Equipollence (géométrie) - Equipollence (geometry)

En géométrie euclidienne , l' équipolence est une relation binaire entre des segments de droite orientés . Un segment de ligne AB du point A au point B a la direction opposée au segment de ligne BA . Deux segments de droite orientés sont équipollents lorsqu'ils ont la même longueur et la même direction.

Propriété de parallélogramme

Une caractéristique définitive de l'espace euclidien est la propriété de parallélogramme des vecteurs : si deux segments sont équipollents, alors ils forment les deux côtés d'un parallélogramme :

Si un vecteur donné est compris entre a et b , c et d , alors le vecteur compris entre a et c est le même que celui qui existe entre b et d .

—  Bertrand Russell , Les principes des mathématiques , page 432

Histoire

Le concept de segments de ligne équipolente a été avancé par Giusto Bellavitis en 1835. Par la suite, le terme vecteur a été adopté pour une classe de segments de ligne équipolente. L'utilisation par Bellavitis de l'idée d'une relation pour comparer des objets différents mais similaires est devenue une technique mathématique courante, en particulier dans l'utilisation des relations d'équivalence . Bellavitis a utilisé une notation spéciale pour l'équipolence des segments AB et CD :

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

Les passages suivants, traduits par Michael J. Crowe, montrent l'anticipation que Bellavitis avait des concepts vectoriels :

Les équipolllences continuent de tenir lorsqu'on substitue aux lignes qui s'y trouvent d'autres lignes qui leur sont respectivement équipolles, quelque situées dans l'espace qu'elles soient. A partir de là, on peut comprendre comment n'importe quel nombre et n'importe quel type de lignes peuvent être additionnés , et que quel que soit l'ordre dans lequel ces lignes sont prises, la même somme équipollante sera obtenue...

Dans les équipolences, comme dans les équations, une droite peut être transférée d'un côté à l'autre, à condition de changer de signe...

Ainsi, les segments dirigés de manière opposée sont négatifs les uns des autres : ${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

L'équipolence où n représente un nombre positif, indique que AB est à la fois parallèle et a la même direction que CD , et que leurs longueurs ont la relation exprimée par AB = n.CD .${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$

Le segment de A à B est un vecteur lié , tandis que la classe de segments qui lui est équipollée est un vecteur libre , dans le jargon des vecteurs euclidiens .

Diamètres conjugués

Parmi les applications historiques des équipolnces par Bellavitis et d'autres, les diamètres conjugués des ellipses ainsi que des hyperboles seront discutés :

a) Diamètre conjugué des ellipses

Bellavitis (1854) a défini l'équipolence OM d'une ellipse et la tangente respective MT comme

(1a) ${\displaystyle {\begin{matrice}&\mathrm {OM} \bumpeq x\mathrm {OA} +y\mathrm {OB} \\&\mathrm {MT} \bumpeq -y\mathrm {OA} +x\ mathrm {OB} \\&\left[x^{2}+y^{2}=1;\ x=\cos t,\ y=\sin t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \bumpeq \cos t\cdot \mathrm {OA} +\sin t\cdot \mathrm {OB} \end{matrice}}}$

où OA et OB sont des demi-diamètres conjugués de l'ellipse, qu'il relie tous deux à deux autres demi-diamètres conjugués OC et OD par la relation suivante et son inverse :

${\displaystyle {\begin{matrice}{\begin{aligné}\mathrm {OC} &\bumpeq c\mathrm {OA} +d\mathrm {OB} &\qquad &&\mathrm {OA} &\bumpeq c\ mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq -d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{aligned}}\\\left[c^{2}+d^{2}=1\right]\end{matrice}}}$

produire l'invariant

${\displaystyle (\mathrm {OC} )^{2}+(\mathrm {OD} )^{2}\bumpeq (\mathrm {OA} )^{2}+(\mathrm {OB} )^{2 }}$.

En substituant l'inverse en (1a), il a montré que l'OM conserve sa forme

${\displaystyle {\begin{matrice}\mathrm {OM} \bumpeq (cx+dy)\mathrm {OC} +(cy-dx)\mathrm {OD} \\\left[(cx+dy)^{2 }+(cy-dx)^{2}=1\right]\end{matrice}}}$

b) Diamètre conjugué des hyperboles

Dans la traduction française de l'article de 1854 de Bellavitis, Charles-Ange Laisant (1874) a ajouté un chapitre dans lequel il a adapté l'analyse ci-dessus à l' hyperbole . L'équipolence OM et sa tangente MT d'une hyperbole est définie par

(1b) ${\displaystyle {\begin{matrice}&\mathrm {OM} \bumpeq x\mathrm {OA} +y\mathrm {OB} \\&\mathrm {MT} \bumpeq y\mathrm {OA} +x\mathrm {OB} \\&\left[x^{2}-y^{2}=1;\ x=\cosh t,\ y=\sinh t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \ bumpeq \cosh t\cdot \mathrm {OA} +\sinh t\cdot \mathrm {OB} \end{matrice}}}$

Ici, OA et OB sont des demi-diamètres conjugués d'une hyperbole, OB étant imaginaire, qu'il relie tous deux à deux autres demi-diamètres conjugués OC et OD par la transformation suivante et son inverse :

${\displaystyle {\begin{matrice}{\begin{aligné}\mathrm {OC} &\bumpeq c\mathrm {OA} +d\mathrm {OB} &\qquad &&\mathrm {OA} &\bumpeq c\ mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq -d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{aligned}}\\\left[c^{2}-d^{2}=1\right]\end{matrice}}}$

produire la relation invariante

${\displaystyle (\mathrm {OC} )^{2}-(\mathrm {OD} )^{2}\bumpeq (\mathrm {OA} )^{2}-(\mathrm {OB} )^{2 }}$.

En remplaçant en (1b), il a montré que l'OM conserve sa forme

${\displaystyle {\begin{matrice}\mathrm {OM} \bumpeq (cx-dy)\mathrm {OC} +(cy-dx)\mathrm {OD} \\\left[(cx-dy)^{2 }-(cy-dx)^{2}=1\right]\end{matrice}}}$

Dans une perspective moderne, la transformation de Laisant entre deux paires de demi-diamètres conjugués peut être interprétée comme des boosts de Lorentz en termes de rotations hyperboliques, ainsi que leur démonstration visuelle en termes de diagrammes de Minkowski .

Extension

L'équipolence géométrique est également utilisée sur la sphère :

Pour apprécier la méthode de Hamilton , rappelons d'abord le cas beaucoup plus simple du groupe abélien des translations dans l'espace euclidien à trois dimensions. Chaque translation est représentable comme un vecteur dans l'espace, seules la direction et l'amplitude étant significatives, et l'emplacement non pertinent. La composition de deux traductions est donnée par la règle du parallélogramme tête-bêche d'addition vectorielle ; et prendre l'inverse revient à inverser le sens. Dans la théorie des tours d'Hamilton, nous avons une généralisation d'une telle image du groupe de traduction abélien au non-abélien SU(2) . Au lieu de vecteurs dans l'espace, on a affaire à des arcs de grand cercle dirigés, de longueur < sur une sphère unité S ² dans un espace euclidien à trois dimensions. Deux de ces arcs sont réputés équivalents si, en faisant glisser l'un le long de son grand cercle, on peut le faire coïncider avec l'autre.

Sur un grand cercle d'une sphère, deux arcs de cercle orientés sont équipollents lorsqu'ils concordent en direction et en longueur d'arc. Une classe d'équivalence de tels arcs est associée à un verseur de quaternions

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$où a est la longueur de l'arc et r détermine le plan du grand cercle par perpendicularité.

Les références

Lectures complémentaires

• Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze , lien de Google Books .

• Charles-Ange Laisant (1874) : Traduction française avec ajouts de Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences , lien de Google Books .

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze , lien de HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence , Gauthier-Villars, lien de University of Michigan Historical Math Collection.
• Lena L. Severance (1930) La théorie des équipolllences; Méthode de géométrie analytique de Sig. Bellavitis , lien de HathiTrust.

Liens externes

• Définition axiomatique de l'équipollence