Position générale - General position

En géométrie algébrique et en géométrie computationnelle , la position générale est une notion de généricité pour un ensemble de points, ou d'autres objets géométriques. Cela signifie la situation générale du cas , par opposition à certains cas plus spéciaux ou coïncidents qui sont possibles, ce que l'on appelle la position spéciale . Sa signification précise diffère selon les contextes.

Par exemple, de manière générique, deux droites du plan se coupent en un seul point (elles ne sont ni parallèles ni coïncidentes). On dit aussi « deux droites génériques se coupent en un point », ce qui est formalisé par la notion de point générique . De même, trois points génériques du plan ne sont pas colinéaires ; si trois points sont colinéaires (encore plus fort, si deux coïncident), c'est un cas dégénéré .

Cette notion est importante en mathématiques et dans ses applications, car les cas dégénérés peuvent nécessiter un traitement exceptionnel ; par exemple, lors de l'énoncé de théorèmes généraux ou d'énoncés précis de ceux-ci, et lors de l'écriture de programmes informatiques (voir complexité générique ).

Position linéaire générale

Un ensemble de points dans un d - dimensionnelle espace affine ( D de dimension espace euclidien est un exemple courant) est en position linéaire général (ou juste position générale ) si k d'entre eux se trouvent dans un ( k - 2) - dimensions à plat pour k = 2, 3, ..., d + 1 . Ces conditions contiennent une redondance considérable puisque, si la condition est vérifiée pour une certaine valeur k ₀ alors elle doit également être vérifiée pour tout k avec 2 k ≤ k ₀ . Ainsi, pour qu'un ensemble contenant au moins d + 1 points dans l' espace affine de dimension d soit en position générale, il suffit qu'aucun hyperplan ne contienne plus de d points — c'est-à - dire que les points ne satisfont pas plus de relations linéaires qu'ils ne le doivent.

Un ensemble d'au plus d + 1 points en position linéaire générale est également dit affinement indépendant (c'est l'analogue affine de l'indépendance linéaire des vecteurs, ou plus précisément de rang maximal), et d + 1 points en position linéaire générale en affine d- space sont une base affine . Voir transformation affine pour en savoir plus.

De même, n vecteurs dans un espace vectoriel à n dimensions sont linéairement indépendants si et seulement si les points qu'ils définissent dans l'espace projectif (de dimension n − 1 ) sont en position linéaire générale.

Si un ensemble de points n'est pas en position linéaire générale, on parle de cas dégénéré ou de configuration dégénérée, ce qui implique qu'ils satisfont à une relation linéaire qui n'a pas toujours besoin d'être vérifiée.

Une application fondamentale est que, dans le plan, cinq points déterminent une conique , tant que les points sont en position générale linéaire (aucun n'est colinéaire).

Plus généralement

Cette définition peut être généralisée davantage : on peut parler de points en position générale par rapport à une classe fixe de relations algébriques (eg sections coniques ). En géométrie algébrique, ce type de condition est fréquemment rencontré, en ce sens que les points devraient imposer des conditions indépendantes aux courbes qui les traversent.

Par exemple, cinq points déterminent une conique , mais en général six points ne se trouvent pas sur une conique, donc être en position générale par rapport aux coniques nécessite qu'aucun six points ne se trouvent sur une conique.

La position générale est préservée sous les cartes birégulières - si les points d'image satisfont une relation, alors sous une carte birégulière, cette relation peut être ramenée aux points d'origine. De manière significative, la carte de Véronèse est birégulière ; comme les points sous la carte de Véronèse correspondent à l'évaluation d'un polynôme de degré d en ce point, cela formalise la notion que les points en position générale imposent des conditions linéaires indépendantes aux variétés qui les traversent.

La condition de base pour la position générale est que les points ne tombent pas sur des sous-variétés de degré inférieur à ce qui est nécessaire ; dans le plan, deux points ne doivent pas coïncider, trois points ne doivent pas tomber sur une ligne, six points ne doivent pas tomber sur une conique, dix points ne doivent pas tomber sur un cubique, et de même pour les degrés supérieurs.

Ce n'est cependant pas suffisant. Alors que neuf points déterminent une cubique, il existe des configurations de neuf points qui sont spéciales par rapport aux cubiques, à savoir l'intersection de deux cubiques. L'intersection de deux cubiques, qui sont des points (par le théorème de Bézout ), est particulière en ce que neuf points en position générale sont contenus dans une unique cubique, alors que s'ils sont contenus dans deux cubiques ils sont en fait contenus dans un crayon (1- système linéaire à paramètres ) de cubiques, dont les équations sont les combinaisons linéaires projectives des équations des deux cubiques. Ainsi, de tels ensembles de points imposent une condition de moins aux cubiques les contenant que prévu, et satisfont par conséquent une contrainte supplémentaire, à savoir le théorème de Cayley-Bacharach selon lequel toute cubique qui contient huit des points contient nécessairement le neuvième. Des déclarations analogues sont valables pour un degré supérieur. ${\style d'affichage 3\fois 3=9}$

