Commande partielle de chaîne complète - Chain-complete partial order
En mathématiques , en particulier en théorie des ordres , un ensemble partiellement ordonné est complet si chaque chaîne qu'il contient a une borne supérieure la moins élevée . Il est ω-complet lorsque chaque séquence croissante d'éléments (un type de chaîne dénombrable ) a une borne supérieure inférieure; la même notion peut être étendue à d'autres cardinalités de chaînes.
Exemples
Chaque treillis complet est complet en chaîne. Contrairement aux treillis complets, les posets à chaîne complète sont relativement courants. Les exemples comprennent:
- L'ensemble de tous les sous- ensembles linéairement indépendants d'un espace vectoriel V , ordonnés par inclusion .
- L'ensemble de toutes les fonctions partielles d'un ensemble, triées par restriction .
- L'ensemble de toutes les fonctions de choix partielles sur une collection d'ensembles non vides, classés par restriction.
- L'ensemble de tous les idéaux primordiaux d'un anneau , ordonné par inclusion.
- L'ensemble de toutes les théories cohérentes d'un langage de premier ordre .
Propriétés
Un poset est complet si et seulement s'il s'agit d'un dcpo pointu . Cependant, cette équivalence nécessite l' axiome du choix .
Le lemme de Zorn déclare que, si un poset a une borne supérieure pour chaque chaîne, alors il a un élément maximal . Ainsi, il s'applique aux posets à chaîne complète, mais est plus général en ce qu'il autorise les chaînes qui ont des bornes supérieures mais qui n'ont pas les moindres bornes supérieures.
Les posets de chaîne complète obéissent également au théorème de Bourbaki – Witt , un théorème de point fixe affirmant que, si f est une fonction d'un poset complet de chaîne à lui-même avec la propriété que, pour tout x , f ( x ) ≥ x , alors f a un point fixe. Ce théorème, à son tour, peut être utilisé pour prouver que le lemme de Zorn est une conséquence de l' axiome du choix .
Par analogie avec l' achèvement Dedekind – MacNeille d'un ensemble partiellement ordonné, chaque ensemble partiellement ordonné peut être étendu de manière unique à un poset minimal à chaîne complète.