Parité (mathématiques) - Parity (mathematics)
En mathématiques , la parité est la propriété d'un entier d'être pair ou impair . La parité d'un entier est paire s'il est divisible par deux sans aucun reste et sa parité est impaire si ce n'est pas le cas ; c'est-à-dire que son reste est 1. Par exemple, -4, 0, 82 et 178 sont pairs car il n'y a pas de reste en le divisant par 2. En revanche, -3, 5, 7, 21 sont des nombres impairs lorsqu'ils partent un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 2.
Les nombres pairs et impairs ont des parités opposées, par exemple 22 (nombre pair) et 13 (nombre impair) ont des parités opposées. En particulier, la parité de zéro est paire . Deux entiers consécutifs ont une parité opposée.
Une définition formelle d'un nombre pair est qu'il s'agit d'un entier de la forme n = 2 k , où k est un entier ; on peut alors montrer qu'un nombre impair est un entier de la forme n = 2 k + 1 (ou alternativement, 2 k − 1). Il est important de réaliser que la définition ci-dessus de la parité ne s'applique qu'aux nombres entiers, elle ne peut donc pas être appliquée à des nombres comme 1/2 ou 4,201. Voir la section "Mathématiques supérieures" ci-dessous pour quelques extensions de la notion de parité à une classe plus large de "nombres" ou dans d'autres contextes plus généraux.
Les ensembles de nombres pairs et impairs peuvent être définis comme suit :
- Même
- Impair
Un nombre (c'est-à-dire un nombre entier) exprimé dans le système numérique décimal est pair ou impair selon que son dernier chiffre est pair ou impair. Autrement dit, si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9, alors il est impair ; sinon, il est pair - car le dernier chiffre de tout nombre pair est 0, 2, 4, 6 ou 8. La même idée fonctionnera avec n'importe quelle base paire. En particulier, un nombre exprimé dans le système numérique binaire est impair si son dernier chiffre est 1 ; et il est pair si son dernier chiffre est 0. Dans une base impaire, le nombre est pair selon la somme de ses chiffres – il est pair si et seulement si la somme de ses chiffres est paire.
Arithmétique sur les nombres pairs et impairs
Les lois suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de divisibilité . Ils sont un cas particulier de règles en arithmétique modulaire et sont couramment utilisés pour vérifier si une égalité est susceptible d'être correcte en testant la parité de chaque côté. Comme avec l'arithmétique ordinaire, la multiplication et l'addition sont commutatives et associatives en arithmétique modulo 2, et la multiplication est distributive sur l'addition. Cependant, la soustraction dans modulo 2 est identique à l'addition, donc la soustraction possède également ces propriétés, ce qui n'est pas vrai pour l'arithmétique normale des entiers.
Addition et soustraction
- pair ± pair = pair ;
- pair ± impair = impair ;
- impair ± impair = pair ;
Multiplication
- pair × pair = pair ;
- pair × impair = pair ;
- impair × impair = impair;
La structure ({pair, impair}, +, ×) est en fait un champ avec seulement deux éléments .
Division
La division de deux nombres entiers ne donne pas nécessairement un nombre entier. Par exemple, 1 divisé par 4 est égal à 1/4, ce qui n'est ni pair ni impair, puisque les concepts pair et impair ne s'appliquent qu'aux entiers. Mais lorsque le quotient est un entier, il sera pair si et seulement si le dividende a plus de facteurs de deux que le diviseur.
Histoire
Les anciens Grecs considéraient 1, la monade , comme n'étant ni totalement impaire ni totalement paire. Une partie de ce sentiment a survécu au 19ème siècle : Friedrich Wilhelm August Fröbel 's 1826 L'éducation de l'homme demande à l'enseignant d'entraîner les étudiants avec l'affirmation que 1 n'est ni pair ni impair, à laquelle Fröbel attache la réflexion philosophique après coup,
Il est bon d'attirer ici à la fois l'attention de l'élève sur une grande loi de la nature et de la pensée. C'est qu'entre deux choses ou idées relativement différentes, il y a toujours une troisième, dans une sorte d'équilibre, semblant réunir les deux. Ainsi, il y a ici entre les nombres pairs et impairs un nombre (un) qui n'est ni l'un ni l'autre des deux. De même, dans la forme, l'angle droit se situe entre les angles aigu et obtus ; et dans le langage, les semi-voyelles ou aspirantes entre les muets et les voyelles. Un enseignant réfléchi et un élève appris à penser par lui-même peuvent à peine s'empêcher de remarquer cette loi et d'autres lois importantes.
Mathématiques supérieures
Des dimensions plus élevées et des classes de nombres plus générales
Les coordonnées entières des points dans les espaces euclidiens de deux dimensions ou plus ont également une parité, généralement définie comme la parité de la somme des coordonnées. Par exemple, le réseau cubique à faces centrées et ses généralisations de dimension supérieure, les réseaux D n , se composent de tous les points entiers dont la somme des coordonnées est paire. Cette caractéristique se manifeste aux échecs , où la parité d'une case est indiquée par sa couleur : les fous sont contraints à des cases de même parité ; les chevaliers alternent la parité entre les coups. Cette forme de parité a été utilisée pour résoudre le problème de l' échiquier mutilé : si deux carrés d'angle opposés sont retirés d'un échiquier, alors l'échiquier restant ne peut pas être recouvert de dominos, car chaque domino couvre un carré de chaque parité et il y a deux autres carrés d'une parité que de l'autre.
