Théorème de réactance de Foster - Foster's reactance theorem

Le théorème de réactance de Foster est un théorème important dans les domaines de l' analyse et de la synthèse des réseaux électriques . Le théorème stipule que la réactance d'un réseau passif et sans perte à deux terminaux ( un port ) augmente toujours de manière strictement monotone avec la fréquence. On voit facilement que les réactances des inductances et des condensateurs augmentent individuellement avec la fréquence et à partir de cette base, une preuve pour les réseaux passifs sans perte peut généralement être construite. La preuve du théorème a été présentée par Ronald Martin Foster en 1924, bien que le principe ait été publié plus tôt par les collègues de Foster à American Telephone & Telegraph .

Le théorème peut être étendu aux admittances et au concept englobant d' immittances . Une conséquence du théorème de Foster est que les zéros et les pôles de la réactance doivent alterner avec la fréquence. Foster a utilisé cette propriété pour développer deux formes canoniques pour réaliser ces réseaux. Les travaux de Foster ont été un point de départ important pour le développement de la synthèse de réseau .

Il est possible de construire des réseaux non Foster utilisant des composants actifs tels que des amplificateurs. Ceux-ci peuvent générer une impédance équivalente à une inductance ou une capacité négative. Le convertisseur d'impédance négative est un exemple d'un tel circuit.

Explication

La réactance est la partie imaginaire de l' impédance électrique complexe . Les condensateurs et les inductances possèdent une réactance (mais de signe opposé) et dépendent de la fréquence. La spécification selon laquelle le réseau doit être passif et sans perte implique qu'il n'y a pas de résistances (sans perte), ni d'amplificateurs ou de sources d'énergie (passives) dans le réseau. Le réseau doit par conséquent être entièrement constitué d'inductances et de condensateurs et l'impédance sera purement un nombre imaginaire avec une partie réelle nulle. Le théorème de Foster vaut également pour l' admission d'un réseau, qui est la susceptance (partie imaginaire de l' admittance) d'un passifs, sans perte à un port monotone augmente avec la fréquence. Ce résultat peut sembler contre-intuitif puisque l'admittance est l'inverse de l'impédance, mais se démontre facilement. Si l'impédance est

${\style d'affichage Z=iX\,}$

où est la réactance et est l' unité imaginaire , alors l'admittance est donnée par ${\displaystyle \scriptstyle X}$${\displaystyle \scriptstyle i}$

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

où est la susceptibilité. ${\displaystyle \scriptstyle B}$

Si X croît de façon monotone avec la fréquence, alors 1/ X doit être décroissant de façon monotone. −1/ X doit par conséquent être croissant de façon monotone et il est donc prouvé que B est également croissant.

C'est souvent le cas dans la théorie des réseaux qu'un principe ou une procédure s'applique aussi bien à l'impédance qu'à l'admittance, reflétant le principe de dualité pour les réseaux électriques. Il est commode dans ces circonstances d'utiliser le concept d' immittance , qui peut signifier soit l'impédance, soit l'admittance. Les mathématiques sont effectuées sans spécifier d'unités jusqu'à ce que l'on souhaite calculer un exemple spécifique. Le théorème de Foster peut donc être énoncé sous une forme plus générale comme,

Théorème de Foster (forme d'immittance)

L'immittance imaginaire d'un port unique passif et sans perte augmente de manière strictement monotone avec la fréquence.

Le théorème de Foster est assez général. En particulier, il s'applique aux réseaux à éléments distribués , bien que Foster l'ait formulé en termes d'inducteurs et de condensateurs discrets. Elle est donc applicable aux fréquences hyperfréquences tout autant qu'aux fréquences plus basses.

Exemples

Tracé de la réactance d'un inducteur en fonction de la fréquence	Tracé de la réactance d'un condensateur en fonction de la fréquence
Tracé de la réactance d'un circuit LC série en fonction de la fréquence	Tracé de la réactance d'un circuit LC parallèle en fonction de la fréquence

Les exemples suivants illustrent ce théorème dans un certain nombre de circuits simples.

Inducteur

L'impédance d'une inductance est donnée par,

${\displaystyle Z=i\omega L\,}$

${\displaystyle \scriptstyle L}$est l' inductance

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$est la fréquence angulaire

donc la réactance est,

${\displaystyle X=\omega L\,}$

qui par inspection peut être vu comme augmentant de façon monotone (et linéairement) avec la fréquence.

Condensateur

L'impédance d'un condensateur est donnée par,

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

${\displaystyle \scriptstyle C}$est la capacité

donc la réactance est,

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}}}$

qui à nouveau augmente de façon monotone avec la fréquence. La fonction d'impédance du condensateur est identique à la fonction d'admittance de l'inducteur et vice versa. C'est un résultat général que le dual de toute fonction d'immittance qui obéit au théorème de Foster suivra également le théorème de Foster.

