Opérateur différentiel - Differential operator

Une fonction harmonique définie sur un anneau . Les fonctions harmoniques sont exactement celles qui se trouvent dans le noyau de l' opérateur de Laplace , un opérateur différentiel important.

En mathématiques , un opérateur différentiel est un opérateur défini en fonction de l' opérateur de différenciation . Il est utile, pour une question de notation d'abord, de considérer la différenciation comme une opération abstraite qui accepte une fonction et renvoie une autre fonction (à la manière d'une fonction d'ordre supérieur en informatique ).

Cet article considère principalement les opérateurs différentiels linéaires , qui sont le type le plus courant. Cependant, il existe également des opérateurs différentiels non linéaires, tels que la dérivée de Schwarzian .

Définition

Supposons qu'il existe une carte d'un espace de fonction vers un autre espace de fonction et une fonction telle qu'elle soit l'image de ie, . Un opérateur différentiel est représenté comme une combinaison linéaire, générée de manière finie par et ses dérivées contenant un degré supérieur tel que ${\style d'affichage A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\style d'affichage f}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {F}} _ {1}}$${\style d'affichage f=A(u)}$${\mode d'affichage u}$

${\displaystyle P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$

où la liste des entiers non négatifs est appelée un multi-indice , est appelée la longueur de , sont des fonctions sur un domaine ouvert dans un espace à n dimensions, et . Le dérivé ci - dessus est une en tant que fonctions ou, parfois, des distributions ou des hyperfonctions et parfois, .${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {n})}$${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}$${\style d'affichage \alpha }$${\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}$${\displaystyle D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\cdots D_{n}^{\alpha _{n} }}$${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$${\textstyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Notations

L'opérateur différentiel le plus courant est l'action de prendre la dérivée . Les notations courantes pour prendre la dérivée première par rapport à une variable x incluent :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}}$, , et .${\style d'affichage D}$${\style d'affichage D_{x},}$${\displaystyle \partial _{x}}$

En prenant des dérivées d'ordre n supérieur, l'opérateur peut s'écrire :

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}}$, , , ou .${\style d'affichage D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

La dérivée d'une fonction f d'un argument x est parfois donnée comme suit :

${\style d'affichage [f(x)]'\,\!}$

${\style d'affichage f'(x).\,\!}$

L' utilisation et la création de la notation D est attribuée à Oliver Heaviside , qui a considéré les opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

dans son étude des équations différentielles .

L' un des opérateurs différentiels les plus fréquemment rencontrés est l' opérateur laplacien , défini par

${\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {k} ^ {2}}}. }$

Un autre opérateur différentiel est l'opérateur , ou opérateur thêta , défini par

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

On l'appelle parfois aussi opérateur d'homogénéité , car ses fonctions propres sont les monômes en z :

${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$

Dans n variables, l'opérateur d'homogénéité est donné par

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$

Comme dans une variable, les espaces propres de Θ sont les espaces de polynômes homogènes .

Dans l'écriture, suivant la convention mathématique commune, l'argument d'un opérateur différentiel est généralement placé à droite de l'opérateur lui-même. Parfois, une notation alternative est utilisée : Le résultat de l'application de l'opérateur à la fonction du côté gauche de l'opérateur et du côté droit de l'opérateur, et la différence obtenue en appliquant l'opérateur différentiel aux fonctions des deux côtés, sont notés par des flèches comme suit :

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\ displaystyle f {\ overrightarrow {\ partial _ {x}}} g = f \ cdot \ partial _ {x} g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}gg\cdot \partial _{x}f.}$

Une telle notation de flèche bidirectionnelle est fréquemment utilisée pour décrire le courant de probabilité de la mécanique quantique.

Del

L'opérateur différentiel del, également appelé nabla , est un opérateur différentiel vectoriel important . Il apparaît fréquemment en physique dans des endroits comme la forme différentielle des équations de Maxwell . En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles , del est défini comme

${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat { z}} {\ partial \ over \ partial z}.}$

Del définit le dégradé et est utilisé pour calculer la courbure , la divergence et le laplacien de divers objets.

