Domaine vide - Empty domain

Dans la logique moderne, seules les contradictions du carré de l'opposition s'appliquent, car les domaines peuvent être vides.

(Les zones noires sont vides,
les zones rouges ne sont pas vides.)

Dans la logique du premier ordre, le domaine vide est l'ensemble vide n'ayant aucun membre. Dans les domaines logiques traditionnels et classiques, ils sont strictement non vides afin que certains théorèmes soient valides. Les interprétations avec un domaine vide se révèlent être un cas trivial par une convention originaire au moins de 1927 avec Bernays et Schönfinkel (bien que peut-être plus tôt) mais souvent attribuée à Quine 1951. La convention consiste à attribuer toute formule commençant par un quantificateur universel le valeur vérité tandis que toute formule commençant par un quantificateur existentiel se voit attribuer la valeur mensonge . Cela découle de l'idée que les déclarations quantifiées existentiellement ont une importance existentielle (c'est-à-dire qu'elles impliquent l'existence de quelque chose) alors que les déclarations quantifiées universellement n'en ont pas. Cette interprétation proviendrait de George Boole à la fin du 19e siècle, mais cela est discutable. Dans la théorie des modèles moderne , il suit immédiatement pour les conditions de vérité des phrases quantifiées:

• ${\ displaystyle A \ models \ existe x \ phi (x) {\ text {ssi il y a un}} a \ dans A {\ text {tel que}} A \ models \ phi [a]}$
• ${\ displaystyle A \ models \ forall x \ phi (x) {\ text {ssi chaque}} a \ in A {\ text {est tel que}} A \ models \ phi [a]}$

En d'autres termes, une quantification existentielle de la formule ouverte φ est vraie dans un modèle ssi il y a un élément dans le domaine (du modèle) qui satisfait la formule; c'est-à-dire si cet élément a la propriété indiquée par la formule ouverte. Une quantification universelle d'une formule ouverte φ est vraie dans un modèle ssi chaque élément du domaine satisfait cette formule. (Notez que dans le métalangage, "tout ce qui est tel que X est tel que Y" est interprété comme une généralisation universelle du conditionnel matériel "si quelque chose est tel que X alors il est tel que Y". De plus, les quantificateurs sont donnés leurs lectures objectives habituelles, de sorte qu'un énoncé existentiel positif a une portée existentielle, alors qu'un énoncé universel n'en a pas.) Un cas analogue concerne la conjonction vide et la disjonction vide. Les clauses sémantiques pour, respectivement, les conjonctions et les disjonctions sont données par

• ${\ displaystyle A \ models \ phi _ {1} \ land \ dots \ land \ phi _ {n} \ iff \ forall \ phi _ {i} (1 \ leq i \ leq n), A \ models \ phi _ {je}}$
• ${\ displaystyle A \ models \ phi _ {1} \ lor \ dots \ lor \ phi _ {n} \ iff \ exists \ phi _ {i} (1 \ leq i \ leq n), A \ models \ phi _ {je}}$.

Il est facile de voir que la conjonction vide est trivialement vraie et la disjonction vide trivialement fausse.

Les logiques dont les théorèmes sont valides dans tous les domaines, y compris le domaine vide, ont été examinées pour la première fois par Jaskowski 1934, Mostowski 1951, Hailperin 1953, Quine 1954, Leonard 1956 et Hintikka 1959. Alors que Quine appelait ces logiques "logique inclusive", elles sont maintenant appelées comme logique libre .

Voir également

• Tableau des symboles logiques

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