de la variante de la théorie des ensembles générale que Burgess (2005) appelle «ST», et une vérité démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo et la théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel , avec ou sans l' axiome du choix .

Déclaration formelle

Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Fraenkel, l'axiome se lit comme suit:

ou en mots:

Il existe un ensemble tel qu'aucun élément n'en fait partie.

Interprétation

Nous pouvons utiliser l' axiome d'extensionnalité pour montrer qu'il n'y a qu'un seul ensemble vide. Comme il est unique, nous pouvons le nommer. Il est appelé l' ensemble vide (noté {} ou ∅). L'axiome, énoncé en langage naturel, est essentiellement:

Un ensemble vide existe .

Cette formule est un théorème et considérée comme vraie dans toutes les versions de la théorie des ensembles. La seule controverse porte sur la façon dont elle devrait être justifiée: en en faisant un axiome; en le dérivant d'un axiome (ou logique) d'existence d'ensemble et de l'axiome de séparation; en le dérivant de l'axiome de l'infini; ou une autre méthode.

Dans certaines formulations de ZF, l'axiome de l'ensemble vide est en fait répété dans l' axiome de l'infini . Cependant, il existe d'autres formulations de cet axiome qui ne présupposent pas l'existence d'un ensemble vide. Les axiomes ZF peuvent également être écrits en utilisant un symbole constant représentant l'ensemble vide; alors l'axiome de l'infini utilise ce symbole sans exiger qu'il soit vide, tandis que l'axiome de l'ensemble vide est nécessaire pour déclarer qu'il est en fait vide.

En outre, on considère parfois des théories d'ensemble dans lesquelles il n'y a pas d'ensembles infinis, et alors l'axiome d'ensemble vide peut encore être requis. Cependant, tout axiome de la théorie ou de la logique des ensembles qui implique l'existence de tout ensemble impliquera l'existence de l'ensemble vide, si l'on a le schéma axiome de la séparation . Cela est vrai, puisque l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble composé de ces éléments qui satisfont une formule contradictoire.

Dans de nombreuses formulations de logique de prédicat de premier ordre, l'existence d'au moins un objet est toujours garantie. Si l'axiomatisation de la théorie des ensembles est formulée dans un tel système logique avec le schéma de l' axiome de la séparation comme axiomes, et si la théorie ne fait aucune distinction entre les ensembles et d'autres types d'objets (ce qui est vrai pour ZF, KP et des théories similaires), alors l'existence de l'ensemble vide est un théorème.

Si la séparation n'est pas postulée comme un schéma d'axiome, mais dérivée comme un schéma de théorème du schéma de remplacement (comme cela se fait parfois), la situation est plus compliquée et dépend de la formulation exacte du schéma de remplacement. La formulation utilisée dans le schéma axiome de l' article de remplacement ne permet de construire l'image F [ a ] que lorsque a est contenu dans le domaine de la fonction de classe F ; alors la dérivation de la séparation nécessite l'axiome de l'ensemble vide. D'autre part, la contrainte de totalité de F est souvent supprimée du schéma de remplacement, auquel cas elle implique le schéma de séparation sans utiliser l'axiome de l'ensemble vide (ou tout autre axiome d'ailleurs).

Les références

Sources

  • Burgess, John, 2005. Fixing Frege . Princeton Univ. Presse.
  • Paul Halmos , Théorie des ensembles naïfs . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Réimprimé par Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (édition Springer-Verlag).
  • Jech, Thomas , 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
  • Kunen, Kenneth , 1980. Théorie des ensembles: une introduction aux preuves de l'indépendance . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .