Équiconsistance - Equiconsistency

En logique mathématique , deux théories sont équiconsistantes si la cohérence d'une théorie implique la cohérence de l'autre théorie, et vice versa . Dans ce cas, ils sont, grosso modo, «aussi cohérents les uns que les autres».

En général, il est impossible de prouver la cohérence absolue d'une théorie T . Nous prenons habituellement plutôt une théorie S , qu'on croit être cohérent et essayer de prouver la déclaration plus faible que si S est compatible alors T doit aussi être cohérent, si nous pouvons le faire nous disons que T est cohérente par rapport à S . Si S est également cohérent par rapport à T, alors nous disons que S et T sont équiconsistants .

Cohérence

En logique mathématique, les théories formelles sont étudiées comme des objets mathématiques . Puisque certaines théories sont suffisamment puissantes pour modéliser différents objets mathématiques, il est naturel de s'interroger sur leur propre cohérence .

Hilbert a proposé un programme au début du XXe siècle dont le but ultime était de montrer, à l'aide de méthodes mathématiques, la cohérence des mathématiques. Puisque la plupart des disciplines mathématiques peuvent être réduites à l' arithmétique , le programme est rapidement devenu l'établissement de la cohérence de l'arithmétique par des méthodes formalisables dans l'arithmétique elle-même.

Les théorèmes d' incomplétude de Gödel montrent que le programme de Hilbert ne peut pas être réalisé: si une théorie cohérente récursivement énumérable est assez forte pour formaliser sa propre métamathématique (que quelque chose soit une preuve ou non), c'est-à-dire assez forte pour modéliser un fragment faible d'arithmétique ( arithmétique de Robinson suffit), alors la théorie ne peut pas prouver sa propre cohérence. Il y a quelques mises en garde techniques quant aux exigences que l'énoncé formel représentant l'énoncé métamathématique «La théorie est cohérente» doit satisfaire, mais le résultat est que si une théorie (suffisamment forte) peut prouver sa propre cohérence, alors soit il n'y a pas de méthode calculable. d'identifier si une déclaration est même un axiome de la théorie ou non, ou bien la théorie elle-même est incohérente (dans ce cas, elle peut prouver quoi que ce soit, y compris de fausses déclarations telles que sa propre cohérence).

Compte tenu de cela, au lieu d'une cohérence pure et simple, on considère généralement la cohérence relative: Soit S et T des théories formelles. Supposons que S est une théorie cohérente. S'ensuit-il que T est cohérent? Si oui, alors T est cohérente par rapport à S . Deux théories sont équiconséquentes si chacune est cohérente par rapport à l'autre.

Force de cohérence

Si T est cohérente par rapport à S , mais S est pas connu pour être cohérent par rapport à T , alors nous disons que S a une plus grande force de consistance que T . Lors de la discussion de ces questions de force de cohérence, la métathéorie dans laquelle se déroule la discussion doit être soigneusement abordée. Pour les théories au niveau de l' arithmétique du second ordre , le programme de mathématiques inversées a beaucoup à dire. Les problèmes de cohérence sont une partie habituelle de la théorie des ensembles , puisqu'il s'agit d'une théorie récursive qui peut certainement modéliser la plupart des mathématiques. L'ensemble d'axiomes le plus largement utilisé de la théorie des ensembles est appelé ZFC . Lorsqu'un énoncé de la théorie des ensembles A est dit équiconsistant à un autre B , ce qui est prétendu est que dans la métathéorie ( Peano Arithmetic dans ce cas), il peut être prouvé que les théories ZFC + A et ZFC + B sont équiconsistantes. Habituellement, l'arithmétique récursive primitive peut être adoptée comme métathéorie en question, mais même si la métathéorie est ZFC ou une extension de celle-ci, la notion est significative. La méthode de forçage permet de montrer que les théories ZFC, ZFC + CH et ZFC + ¬CH sont toutes équiconsistantes (où CH désigne l' hypothèse du continuum ).

Lors de la discussion de fragments de ZFC ou de leurs extensions (par exemple, ZF, théorie des ensembles sans l'axiome du choix, ou ZF + AD, théorie des ensembles avec l' axiome de la détermination ), les notions décrites ci-dessus sont adaptées en conséquence. Ainsi, ZF est équiconsistant avec ZFC, comme le montre Gödel.

La force de cohérence de nombreux énoncés combinatoires peut être calibrée par de grands cardinaux . Par example:

Voir également

Les références