Circuit résonnant en série

Un circuit LC série a une impédance qui est la somme des impédances d'une inductance et d'un condensateur,

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)}$

Aux basses fréquences, la réactance est dominée par le condensateur et est donc grande et négative. Cela augmente de façon monotone vers zéro (l'amplitude de la réactance du condensateur devient plus petite). La réactance passe par zéro au point où les amplitudes des réactances du condensateur et de l'inducteur sont égales (la fréquence de résonance ) et continue ensuite à augmenter de manière monotone à mesure que la réactance de l'inducteur devient progressivement dominante.

Circuit résonant parallèle

Un circuit LC parallèle est le double du circuit série et, par conséquent, sa fonction d'admittance est de la même forme que la fonction d'impédance du circuit série,

${\displaystyle Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

La fonction d'impédance est,

${\displaystyle Z=i\left({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\right)}$

Aux basses fréquences, la réactance est dominée par l'inducteur et est petite et positive. Cela augmente de manière monotone vers un pôle à la fréquence anti-résonante où la susceptance de l'inducteur et du condensateur sont égales et opposées et s'annulent. Au-delà du pôle, la réactance est grande et négative et augmente vers zéro où elle est dominée par la capacité.

Zéros et pôles

Tracé de la réactance de la première forme d'impédance de point d'entraînement canonique de Foster montrant le modèle d'alternance de pôles et de zéros. Trois anti-résonateurs sont nécessaires pour réaliser cette fonction d'impédance.

Une conséquence du théorème de Foster est que les zéros et les pôles de toute fonction d'immittance passive doivent alterner à mesure que la fréquence augmente. Après avoir traversé un pôle la fonction sera négative et est obligée de passer par zéro avant d'atteindre le pôle suivant si elle doit être monotone croissante.

Les pôles et les zéros d'une fonction d'immittance déterminent complètement les caractéristiques de fréquence d'un réseau Foster. Deux réseaux Foster qui ont des pôles et des zéros identiques seront des circuits équivalents dans le sens où leurs fonctions d'immittance seront identiques. Il peut y avoir une différence de facteur d'échelle entre eux (tous les éléments de l'immittance multipliés par le même facteur d'échelle) mais la forme des deux fonctions d'immittance sera identique.

Une autre conséquence du théorème de Foster est que la phase d'une immittance doit augmenter de façon monotone avec la fréquence. Par conséquent, le tracé d'une fonction d'immittance de Foster sur un diagramme de Smith doit toujours parcourir le diagramme dans le sens des aiguilles d'une montre avec une fréquence croissante.

La concrétisation

La première forme de réalisation d'impédance de point d'entraînement canonique de Foster. Si la fonction polynomiale a un pôle à ω = 0 l' un des LC sections permettra de réduire à un seul condensateur. Si la fonction polynomiale a un pôle à ω =∞ une des sections LC se réduira à un seul inducteur. Si les deux pôles sont présents, alors deux sections se réduisent à un circuit LC en série .

La deuxième forme de réalisation d'impédance de point d'entraînement canonique de Foster. Si la fonction polynomiale a un zéro à ω = 0 l' un des LC sections réduira à un seul inducteur. Si la fonction polynomiale a un zéro à ω =∞ une des sections LC se réduira à un seul condensateur. Si les deux zéros sont présents, alors deux sections se réduisent à un circuit LC parallèle .

Une immittance passive à un port constituée d'éléments discrets (c'est-à-dire d' éléments non distribués ) peut être représentée comme une fonction rationnelle de s ,

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

où,

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$ est l'immittance

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$sont des polynômes à coefficients réels positifs

${\displaystyle \scriptstyle s}$est la variable de transformation de Laplace , qui peut être remplacée par lorsqu'il s'agit de signaux alternatifs en régime permanent .${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$

Cela découle du fait que l'impédance des éléments L et C sont elles-mêmes de simples fonctions rationnelles et que toute combinaison algébrique de fonctions rationnelles aboutit à une autre fonction rationnelle.

Ceci est parfois appelé l' impédance du point de commande car c'est l'impédance à l'endroit du réseau auquel le circuit externe est connecté et le "conduit" avec un signal. Dans son article, Foster décrit comment une telle fonction rationnelle sans perte peut être réalisée (si elle peut être réalisée) de deux manières. La première forme de Foster consiste en un certain nombre de circuits LC parallèles connectés en série. La deuxième forme d'impédance de point d'entraînement de Foster consiste en un certain nombre de circuits LC en série connectés en parallèle. La réalisation de l'impédance du point d'entraînement n'est en aucun cas unique. La réalisation de Foster présente l'avantage que les pôles et/ou les zéros sont directement associés à un circuit résonant particulier, mais il existe de nombreuses autres réalisations. Peut-être le plus connu est Wilhelm Cauer de réalisation de l' échelle de la conception du filtre.

