Surface garçon - Boy's surface

Une animation de la surface de Boy

En géométrie , la surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans l'espace à 3 dimensions trouvé par Werner Boy en 1901. Il l'a découvert sur mission de David Hilbert pour prouver que le plan projectif ne pouvait pas être immergé dans l' espace à 3 .

La surface de Boy a été paramétrée explicitement pour la première fois par Bernard Morin en 1978. Une autre paramétrisation a été découverte par Rob Kusner et Robert Bryant . La surface de Boy est l'une des deux immersions possibles du plan projectif réel qui n'ont qu'un seul point triple.

Contrairement à la surface romaine et à la calotte croisée , elle n'a pas d'autres singularités que des auto-intersections (c'est-à-dire qu'elle n'a pas de points de pincement ).

Construction

Incrustation de papier de la surface de Boy

Pour créer une surface Boy :

1. Commencez par une sphère. Retirez un capuchon.
2. Attachez une extrémité de chacune des trois bandes aux sixièmes alternés du bord gauche en enlevant le capuchon.
3. Pliez chaque bande et attachez l'autre extrémité de chaque bande à la sixième à l'opposé de la première extrémité, de sorte que l'intérieur de la sphère à une extrémité soit relié à l'extérieur à l'autre. Faites en sorte que les bandes contournent le milieu plutôt que de les traverser.
4. Joindre les bords lâches des bandes. Les joints croisent les bandes.

Symétrie de la surface du garçon

La surface du garçon a une symétrie triple . Cela signifie qu'il a un axe de symétrie de rotation discret : tout tour de 120° autour de cet axe laissera la surface exactement la même. La surface du garçon peut être découpée en trois morceaux mutuellement congruents .

Mannequin à Oberwolfach

Maquette d'une surface pour garçon à Oberwolfach

L' Institut de recherche mathématique d'Oberwolfach possède un grand modèle de la surface d'un garçon à l'extérieur de l'entrée, construit et offert par Mercedes-Benz en janvier 1991. Ce modèle a une symétrie de rotation triple et minimise l' énergie Willmore de la surface. Il se compose de bandes d'acier qui représentent l'image d'une grille de coordonnées polaires sous une paramétrisation donnée par Robert Bryant et Rob Kusner. Les méridiens (rayons) deviennent des bandes de Möbius ordinaires , c'est-à-dire tordues de 180 degrés. Toutes les bandes sauf une correspondant aux cercles de latitude (cercles radiaux autour de l'origine) ne sont pas torsadées, tandis que celle correspondant à la limite du cercle unité est une bande de Möbius torsadée de trois fois 180 degrés - comme l'emblème de l'institut ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).

Applications

La surface du garçon peut être utilisée en éversion de sphère , comme modèle à mi-chemin . Un modèle à mi-chemin est une immersion de la sphère avec la propriété qu'une rotation échange à l'intérieur et à l'extérieur, et peut donc être utilisé pour renverser (tourner à l'envers) une sphère. Les surfaces de Boy (le cas p = 3) et de Morin (le cas p = 2) commencent une séquence de modèles à mi-chemin avec une symétrie plus élevée d'abord proposée par George Francis, indexée par les entiers pairs 2p (pour p impair, ces immersions peuvent être factorisé par un plan projectif). La paramétrisation de Kusner donne tout cela.

Paramétrage de la surface de Boy

Une vue du paramétrage décrit ici

La surface du garçon peut être paramétrée de plusieurs manières. Une paramétrisation, découverte par Rob Kusner et Robert Bryant , est la suivante : étant donné un nombre complexe w dont la grandeur est inférieure ou égale à un ( ), soit ${\style d'affichage \|w\|\leq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{ 6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\ left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\ nom de l'opérateur {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{aligné}}}$

pour que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{ 3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$

où x , y et z sont les coordonnées cartésiennes souhaitées d'un point sur la surface de Boy.

Si l'on effectue une inversion de cette paramétrisation centrée sur le point triple, on obtient une surface minimale complète à trois extrémités (c'est ainsi que cette paramétrisation a été découverte naturellement). Cela implique que la paramétrisation de Bryant-Kusner des surfaces de Boy est « optimale » dans le sens où il s'agit de l'immersion « la moins courbée » d'un plan projectif dans l' espace tridimensionnel .

Propriété de la paramétrisation de Bryant-Kusner

Si w est remplacé par l'inverse négatif de son conjugué complexe , alors les fonctions g ₁ , g ₂ et g ₃ de w restent inchangées. ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$

En remplaçant w en termes de ses parties réelle et imaginaire w = s + it , et en développant la paramétrisation résultante, on peut obtenir une paramétrisation de la surface de Boy en termes de fonctions rationnelles de s et t . Cela montre que la surface de Boy n'est pas seulement une surface algébrique , mais même une surface rationnelle . La remarque du paragraphe précédent montre que la fibre générique de cette paramétrisation est constituée de deux points (c'est-à-dire que presque tout point de la surface de Boy peut être obtenu par deux valeurs de paramètres).

Relier la surface du garçon au vrai plan projectif

Soit la paramétrisation de Bryant-Kusner de la surface de Boy. Puis ${\style d'affichage P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$

${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$

Ceci explique la condition sur le paramètre : if then Cependant, les choses sont un peu plus compliquées pour Dans ce cas, on a Cela signifie que, si le point de la surface de Boy est obtenu à partir de deux valeurs de paramètres : Autrement dit, la surface de Boy a été paramétré par un disque de telle sorte que des paires de points diamétralement opposés sur le périmètre du disque soient équivalentes. Cela montre que la surface de Boy est l'image du plan projectif réel , RP ² par une carte lisse . C'est-à-dire que la paramétrisation de la surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans l' espace euclidien . ${\displaystyle \gauche\|w\droit\|\leq 1}$${\style d'affichage \gauche\|w\droit\|<1,}$${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$${\displaystyle \gauche\|w\droit\|=1.}$${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$${\style d'affichage \gauche\|w\droit\|=1,}$${\style d'affichage P(w)=P(-w).}$

Les références

Citations

Sources

Liens externes

• Surface des garçons à MathCurve; contient diverses visualisations, diverses équations, des liens utiles et des références
• Un dépliement planaire de la surface du garçon – applet de Plus Magazine .
• Les ressources de surface du garçon , y compris l' article original , et l' intégration d'un topologue dans la surface du garçon d'Oberwolfach .
• La surface d'un garçon LEGO
• Un modèle en papier de la surface de Boy – patron et instructions
• Modèle basé sur Java qui peut être pivoté librement
• Un modèle de la surface de Boy en Constructive Solid Geometry avec instructions d'assemblage
• Vidéo de visualisation de la surface d'un garçon de l'Institut mathématique de l'Académie serbe des arts et des sciences