Invariants des tenseurs - Invariants of tensors

En mathématiques , dans les domaines de l' algèbre multilinéaire et de la théorie des représentations , les principaux invariants du tenseur de second rang sont les coefficients du polynôme caractéristique${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ p (\ lambda) = \ det (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I})}$ ,

où est l'opérateur d'identité et représente les valeurs propres du polynôme . ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in \ mathbb {C}}$

Plus largement, toute fonction à valeur scalaire est un invariant de si et seulement si pour tout orthogonal . Cela signifie qu'une formule exprimant un invariant en termes de composantes ,, donnera le même résultat pour toutes les bases cartésiennes. Par exemple, même si les composantes diagonales individuelles de changeront avec un changement de base, la somme des composantes diagonales ne changera pas. ${\ displaystyle f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle f (\ mathbf {Q} \ mathbf {A} \ mathbf {Q} ^ {T}) = f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Propriétés

Les principaux invariants ne changent pas avec les rotations du système de coordonnées (ils sont objectifs, ou dans une terminologie plus moderne, satisfont au principe d'indifférence matérielle du cadre ) et toute fonction des principaux invariants est également objective.

Calcul des invariants des tenseurs de rang deux

Dans la plupart des applications d'ingénierie , les principaux invariants des tenseurs (de rang deux) de dimension trois sont recherchés, comme ceux du tenseur de déformation de Cauchy-Green droit .

Principaux invariants

Pour de tels tenseurs, les principaux invariants sont donnés par:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} I_ {1} & = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A}) = A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left ((\ mathrm {tr} \ left (\ mathbf {A} \ right )) ^ {2} - \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {2}) \ right) = A_ {11} A_ {22} + A_ {22} A_ {33} + A_ {11} A_ {33} -A_ {12} A_ {21} -A_ {23} A_ {32} -A_ {13} A_ {31} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} + \ lambda _ {1} \ lambda _ {3} + \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \\ I_ {3} & = \ det (\ mathbf {A}) = - A_ {13} A_ {22} A_ {31} + A_ {12} A_ {23} A_ {31} + A_ {13} A_ {21} A_ {32} -A_ {11} A_ {23} A_ {32} -A_ {12} A_ {21} A_ { 33} + A_ {11} A_ {22} A_ {33} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \ end {aligné}}}$

Pour les tenseurs symétriques, ces définitions sont réduites.

La correspondance entre les invariants principaux et le polynôme caractéristique d'un tenseur, en tandem avec le théorème de Cayley-Hamilton révèle que

${\ displaystyle \ \ mathbf {A} ^ {3} -I_ {1} \ mathbf {A} ^ {2} + I_ {2} \ mathbf {A} -I_ {3} \ mathbf {I} = 0}$

où est le tenseur d'identité du second ordre. ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Principaux invariants

En plus des principaux invariants listés ci-dessus, il est également possible d'introduire la notion d'invariants principaux

${\ displaystyle {\ begin {aligné} J_ {1} & = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = I_ {1} \\ J_ {2} & = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = I_ {1} ^ {2} -2I_ {2} \\ J_ {3} & = \ lambda _ {1} ^ {3} + \ lambda _ {2} ^ {3} + \ lambda _ {3} ^ {3} = I_ {1} ^ {3} -3I_ {1} I_ { 2} + 3I_ {3} \ end {aligné}}}$

qui sont des fonctions des principaux invariants ci-dessus.

Invariants mixtes

De plus, des invariants mixtes entre paires de tenseurs de rang deux peuvent également être définis.

Calcul des invariants d'ordre deux tenseurs de dimension supérieure

Ceux-ci peuvent être extraits en évaluant directement le polynôme caractéristique , en utilisant par exemple l' algorithme de Faddeev-LeVerrier .

Calcul des invariants des tenseurs d'ordre supérieur

Les invariants des tenseurs de rang trois, quatre et d'ordre supérieur peuvent également être déterminés.

Applications d'ingénierie

Une fonction scalaire qui dépend entièrement des principaux invariants d'un tenseur est objective, c'est-à-dire indépendante des rotations du repère. Cette propriété est couramment utilisée dans la formulation d'expressions de forme fermée pour la densité d'énergie de déformation , ou énergie libre de Helmholtz , d'un matériau non linéaire possédant une symétrie isotrope. ${\ displaystyle f}$

Cette technique a été introduite pour la première fois dans la turbulence isotrope par Howard P. Robertson en 1940, où il a pu dériver l' équation de Kármán – Howarth à partir du principe invariant. George Batchelor et Subrahmanyan Chandrasekhar ont exploité cette technique et développé un traitement prolongé pour la turbulence axisymétrique.

Invariants des tenseurs non symétriques

Un tenseur réel en 3D (c'est-à-dire un avec une matrice composante 3x3) a jusqu'à six invariants indépendants, trois étant les invariants de sa partie symétrique et trois caractérisant l'orientation du vecteur axial de la partie asymétrique par rapport au principal directions de la partie symétrique. Par exemple, si les composantes cartésiennes de sont ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle [A] = {\ begin {bmatrix} 931 & 5480 & -717 \\ - 5120 & 1650 & 1090 \\ 1533 & -610 & 1169 \ end {bmatrix}},}$

la première étape consisterait à évaluer le vecteur axial associé à la partie asymétrique. Plus précisément, le vecteur axial a des composantes ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} w_ {1} & = {\ frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}} = - 850 \\ w_ {2} & = {\ frac {A_ { 13} -A_ {31}} {2}} = - 1125 \\ w_ {3} & = {\ frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}} = - 5300 \ end {aligné}} }$

L'étape suivante trouve les valeurs principales de la partie symétrique de . Même si les valeurs propres d'un tenseur non symétrique réel peuvent être complexes, les valeurs propres de sa partie symétrique seront toujours réelles et peuvent donc être ordonnées du plus grand au plus petit. Les directions de base principales orthonormées correspondantes peuvent être affectées à des sens pour garantir que le vecteur axial pointe dans le premier octant. En ce qui concerne cette base spéciale, les composants sont ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle [A '] = {\ begin {bmatrix} 1875 & -2500 & 3125 \\ 2500 & 1250 & -3750 \\ - 3125 & 3750 & 625 \ end {bmatrix}},}$

Les trois premiers invariants de sont les composantes diagonales de cette matrice: (égales aux valeurs principales ordonnées de la partie symétrique du tenseur). Les trois composants sont invariants du vecteur axial restant dans cette base: . Remarque: la grandeur du vecteur axial,, est le seul invariant de la partie asymétrique de , alors que ces trois invariants distincts caractérisent (en un sens) «l'alignement» entre les parties symétrique et oblique de . Incidemment, c'est un mythe qu'un tenseur est défini positif si ses valeurs propres sont positives. Au lieu de cela, il est défini positif si et seulement si les valeurs propres de sa partie symétrique sont positives. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle a_ {1} = A '_ {11} = 1875, a_ {2} = A' _ {22} = 1250, a_ {3} = A '_ {33} = 625}$${\ displaystyle w '_ {1} = A' _ {32} = 3750, w '_ {2} = A' _ {13} = 3125, w '_ {3} = A' _ {21} = 2500 }$${\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Voir également

• Polynôme symétrique
• Polynôme symétrique élémentaire
• Les identités de Newton
• Théorie invariante

Les références