Parallèle de Clifford - Clifford parallel

En géométrie elliptique , deux lignes sont des lignes parallèles ou paratactiques de Clifford si la distance perpendiculaire entre elles est constante d'un point à l'autre. Le concept a d'abord été étudié par William Kingdon Clifford dans l' espace elliptique et n'apparaît que dans des espaces d'au moins trois dimensions. Puisque les lignes parallèles ont la propriété d'équidistance, le terme «parallèle» a été approprié à la géométrie euclidienne , bien que les «lignes» de la géométrie elliptique soient des courbes géodésiques et, contrairement aux lignes de la géométrie euclidienne , soient de longueur finie.

L'algèbre des quaternions fournit une géométrie descriptive de l'espace elliptique dans laquelle le parallélisme de Clifford est rendu explicite.

introduction

Les lignes sur 1 dans l'espace elliptique sont décrites par des verseurs d'axe fixe r :

${\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar}: \ 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}$

Pour un point arbitraire u dans l'espace elliptique, deux parallèles de Clifford à cette droite passent par u . Le bon parallèle de Clifford est

${\ displaystyle \ lbrace ue ^ {ar}: \ 0 \ leq a <\ pi \ rbrace,}$

et le parallèle gauche de Clifford est

${\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar} u: \ 0 \ leq a <\ pi \ rbrace.}$

Surfaces de Clifford

La rotation d'une ligne autour d'une autre, à laquelle elle est parallèle à Clifford, crée une surface de Clifford.

Les parallèles de Clifford à travers des points sur la surface se trouvent tous dans la surface. Une surface de Clifford est donc une surface réglée puisque chaque point est sur deux lignes, chacune contenue dans la surface.

Étant donné deux racines carrées de moins un dans les quaternions , écrites r et s , la surface de Clifford à travers eux est donnée par

${\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar} e ^ {bs}: \ 0 \ leq a, b <\ pi \ rbrace.}$

Histoire

Les parallèles de Clifford ont été décrits pour la première fois en 1873 par le mathématicien anglais William Kingdon Clifford .

En 1900, Guido Fubini rédige sa thèse de doctorat sur le parallélisme de Clifford dans les espaces elliptiques .

En 1931, Heinz Hopf a utilisé les parallèles de Clifford pour construire la carte de Hopf .

En 2016, Hans Havlicek a montré qu'il existe une correspondance biunivoque entre les parallélismes de Clifford et les plans externes à la quadrique de Klein .

Voir également

• Clifford torus

Les références

• Laptev, BL & BA Rozenfel'd (1996) Mathématiques du XIXe siècle: Géométrie , page 74, Birkhäuser Verlag ISBN   3-7643-5048-2 .
• JA Tyrrell et JG Semple (1971) Parallélisme généralisé de Clifford , Cambridge University Press ISBN   0-521-08042-8 .
• Duncan Sommerville (1914) Les éléments de la géométrie non euclidienne , page 108 Lignes paratactiques, George Bell & Sons
• Frederick S. Woods (1917) Higher Geometry , "Clifford parallels", page 255, via Internet Archive