Pour les points dans le plan ou sur une courbe algébrique, la notion de position générale est faite algébriquement précise par la notion d'un régulier diviseur , et est mesurée par la disparition des plus élevés cohomologie de faisceau groupes du associés faisceau de ligne (formellement, faisceau inversible ). Comme le reflète la terminologie, cela est nettement plus technique que l'image géométrique intuitive, de la même manière qu'une définition formelle du nombre d'intersections nécessite une algèbre sophistiquée. Cette définition se généralise dans les dimensions supérieures aux hypersurfaces (sous-variétés de codimension 1), plutôt qu'aux ensembles de points, et les diviseurs réguliers sont contrastés avec les diviseurs surabondants , comme discuté dans le théorème de Riemann-Roch pour les surfaces .

Notez que tous les points en position générale ne sont pas projectivement équivalents, ce qui est une condition beaucoup plus forte ; par exemple, tous les k points distincts de la ligne sont en position générale, mais les transformations projectives ne sont que 3-transitives, l'invariant de 4 points étant le rapport croisé .

Différentes géométries

Différentes géométries permettent différentes notions de contraintes géométriques. Par exemple, un cercle est un concept qui a du sens en géométrie euclidienne , mais pas en géométrie linéaire affine ou en géométrie projective, où les cercles ne peuvent pas être distingués des ellipses, car on peut comprimer un cercle en une ellipse. De même, une parabole est un concept en géométrie affine mais pas en géométrie projective, où une parabole est simplement une sorte de conique. La géométrie qui est massivement utilisée en géométrie algébrique est la géométrie projective, la géométrie affine trouvant une utilisation significative mais beaucoup moins utilisée.

Ainsi, dans la géométrie euclidienne trois points non alignés déterminent un cercle (comme le cercle circonscrit du triangle qu'ils définissent), mais quatre points en général ne le font pas (ils ne le font que pour des quadrilatères cycliques ), de sorte que la notion de « position générale en ce qui concerne aux cercles", à savoir "aucun quatre points ne se trouve sur un cercle" a du sens. En géométrie projective, en revanche, les cercles ne sont pas distincts des coniques, et cinq points déterminent une conique, il n'y a donc pas de notion projective de « position générale par rapport aux cercles ».

Type général

La position générale est une propriété des configurations de points, ou plus généralement d'autres sous-variétés (lignes en position générale, donc pas de trois concurrentes, etc.). La position générale est une notion extrinsèque , qui dépend d'un plongement en tant que sous-variété. De manière informelle, les sous-variétés sont en position générale si elles ne peuvent être décrites plus simplement que d'autres. Un analogue intrinsèque de position générale est de type général , et correspond à une variété qui ne peut être décrite par des équations polynomiales plus simples que d'autres. Ceci est formalisé par la notion de dimension Kodaira d'une variété, et par cette mesure les espaces projectifs sont les variétés les plus spéciales, bien qu'il y en ait d'autres tout aussi spéciales, c'est-à-dire ayant une dimension Kodaira négative. Pour les courbes algébriques, la classification résultante est : ligne projective, tore, surfaces de genre supérieur ( ), et des classifications similaires se produisent dans des dimensions supérieures, notamment la classification Enriques-Kodaira des surfaces algébriques . ${\style d'affichage g\geq 2}$

Autres contextes

En théorie des intersections , à la fois en géométrie algébrique et en topologie géométrique , la notion analogue de transversalité est utilisée : les sous-variétés se coupent en général transversalement, c'est-à-dire avec la multiplicité 1, plutôt que d'être tangentes ou d'autres intersections d'ordre supérieur.

Position générale des triangulations de Delaunay dans le plan

Lors de l'examen des pavages de Voronoï et des triangulations de Delaunay dans le plan, un ensemble de points dans le plan est dit être en position générale uniquement si aucun d'entre eux ne se trouve sur le même cercle et aucun d'entre eux n'est colinéaire. La transformation de levage habituelle qui relie la triangulation de Delaunay à la moitié inférieure d'une enveloppe convexe (c'est-à-dire en donnant à chaque point p une coordonnée supplémentaire égale à | p | ² ) montre le lien avec la vue plane : quatre points se trouvent sur un cercle ou trois d'entre eux sont colinéaires exactement lorsque leurs homologues soulevés ne sont pas en position linéaire générale.

De manière abstraite : les espaces de configuration

En termes très abstraits, la position générale est une discussion des propriétés génériques d'un espace de configuration ; dans ce contexte, on entend des propriétés qui tiennent sur le point générique d'un espace de configuration, ou de manière équivalente sur un ensemble ouvert de Zariski.

Cette notion coïncide avec la notion théorique de mesure de générique, signifiant presque partout sur l'espace de configuration, ou de manière équivalente que des points choisis au hasard seront presque sûrement (avec probabilité 1) en position générale.

Remarques

Les références

• Yale, Paul B. (1968), Géométrie et symétrie , Holden-Day