Gaz dans une boîte - Gas in a box

En mécanique quantique , les résultats de la particule quantique dans une boîte peuvent être utilisés pour regarder la situation d'équilibre d'un gaz idéal quantique dans une boîte qui est une boîte contenant un grand nombre de molécules qui n'interagissent pas entre elles sauf pour l'instantané collisions thermales. Ce modèle simple peut être utilisé pour décrire le gaz idéal classique ainsi que les différents gaz idéaux quantiques tels que le gaz de Fermi massif idéal , le gaz de Bose massif idéal ainsi que le rayonnement du corps noir ( photon gaz ) qui peut être traité comme un gaz sans masse Gaz de Bose, dans lequel la thermalisation est généralement supposée être facilitée par l'interaction des photons avec une masse équilibrée.

En utilisant les résultats des statistiques de Maxwell – Boltzmann , de Bose – Einstein ou de Fermi – Dirac , et en considérant la limite d'une très grande boîte, l' approximation de Thomas – Fermi (nommée d'après Enrico Fermi et Llewellyn Thomas ) est utilisée pour exprimer la dégénérescence des états énergétiques comme différentiels et des sommations sur les états comme intégrales. Cela permet de calculer les propriétés thermodynamiques du gaz à l'aide de la fonction de partition ou de la fonction de grande partition . Ces résultats seront appliqués aux particules massives et sans masse. Des calculs plus complets seront laissés pour séparer les articles, mais quelques exemples simples seront donnés dans cet article.

Approximation de Thomas – Fermi pour la dégénérescence des états

Pour les particules massives et sans masse dans une boîte , les états d'une particule sont énumérés par un ensemble de nombres quantiques [ n _x , n _y , n _z ]. L'amplitude de l'élan est donnée par

${\ displaystyle p = {\ frac {h} {2L}} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2}}} \ qquad \ qquad n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} = 1,2,3, \ ldots}$

où h est la constante de Planck et L est la longueur d'un côté de la boîte. Chaque état possible d'une particule peut être considéré comme un point sur une grille tridimensionnelle d'entiers positifs. La distance de l'origine à n'importe quel point sera

${\ displaystyle n = {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2}}} = {\ frac {2Lp} {h}}}$

Supposons que chaque ensemble de nombres quantiques spécifie f états où f est le nombre de degrés de liberté internes de la particule qui peuvent être modifiés par collision. Par exemple, une particule de spin ½ aurait f = 2 , un pour chaque état de spin. Pour les grandes valeurs de n , le nombre d'états avec une amplitude d'impulsion inférieure ou égale à p à partir de l'équation ci-dessus est d'environ

${\ displaystyle g = \ left ({\ frac {f} {8}} \ right) {\ frac {4} {3}} \ pi n ^ {3} = {\ frac {4 \ pi f} {3 }} \ gauche ({\ frac {Lp} {h}} \ droite) ^ {3}}$

qui est juste f fois le volume d'une sphère de rayon n divisé par huit puisque seul l'octant de n _i positif est considéré. En utilisant une approximation du continuum, le nombre d'états avec une amplitude d'impulsion entre p et p + dp est donc

${\ displaystyle dg = {\ frac {\ pi} {2}} ~ fn ^ {2} \, dn = {\ frac {4 \ pi fV} {h ^ {3}}} ~ p ^ {2} \ , dp}$

où V = L ³ est le volume de la boîte. Notez qu'en utilisant cette approximation du continuum, également connue sous le nom d' approximation de Thomas − Fermi , la capacité de caractériser les états de basse énergie est perdue, y compris l'état fondamental où n _i = 1. Dans la plupart des cas, ce ne sera pas un problème, mais lorsque l'on considère la condensation de Bose-Einstein , dans laquelle une grande partie du gaz est dans ou près de l' état fondamental , la capacité à gérer les états de basse énergie devient importante.