Adjoint d'un opérateur

Étant donné un opérateur différentiel linéaire ${\style d'affichage T}$

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$

l' adjoint de cet opérateur est défini comme l'opérateur tel que ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

où la notation est utilisée pour le produit scalaire ou produit interne . Cette définition dépend donc de la définition du produit scalaire. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Adjoint formel en une variable

Dans l'espace fonctionnel des fonctions carrées intégrables sur un intervalle réel ( a , b ) , le produit scalaire est défini par

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$

où la ligne sur f ( x ) désigne le conjugué complexe de f ( x ). Si l'on ajoute de plus la condition que f ou g s'annule comme et , on peut aussi définir l'adjoint de T par ${\displaystyle x\to a}$${\style d'affichage x\à b}$

${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)} }Vous avez raison].}$

Cette formule ne dépend pas explicitement de la définition du produit scalaire. Il est donc parfois choisi comme définition de l'opérateur adjoint. Lorsque est défini selon cette formule, il est appelé l' adjoint formel de T . ${\displaystyle T^{*}}$

Un opérateur auto-adjoint (formellement) est un opérateur égal à son propre adjoint (formel).

Plusieurs variables

Si Ω est un domaine dans R ⁿ , et P un opérateur différentiel sur Ω, alors l'adjoint de P est défini dans L ² (Ω) par dualité de la manière analogue :

${\ displaystyle \ langle f, P ^ {*} g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ langle Pf, g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)}}$

pour toutes les fonctions L ² lisses f , g . Puisque les fonctions lisses sont denses dans L ² , cela définit l'adjoint sur un sous-ensemble dense de L ² : P ^* est un opérateur densément défini .

Exemple

L' opérateur de Sturm-Liouville est un exemple bien connu d'opérateur auto-adjoint formel. Cet opérateur différentiel linéaire du second ordre L peut s'écrire sous la forme

${\ displaystyle Lu = - (pu ')' + qu = - (pu '' + p'u ') + qu = -pu' '- p'u' + qu = (- p) D ^ {2} u + (-p')Du+(q)u.\;\!}$

Cette propriété peut être prouvée en utilisant la définition d'adjoint formelle ci-dessus.

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[( -p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-( pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{} =-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

Cet opérateur est au cœur de la théorie de Sturm-Liouville où les fonctions propres (analogues aux vecteurs propres ) de cet opérateur sont considérées.

Propriétés des opérateurs différentiels

La différenciation est linéaire , c'est-à-dire

${\style d'affichage D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\style d'affichage D(af)=a(Df),}$

où f et g sont des fonctions et a une constante.

Tout polynôme dans D avec des coefficients de fonction est aussi un opérateur différentiel. On peut aussi composer des opérateurs différentiels par la règle

${\style d'affichage (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Une certaine prudence s'impose alors : tout d'abord, les coefficients de fonction dans l'opérateur D ₂ doivent être dérivables autant de fois que l'application de D _{1 l'} exige. Pour obtenir un anneau de tels opérateurs, nous devons supposer des dérivées de tous les ordres des coefficients utilisés. Deuxièmement, cet anneau ne sera pas commutatif : un opérateur gD n'est pas le même en général que Dg . Par exemple on a la relation basique en mécanique quantique :

${\style d'affichage Dx-xD=1.}$

Le sous-ensemble d'opérateurs qui sont des polynômes en D à coefficients constants est, en revanche, commutatif. Il peut être caractérisé d'une autre manière : il se compose des opérateurs invariants à la traduction.

Les opérateurs différentiels obéissent également au théorème de décalage .

Plusieurs variables

Les mêmes constructions peuvent être réalisées avec des dérivées partielles , la différenciation par rapport à différentes variables donnant lieu à des opérateurs qui commutent (voir symétrie des dérivées secondes ).

