Le théorème de Belyi - Belyi's theorem
En mathématiques , le théorème de Belyi sur les courbes algébriques stipule que toute courbe algébrique non singulière C , définie par des coefficients de nombre algébrique , représente une surface de Riemann compacte qui est un revêtement ramifié de la sphère de Riemann , ramifiée en trois points seulement.
C'est un résultat de GV Belyi de 1979. À l'époque, cela était considéré comme surprenant, et cela a incité Grothendieck à développer sa théorie des dessins d'enfant , qui décrit des courbes algébriques non singulières sur les nombres algébriques à l'aide de données combinatoires.
Quotients du demi-plan supérieur
Il s'ensuit que la surface de Riemann en question peut être considérée comme le quotient
- H /Γ
(où H est le demi-plan supérieur et Γ est un sous - groupe d' indice fini dans le groupe modulaire ) compactifié par des cuspides . Puisque le groupe modulaire a des sous-groupes de non-congruence , ce n'est pas la conclusion qu'une telle courbe est une courbe modulaire .
Fonctions de Belyi
Une fonction de Belyi est une application holomorphe d'une surface de Riemann compacte S à la ligne projective complexe P 1 ( C ) ramifiée seulement sur trois points, qui après une transformation de Möbius peut être considérée comme . Les fonctions de Belyi peuvent être décrites combinatoirement par des dessins d'enfants .
Les fonctions et dessins d'enfants de Belyi – mais pas le théorème de Belyi – datent au moins des travaux de Felix Klein ; il les a utilisées dans son article ( Klein 1879 ) pour étudier une couverture 11 fois de la ligne projective complexe avec le groupe de monodromie PSL(2,11).
Applications
Le théorème de Belyi est un théorème d'existence pour les fonctions de Belyi, et a été par la suite beaucoup utilisé dans le problème de Galois inverse .
Les références
- Serre, Jean-Pierre (1997). Cours sur le théorème de Mordell-Weil . Aspects des mathématiques. 15 . Traduit du français par Martin Brown à partir des notes de Michel Waldschmidt (troisième éd.). Friedr. Vieweg & Sohn, Brunswick. doi : 10.1007/978-3-663-10632-6 . ISBN 3-528-28968-6. MR 1757192 .
- Klein, Félix (1879). "Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen" [Sur la transformation du onzième ordre des fonctions elliptiques]. Mathematische Annalen (en allemand). 15 (3-4): 533-555. doi : 10.1007/BF02086276 .
- Belyĭ, Gennadiĭ Vladimirovitch (1980). Traduit par Neal Koblitz . « Extensions galoisiennes d'un champ cyclotomique maximal ». Math. URSS Izv . 14 (2) : 247-256. doi : 10.1070/IM1980v014n02ABEH001096 . MR 0534593 .
Lectures complémentaires
- Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants , London Mathematical Society Student Texts, 79 , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001
- Wushi Goldring (2012), « Thèmes unificateurs suggérés par le théorème de Belyi », in Dorian Goldfeld ; Jay Jorgenson; Peter Jones ; Dinakar Ramakrishnan ; Kenneth A. Ribet ; John Tate (éd.), Théorie des nombres, analyse et géométrie. À la mémoire de Serge Lang , Springer, pp. 181-214, ISBN 978-1-4614-1259-5