La parité d'un nombre ordinal peut être définie comme étant paire si le nombre est un ordinal limite, ou un ordinal limite plus un nombre pair fini, et impair sinon.
Soit R un anneau commutatif et I un idéal de R dont l' indice est 2. Les éléments du co-ensemble peuvent être appelés pairs , tandis que les éléments du co-ensemble peuvent être appelés impairs . A titre d'exemple, soit R = Z (2) la localisation de Z à l' idéal premier (2). Alors un élément de R est pair ou impair si et seulement si son numérateur l'est dans Z .
La théorie du nombre
Les nombres pairs forment un idéal dans l' anneau des nombres entiers, mais pas les nombres impairs - cela ressort clairement du fait que l' élément d' identité pour l'addition, zéro, est un élément des nombres pairs uniquement. Un entier est pair s'il est congru à 0 modulo cet idéal, autrement dit s'il est congru à 0 modulo 2, et impair s'il est congru à 1 modulo 2.
Tous les nombres premiers sont impairs, à une exception près : le nombre premier 2. Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; on ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.
La conjecture de Goldbach stipule que tout entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs informatiques modernes ont montré que cette conjecture est vraie pour des nombres entiers jusqu'à au moins 4 × 10 18 , mais aucune preuve générale n'a encore été trouvée.
Théorie des groupes
La parité d'une permutation (telle que définie en algèbre abstraite ) est la parité du nombre de transpositions en lesquelles la permutation peut être décomposée. Par exemple (ABC) à (BCA) est pair car cela peut être fait en échangeant A et B puis C et A (deux transpositions). On peut montrer qu'aucune permutation ne peut être décomposée aussi bien en un nombre pair qu'en un nombre impair de transpositions. Par conséquent, ce qui précède est une définition appropriée. Dans Rubik's Cube , Megaminx et d'autres puzzles tordus, les mouvements du puzzle ne permettent que des permutations égales des pièces du puzzle, la parité est donc importante pour comprendre l' espace de configuration de ces puzzles.
Le théorème de Feit-Thompson stipule qu'un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est un nombre impair. C'est un exemple de nombres impairs jouant un rôle dans un théorème mathématique avancé où la méthode d'application de l'hypothèse simple de "l'ordre impair" est loin d'être évidente.
Une analyse
La parité d'une fonction décrit comment ses valeurs changent lorsque ses arguments sont échangés avec leurs négations. Une fonction paire, telle qu'une puissance paire d'une variable, donne le même résultat pour tout argument que pour sa négation. Une fonction impaire, telle qu'une puissance impaire d'une variable, donne pour tout argument la négation de son résultat lorsqu'on lui donne la négation de cet argument. Il est possible qu'une fonction ne soit ni impaire ni paire, et pour le cas f ( x ) = 0, soit à la fois paire et impaire. La série de Taylor d'une fonction paire ne contient que des termes dont l'exposant est un nombre pair, et la série de Taylor d'une fonction impaire ne contient que des termes dont l'exposant est un nombre impair.
Théorie des jeux combinatoires
Dans la théorie des jeux combinatoires , un nombre maléfique est un nombre qui a un nombre pair de 1 dans sa représentation binaire , et un nombre odieux est un nombre qui a un nombre impair de 1 dans sa représentation binaire ; ces chiffres jouent un rôle important dans la stratégie du jeu Kayles . La fonction de parité fait correspondre un nombre au nombre de 1 dans sa représentation binaire, modulo 2 , sa valeur est donc zéro pour les nombres mauvais et un pour les nombres odieux. La séquence Thue-Morse , une séquence infinie de 0 et de 1, a un 0 en position i quand i est mauvais, et un 1 dans cette position quand i est odieux.
Applications supplémentaires
En théorie de l' information , un bit de parité ajouté à un nombre binaire fournit la forme la plus simple de code de détection d' erreur . Si un seul bit dans la valeur résultante est modifié, alors il n'aura plus la parité correcte : changer un bit dans le nombre d'origine lui donne une parité différente de celle enregistrée, et changer le bit de parité sans changer le nombre qu'il était dérivé de à nouveau produit un résultat incorrect. De cette manière, toutes les erreurs de transmission sur un seul bit peuvent être détectées de manière fiable. Certains codes de détection d'erreurs plus sophistiqués sont également basés sur l'utilisation de plusieurs bits de parité pour des sous-ensembles des bits de la valeur codée d'origine.
Dans les instruments à vent à perce cylindrique et en fait fermés à une extrémité, comme la clarinette au niveau du bec, les harmoniques produites sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale . (Avec des tuyaux cylindriques ouverts aux deux extrémités, utilisés par exemple dans certains jeux d'orgue comme le diapason ouvert , les harmoniques sont même des multiples de la même fréquence pour la longueur de perce donnée, mais cela a pour effet de doubler la fréquence fondamentale et tout des multiples de cette fréquence fondamentale sont produits.) Voir séries harmoniques (musique) .
Dans certains pays, la numérotation des maisons est choisie de sorte que les maisons d'un côté d'une rue aient des numéros pairs et les maisons de l'autre côté aient des numéros impairs. De même, parmi les autoroutes numérotées des États-Unis , les nombres pairs indiquent principalement les autoroutes est-ouest tandis que les nombres impairs indiquent principalement les autoroutes nord-sud. Parmi les numéros de vol des compagnies aériennes, les nombres pairs identifient généralement les vols en direction est ou nord, et les nombres impairs identifient généralement les vols en direction ouest ou sud.