Anneau d'opérateurs différentiels polynomiaux

Anneau d'opérateurs différentiels polynomiaux univariés

Si R est un anneau, soit l' anneau polynomial non commutatif sur R dans les variables D et X , et I l' idéal bilatéral généré par DX − XD − 1. Alors l'anneau des opérateurs différentiels polynomiaux univariés sur R est le anneau de quotient . Il s'agit d'un anneau simple non commutatif . Chaque élément peut être écrit d'une manière unique comme une combinaison R- linéaire de monômes de la forme . Il prend en charge un analogue de la division euclidienne des polynômes . ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Les modules différentiels au-dessus (pour la dérivation standard) peuvent être identifiés avec les modules au- dessus de . ${\style d'affichage R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Anneau d'opérateurs différentiels polynomiaux multivariés

Si R est un anneau, soit l'anneau polynomial non commutatif sur R dans les variables , et I l'idéal bilatéral généré par les éléments ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\style d'affichage (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{ i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

pour tous où est le delta de Kronecker . Alors l'anneau des opérateurs différentiels polynomiaux multivariés sur R est l'anneau du quotient . ${\style d'affichage 1\leq i,j\leq n,}$${\style d'affichage \delta }$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Il s'agit d'un anneau simple non commutatif . Chaque élément peut être écrit d'une manière unique comme une combinaison R- linéaire de monômes de la forme . ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n} }}$

Description indépendante des coordonnées

En géométrie différentielle et en géométrie algébrique, il est souvent pratique d'avoir une description indépendante des coordonnées des opérateurs différentiels entre deux fibrés vectoriels . Soient E et F deux fibrés vectoriels sur une variété dérivable M . Une application R -linéaire des sections P  : Γ( E ) → Γ( F ) est dite être un opérateur différentiel linéaire d'ordre k si elle se factorise par le faisceau de jets J ^k ( E ). En d'autres termes, il existe une application linéaire de fibrés vectoriels

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F\,}$

tel que

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

où j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) est le prolongement qui associe à toute section de E son k -jet .

Ceci ne signifie que pour une donnée section s de E , la valeur de P ( s ) en un point x  ∈  M est entièrement déterminée par le k comportement infinitésimale ième ordres de s en x . En particulier cela implique que P ( s )( x ) est déterminé par le germe de s dans x , ce qui s'exprime en disant que les opérateurs différentiels sont locaux. Un résultat fondamental est le théorème de Peetre montrant que l'inverse est également vrai : tout opérateur local (linéaire) est différentiel.

Relation avec l'algèbre commutative

Une description équivalente, mais purement algébrique des opérateurs différentiels linéaires est la suivante : une application R -linéaire P est un opérateur différentiel linéaire d'ordre k , si pour n'importe quelle  fonction lisse k + 1 nous avons ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Ici, le support est défini comme le commutateur ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,}$

Cette caractérisation des opérateurs différentiels linéaires montre qu'il s'agit de mappages particuliers entre modules sur une algèbre commutative , permettant au concept d'être vu comme une partie de l' algèbre commutative .

Exemples

• Dans les applications aux sciences physiques, des opérateurs tels que l' opérateur de Laplace jouent un rôle majeur dans l'établissement et la résolution des équations aux dérivées partielles .
• En topologie différentielle , les opérateurs de dérivée extérieure et de dérivée de Lie ont une signification intrinsèque.
• En algèbre abstraite , le concept de dérivation permet des généralisations d'opérateurs différentiels, qui ne nécessitent pas l'utilisation du calcul. De telles généralisations sont fréquemment employées en géométrie algébrique et en algèbre commutative . Voir aussi Jet (mathématiques) .
• Dans le développement de fonctions holomorphes d'une variable complexe z = x + i  y , une fonction complexe est parfois considérée comme une fonction de deux variables réelles x et y . On utilise les dérivées de Wirtinger qui sont des opérateurs aux dérivées partielles :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\ partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\ frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$

Cette approche est également utilisée pour étudier les fonctions de plusieurs variables complexes et les fonctions d'une variable motrice .

Histoire

L'étape conceptuelle d'écriture d'un opérateur différentiel comme quelque chose d'autoportant est attribuée à Louis François Antoine Arbogast en 1800.

Voir également

Les références

Liens externes

• Médias liés aux opérateurs différentiels sur Wikimedia Commons
• "Opérateur différentiel" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]