Réseaux non Foster

Un réseau de Foster doit être passif, donc un réseau actif, contenant une source d'alimentation, peut ne pas obéir au théorème de Foster. Ceux-ci sont appelés réseaux non Foster. En particulier, les circuits contenant un amplificateur à contre- réaction positive peuvent avoir une réactance qui diminue avec la fréquence. Par exemple, il est possible de créer une capacité et une inductance négatives avec des circuits convertisseurs d'impédance négative . Ces circuits auront une fonction d'immittance avec une phase de ±π/2 comme une réactance positive mais une amplitude de réactance avec une pente négative par rapport à la fréquence.

Ceux-ci sont intéressants car ils peuvent accomplir des tâches qu'un réseau Foster ne peut pas. Par exemple, les réseaux passifs d'adaptation d'impédance Foster habituels ne peuvent adapter l'impédance d'une antenne avec une ligne de transmission qu'à des fréquences discrètes, ce qui limite la bande passante de l'antenne. Un réseau non Foster pourrait correspondre à une antenne sur une bande de fréquences continue. Cela permettrait la création d'antennes compactes qui ont une large bande passante, violant la limite Chu-Harrington . Les réseaux pratiques non Foster sont un domaine de recherche actif.

Histoire

Le théorème a été développé à American Telephone & Telegraph dans le cadre d'enquêtes en cours sur des filtres améliorés pour les applications de multiplexage téléphonique . Ce travail était commercialement important; d'importantes sommes d'argent pourraient être économisées en augmentant le nombre de conversations téléphoniques pouvant être acheminées sur une seule ligne. Le théorème a été publié pour la première fois par Campbell en 1922 mais sans preuve. Le théorème a immédiatement été largement utilisé dans la conception de filtres, il apparaît en bonne place, avec une preuve, dans l'article de référence de Zobel de 1923 qui résumait l'état de l'art de la conception de filtres à cette époque. Foster a publié son article l'année suivante, qui comprenait ses formes de réalisation canoniques.

Cauer en Allemagne a saisi l'importance du travail de Foster et l'a utilisé comme fondement de la synthèse du réseau . Parmi les nombreuses innovations de Cauer était l'extension du travail de Foster à tous les réseaux de type 2-éléments après avoir découvert un isomorphisme entre eux. Cauer était intéressé à trouver la condition nécessaire et suffisante pour la réalisation d'un réseau rationnel à un seul port à partir de sa fonction polynomiale, une condition maintenant connue pour être une fonction positive-réelle , et le problème inverse de quels réseaux étaient équivalents, c'est-à-dire qu'ils avaient la même fonction polynomiale. Ces deux problèmes étaient importants dans la théorie des réseaux et la conception des filtres. Les réseaux d'accueil ne sont qu'un sous-ensemble des réseaux réalisables,

Les références

Bibliographie

• Foster, RM, " Un théorème de réactance ", Bell System Technical Journal , vol.3 , no. 2, p. 259-267, novembre 1924.
• Campbell, GA, " Physical theory of the electric wave filter ", Bell System Technical Journal , vol.1 , no. 2, p. 1–32, novembre 1922.
• Zobel, OJ, " Théorie et conception des filtres à ondes électriques uniformes et composites ", Bell System Technical Journal , vol.2 , no. 1, p. 1-46, janvier 1923.
• Matthew M. Radmanesh, RF & Microwave Design Essentials , AuthorHouse, 2007 ISBN  1-4259-7242-X .
• James T. Aberle, Robert Loepsinger-Romak, Antennas with non-Foster matching networks , Morgan & Claypool Publishers, 2007 ISBN  1-59829-102-5 .
• Colin Cherry, Impulsions et transitoires dans les circuits de communication , Taylor & Francis, 1950.
• KCA Smith, RE Alley, Circuits électriques : une introduction , Cambridge University Press, 1992 ISBN  0-521-37769-2 .
• Carol Gray Montgomery, Robert Henry Dicke, Edward M. Purcell, Principes des circuits micro-ondes , IET, 1987 ISBN  0-86341-100-2 .
• E. Cauer, W. Mathis, et R. Pauli, " Vie et œuvre de Wilhelm Cauer (1900-1945) ", Actes du Quatorzième Symposium International de Théorie Mathématique des Réseaux et Systèmes (MTNS2000) , Perpignan, juin 2000. Consulté le 19 septembre 2008.
• Bray, J, Innovation and the Communications Revolution , Institute of Electrical Engineers, 2002 ISBN  0-85296-218-5 .