Théorème de Casorati-Weierstrass - Casorati–Weierstrass theorem

En analyse complexe , une branche des mathématiques, le théorème de Casorati-Weierstrass décrit le comportement des fonctions holomorphes à proximité de leurs singularités essentielles . Il porte le nom de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass et Felice Casorati . Dans la littérature russe, on l'appelle le théorème de Sokhotski .

Énoncé formel du théorème

Commencez avec un sous-ensemble ouvert dans le plan complexe contenant le nombre , et une fonction qui est holomorphe sur , mais a une singularité essentielle à  . Le théorème de Casorati-Weierstrass énonce alors que ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage z_{0}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle U\ \backslash \ \{z_{0}\}}$${\style d'affichage z_{0}}$

si est un voisinage de contenu dans , alors est dense dans .${\style d'affichage V}$${\style d'affichage z_{0}}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle f(V\ \backslash \ \{z_{0}\})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Cela peut également être énoncé comme suit :

pour tout , et un nombre complexe , il existe un nombre complexe dans avec et  .${\displaystyle \varepsilon >0,\delta >0}$${\style d'affichage w}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<\delta }$${\displaystyle |f(z)-w|<\varepsilon }$

Ou en termes encore plus descriptifs :

${\style d'affichage f}$se rapproche arbitrairement de toute valeur complexe dans chaque voisinage de .${\style d'affichage z_{0}}$

Le théorème est considérablement renforcé par le grand théorème de Picard , qui déclare, dans la notation ci-dessus, que prend toutes les valeurs complexes, avec une exception possible, infiniment souvent sur . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage V}$

Dans le cas où il s'agit d'une fonction entière et , le théorème dit que les valeurs s'approchent de chaque nombre complexe et , car tend vers l'infini. Il est remarquable que cela ne soit pas le cas pour les cartes holomorphes de dimensions supérieures, comme le montre le célèbre exemple de Pierre Fatou . ${\style d'affichage f}$${\displaystyle a=\infty }$${\style d'affichage f(z)}$${\style d'affichage \infty }$${\style d'affichage z}$

Tracé de la fonction exp(1/ z ), centrée sur la singularité essentielle à z  = 0. La teinte représente l'argument complexe, la luminance représente la valeur absolue. Ce graphique montre comment l'approche de la singularité essentielle à partir de différentes directions produit des comportements différents (par opposition à un pôle, qui serait uniformément blanc).

Exemples

La fonction f ( z ) = exp (1/ z ) a une singularité essentielle en 0, mais la fonction g ( z ) = 1/ z ³ n'en a pas (elle a un pôle en 0).

Considérez la fonction

${\style d'affichage f(z)=e^{1/z}.}$

Cette fonction a la série de Taylor suivante sur le point singulier essentiel en 0 :

${\displaystyle f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{-n}.}$

Parce qu'il existe pour tous les points z  ≠ 0 , nous savons que ƒ ( z ) est analytique dans un voisinage ponctué de z  = 0. C'est donc une singularité isolée , en plus d' être une singularité essentielle . ${\displaystyle f'(z)={\frac {-e^{\frac {1}{z}}}{z^{2}}}}$

L' utilisation d' un changement de variable de coordonnées polaires notre fonction ƒ ( z ) =  e ^{1 / z} devient: ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

${\displaystyle f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta ) }e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}.}$

En prenant la valeur absolue des deux côtés :

${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }\right|\left|e^{-{\frac {1 }{r}}i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }.}$

Ainsi, pour les valeurs de θ tel que cos  θ  > 0, nous avons aussi , et , comme . ${\displaystyle f(z)\rightarrow \infty }$${\displaystyle r\rightarrow 0}$${\displaystyle \cos \theta <0}$${\displaystyle f(z)\rightarrow 0}$${\displaystyle r\rightarrow 0}$

Considérez ce qui se passe, par exemple lorsque z prend des valeurs sur un cercle de diamètre 1/ R tangent à l'axe imaginaire. Ce cercle est donné par r  = (1/ R ) cos  θ . Puis,

${\displaystyle f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

et

${\displaystyle \left|f(z)\right|=e^{R}.}$

Ainsi, peut prendre n'importe quelle valeur positive autre que zéro par le choix approprié de R . Comme sur le cercle, avec R fixe. Donc cette partie de l'équation : ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$${\displaystyle z\rightarrow 0}$${\displaystyle \theta \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

prend toutes les valeurs sur le cercle unité infiniment souvent. Par conséquent, f ( z ) prend la valeur de chaque nombre dans le plan complexe à l' exception de zéro infiniment souvent.

Preuve du théorème

Une courte démonstration du théorème est la suivante :

Considérons comme donné que la fonction f est méromorphe sur un voisinage ponctué V  \ { z ₀ }, et que z ₀ est une singularité essentielle. Supposons, à titre de contradiction, qu'il existe une valeur b dont la fonction ne pourra jamais s'approcher ; c'est-à-dire : supposons qu'il existe une valeur complexe b et un certain ε > 0 tels que | f ( z ) − b | ≥ ε pour tout z dans V auquel f est défini.

Puis la nouvelle fonction :

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}}$

doit être holomorphe sur V   { z ₀ }, avec des zéros aux pôles de f , et borné par 1/ε. Il peut donc être analytiquement continué (ou continuellement étendu, ou holomorphiquement étendu) à l' ensemble de V par le théorème de continuation analytique de Riemann . Ainsi, la fonction d'origine peut être exprimée en termes de g :

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b}$

pour tous les arguments z dans V   { z ₀ }. Considérons les deux cas possibles pour

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}g(z).}$

Si la limite est 0, alors f a un pôle en z ₀  . Si la limite n'est pas 0, alors z ₀ est une singularité amovible de f  . Les deux possibilités contredisent l'hypothèse selon laquelle le point z ₀ est une singularité essentielle de la fonction f  . L'hypothèse est donc fausse et le théorème est vérifié.

Histoire

L'histoire de cet important théorème est décrite par Collingwood et Lohwater . Il a été publié par Weierstrass en 1876 (en allemand) et par Sokhotski en 1868 dans son mémoire de maîtrise (en russe). On l'appelait donc le théorème de Sokhotski dans la littérature russe et le théorème de Weierstrass dans la littérature occidentale. Le même théorème a été publié par Casorati en 1868, et par Briot et Bouquet dans la première édition de leur livre (1859). Cependant, Briot et Bouquet ont retiré ce théorème de la deuxième édition (1875).

Les références

• Section 31, Théorème 2 (pp. 124-125) de Knopp, Konrad (1996), Théorie des fonctions , Dover Publications , ISBN 978-0-486-69219-7