Sans utiliser d'approximation, le nombre de particules d'énergie ε _i est donné par

${\ displaystyle N_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {\ Phi (\ epsilon _ {i})}}}$

où

${\ displaystyle g_ {i}}$,  dégénérescence de l'état i

${\ displaystyle \ Phi (\ epsilon _ {i}) = {\ begin {cases} e ^ {\ beta (\ epsilon _ {i} - \ mu)}, & {\ text {pour les particules obéissant aux statistiques de Maxwell-Boltzmann }} \\ e ^ {\ beta (\ epsilon _ {i} - \ mu)} - 1, & {\ text {pour les particules obéissant aux statistiques de Bose-Einstein}} \\ e ^ {\ beta (\ epsilon _ { i} - \ mu)} + 1, & {\ text {pour les particules obéissant aux statistiques de Fermi-Dirac}} \\\ end {cases}}}$

avec β = 1 / k B T  , constante de Boltzmann k B , température T et potentiel chimique μ .

(Voir les statistiques Maxwell-Boltzmann , la statistique de Bose-Einstein , et les statistiques de Fermi-Dirac .)

En utilisant l'approximation de Thomas − Fermi, le nombre de particules dN _E   d'énergie entre E   et E + dE   est:

${\ displaystyle dN_ {E} = {\ frac {dg_ {E}} {\ Phi (E)}}}$

où   est le nombre d'états dont l'énergie est comprise entre E et E + dE .${\ displaystyle dg_ {E}}$

Distribution d'énergie

En utilisant les résultats issus des sections précédentes de cet article, certaines distributions du gaz dans une boîte peuvent maintenant être déterminées. Pour un système de particules, la distribution d'une variable est définie par l'expression qui est la fraction de particules qui ont des valeurs comprises entre et${\ displaystyle P_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P_ {A} dA}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A + dA}$

${\ displaystyle P_ {A} ~ dA = {\ frac {dN_ {A}} {N}} = {\ frac {dg_ {A}} {N \ Phi _ {A}}}}$

où

${\ displaystyle dN_ {A}}$, nombre de particules qui ont des valeurs comprises entre et${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A + dA}$

${\ displaystyle dg_ {A}}$, nombre d'états qui ont des valeurs comprises entre et${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A + dA}$

${\ displaystyle \ Phi _ {A} ^ {- 1}}$, probabilité qu'un état qui a la valeur soit occupé par une particule${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle N}$, nombre total de particules.

Il s'ensuit que:

${\ displaystyle \ int _ {A} P_ {A} ~ dA = 1}$

Pour une distribution d'impulsion , la fraction de particules dont l'amplitude d'impulsion est comprise entre et est: ${\ displaystyle P_ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p + dp}$

${\ displaystyle P_ {p} ~ dp = {\ frac {Vf} {N}} ~ {\ frac {4 \ pi} {h ^ {3} \ Phi _ {p}}} ~ p ^ {2} dp }$

et pour une distribution d'énergie , la fraction de particules dont l'énergie est comprise entre et est: ${\ displaystyle P_ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E + dE}$

${\ displaystyle P_ {E} ~ dE = P_ {p} {\ frac {dp} {dE}} ~ dE}$

Pour une particule dans une boîte (et pour une particule libre également), la relation entre l'énergie et l'impulsion est différente pour les particules massives et sans masse. Pour les particules massives, ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

tandis que pour les particules sans masse,

${\ displaystyle E = pc \,}$

où est la masse de la particule et est la vitesse de la lumière. En utilisant ces relations, ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c}$

• Pour les particules massives

${\ displaystyle {\ begin {Alignat} {2} dg_ {E} & = \ quad \ \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} ~ \ beta ^ {3/2} E ^ {1/2} ~ dE \\ P_ {E} ~ dE & = {\ frac {1} {N}} \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} ~ {\ frac {\ beta ^ {3/2} E ^ {1/2} } {\ Phi (E)}} ~ dE \\\ end {aligné}}}$

où Λ est la longueur d' onde thermique du gaz.

${\ displaystyle \ Lambda = {\ sqrt {\ frac {h ^ {2} \ beta} {2 \ pi m}}}}$

C'est une quantité importante, car lorsque Λ est de l'ordre de la distance inter-particules ^1/3 , les effets quantiques commencent à dominer et le gaz ne peut plus être considéré comme un gaz de Maxwell – Boltzmann. ${\ displaystyle (V / N)}$

• Pour les particules sans masse

${\ displaystyle {\ begin {Alignat} {2} dg_ {E} & = \ quad \ \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ frac {1} {2 }} ~ \ beta ^ {3} E ^ {2} ~ dE \\ P_ {E} ~ dE & = {\ frac {1} {N}} \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3 }}} \ right) {\ frac {1} {2}} ~ {\ frac {\ beta ^ {3} E ^ {2}} {\ Phi (E)}} ~ dE \\\ end {aligné} }}$

où Λ est maintenant la longueur d'onde thermique des particules sans masse.

${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {ch \ beta} {2 \, \ pi ^ {1/3}}}}$

Exemples spécifiques

Les sections suivantes donnent un exemple de résultats pour certains cas spécifiques.

Particules massives de Maxwell – Boltzmann

Pour ce cas:

${\ displaystyle \ Phi (E) = e ^ {\ beta (E- \ mu)}}$

L'intégration de la fonction de distribution d'énergie et la résolution de N donne

${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) \, \, e ^ {\ beta \ mu}}$

La substitution dans la fonction de distribution d'énergie d'origine donne

${\ displaystyle P_ {E} ~ dE = 2 {\ sqrt {\ frac {\ beta ^ {3} E} {\ pi}}} ~ e ^ {- \ beta E} ~ dE}$

qui sont les mêmes résultats obtenus classiquement pour la distribution de Maxwell – Boltzmann . D'autres résultats peuvent être trouvés dans la section classique de l'article sur le gaz parfait .

Particules massives de Bose – Einstein

Pour ce cas:

${\ displaystyle \ Phi (E) = {\ frac {e ^ {\ beta E}} {z}} - 1 \,}$

où   ${\ displaystyle z = e ^ {\ beta \ mu}. \,}$

L'intégration de la fonction de distribution d'énergie et la résolution de N donne le nombre de particules

${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ textrm {Li}} _ {3/2} (z)}$

où Li _s ( z ) est la fonction polylogarithme . Le terme polylogarithme doit toujours être positif et réel, ce qui signifie que sa valeur passera de 0 à ζ (3/2) lorsque z  passe de 0 à 1. Au fur et à mesure que la température descend vers zéro, Λ deviendra de plus en plus grand, jusqu'à ce que finalement Λ atteindra une valeur critique Λ _c où z = 1 et

${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda _ {\ rm {c}} ^ {3}}} \ right) \ zeta (3/2),}$

où désigne la fonction zêta de Riemann . La température à laquelle Λ = Λ _c est la température critique. Pour les températures inférieures à cette température critique, l'équation ci-dessus pour le nombre de particules n'a pas de solution. La température critique est la température à laquelle un condensat Bose – Einstein commence à se former. Le problème est, comme mentionné ci-dessus, que l'état fondamental a été ignoré dans l'approximation du continuum. Il s'avère cependant que l'équation ci-dessus pour le nombre de particules exprime plutôt bien le nombre de bosons dans des états excités, et donc: ${\ displaystyle \ zeta (z)}$

${\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} z} {1-z}} + \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ textrm {Li}} _ {3/2} (z)}$

où le terme ajouté est le nombre de particules dans l'état fondamental. L'énergie de l'état fondamental a été ignorée. Cette équation se maintiendra à zéro température. D'autres résultats peuvent être trouvés dans l'article sur le gaz Bose idéal .

Particules de Bose – Einstein sans masse (par exemple, rayonnement du corps noir)

Pour le cas des particules sans masse, la fonction de distribution d'énergie sans masse doit être utilisée. Il est pratique de convertir cette fonction en une fonction de distribution de fréquence:

${\ displaystyle P _ {\ nu} ~ d \ nu = {\ frac {h ^ {3}} {N}} \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) {\ frac {1} {2}} ~ {\ frac {\ beta ^ {3} \ nu ^ {2}} {e ^ {(h \ nu - \ mu) / k _ {\ rm {B}} T} - 1}} ~ d \ nu}$

où Λ est la longueur d'onde thermique des particules sans masse. La densité d'énergie spectrale (énergie par unité de volume par unité de fréquence) est alors

