Gyroradius - Gyroradius

Le gyroradius (également appelé rayon de giration , rayon de Larmor ou rayon de cyclotron ) est le rayon du mouvement circulaire d'une particule chargée en présence d'un champ magnétique uniforme . En unités SI , le gyrorayon non relativiste est donné par

${\displaystyle r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}}$

où est la masse de la particule, est la composante de la vitesse perpendiculaire à la direction du champ magnétique, est la charge électrique de la particule et est la force du champ magnétique. ${\style d'affichage m}$${\displaystyle v_{\perp }}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage B}$

La fréquence angulaire de ce mouvement circulaire est connue sous le nom de gyrofréquence , ou fréquence cyclotron , et peut être exprimée sous la forme

${\displaystyle \omega _{g}={\frac {|q|B}{m}}}$

en unités de radians /seconde.

Variantes

Il est souvent utile de donner à la gyrofréquence un signe avec la définition

${\displaystyle \omega _{g}={\frac {qB}{m}}}$

ou l'exprimer en unités de hertz avec

${\displaystyle f_{g}={\frac {qB}{2\pi m}}}$.

Pour les électrons, cette fréquence peut être réduite à

${\displaystyle f_{g,e}=(2.8\times 10^{10}\,\mathrm {hertz} /\mathrm {tesla} )\times B}$.

En unités cgs le gyroradius

${\displaystyle r_{g}={\frac {mcv_{\perp }}{|q|B}}}$

et la gyrofréquence correspondante

${\displaystyle \omega _{g}={\frac {|q|B}{mc}}}$

inclure un facteur , c'est-à-dire la vitesse de la lumière, car le champ magnétique est exprimé en unités . ${\style d'affichage c}$${\displaystyle [B]=g^{1/2}cm^{-1/2}s^{-1}}$

Cas relativiste

Pour les particules relativistes, l'équation classique doit être interprétée en termes de quantité de mouvement : ${\displaystyle p=\gamma mv}$

${\displaystyle r_{g}={\frac {p_{\perp }}{|q|B}}={\frac {\gamma mv_{\perp }}{|q|B}}}$

où est le facteur de Lorentz . Cette équation est correcte également dans le cas non relativiste. ${\style d'affichage \gamma }$

Pour les calculs en physique des accélérateurs et des astroparticules , la formule du gyrorayon peut être réarrangée pour donner

${\displaystyle r_{g}/\mathrm {meter} =3.3\times {\frac {(\gamma mc^{2}/\mathrm {GeV} )(v_{\perp }/c)}{(|q |/e)(B/\mathrm {Tesla} )}}}$,

où est la vitesse de la lumière, est l'unité de Giga - électronVolts , et est la charge élémentaire . ${\style d'affichage c}$${\displaystyle \mathrm {GeV} }$${\style d'affichage e}$

Dérivation

Si la particule chargée se déplace, alors elle subira une force de Lorentz donnée par

${\displaystyle {\vec {F}}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}})}$,

où est le vecteur vitesse et est le vecteur champ magnétique. ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

Notez que la direction de la force est donnée par le produit vectoriel de la vitesse et du champ magnétique. Ainsi, la force de Lorentz agira toujours perpendiculairement à la direction du mouvement, faisant tourner la particule ou se déplacer en cercle. Le rayon de ce cercle, , peut être déterminé en égalant l'amplitude de la force de Lorentz à la force centripète comme ${\style d'affichage r_{g}}$

${\displaystyle {\frac {mv_{\perp }^{2}}{r_{g}}}=|q|v_{\perp }B}$.

En réarrangeant, le gyroradius peut être exprimé comme

${\displaystyle r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}}$.

Ainsi, le gyrorayon est directement proportionnel à la masse des particules et à la vitesse perpendiculaire, alors qu'il est inversement proportionnel à la charge électrique des particules et à l'intensité du champ magnétique. Le temps qu'il faut à la particule pour effectuer un tour, appelé période , peut être calculé comme étant

${\displaystyle T_{g}={\frac {2\pi r_{g}}{v_{\perp }}}}$.

Puisque la période est l' inverse de la fréquence, nous avons trouvé

${\displaystyle f_{g}={\frac {1}{T_{g}}}={\frac {|q|B}{2\pi m}}}$

et donc

${\displaystyle \omega _{g}={\frac {|q|B}{m}}}$.

Voir également

• Rigidité du faisceau
• Fréquence cyclotron
• Cyclotron
• Mouvement des particules de la magnétosphère
• Gyrocinétique

Les références