Hélice Boerdijk – Coxeter - Boerdijk–Coxeter helix

Hélices de Coxeter à partir de tétraèdres réguliers

Tournage à gauche et à droite
Les bords peuvent être colorés en 6 groupes, 3 hélices principales (cyan), les bords concaves formant des hélices avant lentes (magenta) et deux hélices vers l'arrière (jaune et orange)

Une sphère hélicoïdale de Boerdijk a chaque sphère centrée sur un sommet de l'hélice de Coxeter. Chaque sphère est en contact avec 6 sphères voisines.

L' hélice de Boerdijk – Coxeter , nommée d'après HSM Coxeter et AH Boerdijk , est un empilement linéaire de tétraèdres réguliers , disposés de telle sorte que les bords du complexe qui appartiennent à un seul tétraèdre forment trois hélices entrelacées . Il existe deux formes chirales , avec des enroulements dans le sens horaire ou antihoraire. Contrairement à tout autre empilement de solides platoniques , l'hélice de Boerdijk – Coxeter n'est pas répétitive en rotation dans un espace tridimensionnel. Même dans une chaîne infinie de tétraèdres empilés, deux tétraèdres n'auront pas la même orientation, car le pas hélicoïdal par cellule n'est pas une fraction rationnelle du cercle. Cependant, des formes modifiées de cette hélice ont été trouvées qui sont répétitives en rotation, et dans un espace à 4 dimensions, cette hélice se répète en anneaux d'exactement 30 cellules tétraédriques qui tapissent la surface à 3 sphères de la 600 cellules , l'une des six convexes régulières polychore .

Buckminster Fuller l'a nommé tétrahelix et les a considérés avec des éléments tétraédriques réguliers et irréguliers.

Géométrie

Les coordonnées des sommets de l'hélice de Boerdijk – Coxeter composée de tétraèdres avec une longueur d'arête unitaire peuvent être écrites sous la forme

{\ Displaystyle (r \ cos n \ theta, r \ sin n \ theta, nh)}

où , , et est un nombre entier arbitraire. Les deux valeurs différentes de correspondent à deux formes chirales. Tous les sommets sont situés sur le cylindre avec un rayon le long de l'axe z. Compte tenu de l'alternance des tétraèdres, cela donne une torsion apparente de tous les deux tétraèdres. Il y a un autre cylindre inscrit avec un rayon à l'intérieur de l'hélice. ${\ displaystyle r = 3 {\ sqrt {3}} / 10}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pm \ cos ^ {- 1} (- 2/3) \ approx 131.81 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle h = 1 / {\ sqrt {10}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 2 \ theta - {\ frac {4} {3}} \ pi \ approx 23,62 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {2}} / 20}$

Architecture

L' Art Tower Mito est basé sur une hélice Boerdijk – Coxeter.

Géométrie de plus grande dimension

30 anneau tétraédrique à partir d'une projection de 600 cellules

Les 600 cellules se divisent en 20 anneaux de 30 tétraèdres , chacun étant une hélice de Boerdijk – Coxeter . Lorsqu'il est superposé à la courbure à 3 sphères, il devient périodique, avec une période de dix sommets, englobant les 30 cellules. L'ensemble de ces hélices dans les 600 cellules représente une fibration de Hopf discrète . Alors qu'en 3 dimensions les arêtes sont des hélices, dans la topologie imposée à 3 sphères ce sont des géodésiques et n'ont pas de torsion . Ils s'enroulent naturellement l'un autour de l'autre en raison de la fibration de Hopf. Le collectif d'arêtes forme une autre fibration de Hopf discrète de 12 anneaux avec 10 sommets chacun. Ceux-ci correspondent à des anneaux de 10 dodécaèdres dans le double 120 cellules.

De plus, les 16 cellules se divisent en deux anneaux à 8 tétraèdres, quatre bords de long, et les 5 cellules se divisent en un seul anneau à 5 tétraèdres dégénéré.

4-polytope	Anneaux	Tetraèdres / anneau	Longueurs de cycle
600 cellules	20	30	30, 10 ³ , 15 ²
16 cellules	2	8	8, 8, 4 ²
5 cellules	1	5	(5, 5), 5

Hélices polyédriques associées

Les pyramides carrées équilatérales peuvent également être enchaînées comme une hélice, avec deux configurations de sommets , 3.4.3.4 et 3.3.4.3.3.4. Cette hélice existe sous forme d'anneau fini de 30 pyramides dans un polytope à 4 dimensions .

Et les pyramides pentagonales équilatérales peuvent être enchaînées avec 3 configurations de sommets, 3.3.5, 3.5.3.5 et 3.3.3.5.3.3.5:

Voir également

Remarques

Les références

Coxeter, HSM (1974). Polytopes complexes réguliers . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 052120125X .
Boerdijk, AH (1952). "Quelques remarques concernant le compactage de sphères égales". Philips Res. Rép . 7 : 303–313.
Fuller, R.Buckminster (1975). Applewhite, EJ (éd.). Synergétique . Macmillan.
Pugh, Anthony (1976). "5. Rejoindre les polyèdres §5.36 Tetrahelix". Polyèdres: une approche visuelle . Presses de l'Université de Californie. p. 53. ISBN 978-0-520-03056-5 .
Sadler, Garrett; Fang, Fang; Kovacs, Julio; Klee, Irwin (2013). "Modification périodique de l'hélice de Boerdijk-Coxeter (tétrahelix)". arXiv : 1302.1174v1 [ math.MG ].
Seigneur, EA; Ranganathan, S. (2004). "La structure γ-laiton et l'hélice Boerdijk – Coxeter" (PDF) . Journal des solides non cristallins . 334–335: 123–5. Bibcode : 2004JNCS..334..121L . doi : 10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.069 .
Zhu, Yihan; Lui, Jiating; Shang, Cheng; Miao, Xiaohe; Huang, Jianfeng; Liu, Zhipan; Chen, Hongyu; Han, Yu (2014). "Nanofils d'or chiraux avec la structure de Boerdijk – Coxeter – Bernal" . Confiture. Chem. Soc . 136 (36): 12746–52. doi : 10.1021 / ja506554j . PMID 25126894 .
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