${\ displaystyle U _ {\ nu} ~ d \ nu = \ left ({\ frac {N \, h \ nu} {V}} \ right) P _ {\ nu} ~ d \ nu = {\ frac {4 \ pi fh \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {(h \ nu - \ mu) / k _ {\ rm {B}} T} -1} } ~ d \ nu.}$

D'autres paramètres thermodynamiques peuvent être dérivés de manière analogue au cas des particules massives. Par exemple, l'intégration de la fonction de distribution de fréquence et la résolution de N donne le nombre de particules:

${\ displaystyle N = {\ frac {16 \, \ pi V} {c ^ {3} h ^ {3} \ beta ^ {3}}} \, \ mathrm {Li} _ {3} \ left (e ^ {\ mu / k _ {\ rm {B}} T} \ droite).}$

Le gaz Bose sans masse le plus courant est un gaz photon dans un corps noir . En prenant la «boîte» pour être une cavité corporelle noire, les photons sont continuellement absorbés et réémis par les parois. Lorsque c'est le cas, le nombre de photons n'est pas conservé. Dans le calcul des statistiques Bose – Einstein , lorsque la restriction sur le nombre de particules est supprimée, cela revient en fait à régler le potentiel chimique ( μ ) à zéro. De plus, les photons ayant deux états de spin, la valeur de f est 2. La densité d'énergie spectrale est alors

${\ displaystyle U _ {\ nu} ~ d \ nu = {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / k _ {\ rm {B}} T} -1}} ~ d \ nu}$

qui est juste la densité d'énergie spectrale pour la loi de Planck du rayonnement du corps noir . Notez que la distribution de Wien est récupérée si cette procédure est effectuée pour des particules de Maxwell – Boltzmann sans masse, qui se rapproche d'une distribution de Planck pour des températures élevées ou de faibles densités.

Dans certaines situations, les réactions impliquant des photons se traduiront par la conservation du nombre de photons (par exemple diodes électroluminescentes , cavités «blanches»). Dans ces cas, la fonction de distribution des photons impliquera un potentiel chimique non nul. (Hermann 2005)

Un autre gaz Bose sans masse est donné par le modèle Debye pour la capacité thermique . Ce modèle considère un gaz de phonons dans une boîte et diffère du développement des photons en ce que la vitesse des phonons est inférieure à la vitesse de la lumière, et il y a une longueur d'onde maximale autorisée pour chaque axe de la boîte. Cela signifie que l'intégration sur l'espace des phases ne peut pas être effectuée à l'infini, et au lieu que les résultats soient exprimés en polylogarithmes, ils sont exprimés dans les fonctions Debye associées .

Particules massives de Fermi – Dirac (par exemple électrons dans un métal)

Pour ce cas:

${\ displaystyle \ Phi (E) = e ^ {\ beta (E- \ mu)} + 1. \,}$

L'intégration de la fonction de distribution d'énergie donne

${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}} \ right) \ left [- {\ textrm {Li}} _ {3/2} (- z) \ right] }$

où encore, Li _s ( z ) est la fonction polylogarithme et Λ est la longueur d'onde thermique de Broglie . D'autres résultats peuvent être trouvés dans l'article sur le gaz de Fermi idéal . Les applications du gaz de Fermi se trouvent dans le modèle d'électrons libres , la théorie des naines blanches et dans la matière dégénérée en général.

Voir également

• Gaz dans un piège harmonique

Les références

• Herrmann, F .; Würfel, P. (août 2005). "Lumière avec un potentiel chimique non nul" . Journal américain de physique . 73 (8): 717–723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119 / 1.1904623 . Récupéré le 20/11/2006 .
• Huang, Kerson (1967). Mécanique statistique . New York: John Wiley & Sons.
• Isihara, A. (1971). Physique statistique . New York: Presse académique.
• Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Statistical Physics (3e édition, partie 1 éd.). Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Yan, Zijun (2000). "Longueur d'onde thermique générale et ses applications". EUR. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh ... 21..625Y . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 21/6/314 .
• Vu-Quoc, L., Intégrale de configuration (mécanique statistique) , 2008. Ce site wiki est en panne; voir cet article dans les archives Web du 28 avril 2012 .