Invariant de Kontsevich - Kontsevich invariant

Dans la théorie mathématique des nœuds , l' invariant de Kontsevich , également connu sous le nom d' intégrale de Kontsevich d'un lien encadré orienté , est un invariant universel de Vassiliev en ce sens que tout coefficient de l'invariant de Kontsevich est de type fini , et inversement tout invariant de type fini peut être présenté comme une combinaison linéaire de ces coefficients. Il a été défini par Maxim Kontsevich .

L'invariant de Kontsevich est un invariant quantique universel dans le sens où tout invariant quantique peut être récupéré en substituant le système de poids approprié dans n'importe quel diagramme de Jacobi .

Définition

L'invariant de Kontsevich est défini par la monodromie selon des solutions des équations de Knizhnik – Zamolodchikov .

Diagramme de Jacobi et diagramme d'accord

Définition

Soit X un cercle (qui est une variété unidimensionnelle). Comme le montre la figure de droite, un diagramme de Jacobi d'ordre n est le graphe à 2 n sommets, avec le cercle externe représenté comme un cercle en trait plein et avec des lignes en pointillés appelé graphe intérieur, qui satisfait aux conditions suivantes:

1. L'orientation n'est donnée qu'au cercle extérieur.
2. Les sommets ont des valeurs 1 ou 3. Les sommets valorisés 3 sont connectés à l'un des autres bords avec le sens horaire ou anti-horaire représenté comme le petit cercle dirigé. Les sommets valorisés 1 sont connectés au cercle externe sans multiplicité, ordonnés par l'orientation du cercle.

Les bords sur G sont appelés accords . On note A ( X ) l'espace quotient du groupe commutatif généré par tous les diagrammes de Jacobi sur X divisé par les relations suivantes:

(La relation AS) + = 0

(La relation IHX) = -

(La relation STU) = -

(La relation FI) = 0.

Un diagramme sans sommets valant 3 est appelé un diagramme d'accords . Si chaque composant connecté d'un graphe G a un sommet valant 3, alors nous pouvons transformer le diagramme de Jacobi en un diagramme d'accord en utilisant la relation STU de manière récursive. Si nous nous limitons uniquement aux diagrammes d'accords, alors les quatre relations ci-dessus sont réduites aux deux relations suivantes:

(La relation à quatre termes) - + - = 0.

(La relation FI) = 0.

Propriétés

• Le degré d'un diagramme de Jacobi est défini comme étant la moitié de la somme du nombre de ses sommets avec la valeur 1 et un avec la valeur 3. C'est le nombre d'accords dans le diagramme d'accords transformé à partir du diagramme de Jacobi.
• Tout comme pour les enchevêtrements , les diagrammes de Jacobi forment une catégorie monoïdale avec la composition comme la compilation de diagrammes de Jacobi le long de la direction ascendante et descendante et le produit tensoriel comme juxtaposition des diagrammes de Jacobi.
  • Dans le cas particulier où X est un intervalle I , A ( X ) sera une algèbre commutative. En considérant A ( S ¹ ) comme l'algèbre avec la multiplication comme des sommes connectées , A ( S ¹ ) est isomorphe à A ( I ) .
• Un diagramme de Jacobi peut être vu comme une abstraction de représentations de l'algèbre tensorielle générée par les algèbres de Lie, ce qui nous permet de définir certaines opérations analogues aux coproduits, aux comptages et aux antipodes des algèbres de Hopf .
• Puisque les invariants de Vassiliev (ou invariants de type fini) sont étroitement liés aux diagrammes d'accord, on peut construire un nœud singulier à partir d'un diagramme d'accord G sur S ¹ . K _n désignant l'espace généré par tous les nœuds singuliers de degré n , chacun de ces G détermine un élément unique dans K _m / K _{m +1} .

Système de poids

Une carte des diagrammes Jacobi aux entiers positifs est appelée un système de pondération . La carte étendue à l'espace A ( X ) est également appelée le système de poids. Ils ont les propriétés suivantes:

• Soit g une algèbre de Lie semi-simple et ρ sa représentation. Nous obtenons un système de poids en "substituant" le tenseur invariant de g dans la corde d'un diagramme de Jacobi et ρ dans la variété sous-jacente X du diagramme de Jacobi.
  • Nous pouvons voir les sommets de valeur 3 du diagramme de Jacobi comme le produit entre parenthèses de l'algèbre de Lie, les flèches pleines comme l'espace de représentation de ρ et les sommets de valeur 1 comme l'action de l'algèbre de Lie.
  • La relation IHX et la relation STU correspondent respectivement à l'identité Jacobi et à la définition de la représentation

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v - ρ ( b ) ρ ( a ) v .

• Les systèmes de poids jouent un rôle essentiel dans la preuve de la conjecture de Mervin-Morton, qui relie les polynômes d'Alexandre aux polynômes de Jones .

L'histoire

Les diagrammes de Jacobi ont été introduits comme analogues des diagrammes de Feynman lorsque Kontsevich a défini les invariants de nœud par des intégrales itérées dans la première moitié des années 1990. Il représentait des points singuliers de nœuds singuliers par des accords, c'est-à - dire qu'il traitait uniquement avec des diagrammes d'accords. D. Bar-Natan les a formulés plus tard sous forme de graphiques évalués de 1 à 3 et a étudié leurs propriétés algébriques et les a appelés «diagrammes de caractères chinois» dans son article. Plusieurs termes tels que les diagrammes d'accords, les diagrammes Web ou les diagrammes de Feynman ont été utilisés pour les désigner, mais ils sont appelés diagrammes de Jacobi depuis environ 2000, car la relation IHX correspond à l'identité Jacobi des algèbres de Lie .

On peut les interpréter d'un point de vue plus général par des fermoirs, qui ont été définis indépendamment par Goussarov et Kazuo Habiro dans la seconde moitié des années 1990.

Références

Bibliographie

• Ohtsuki, Tomotada (2001). Quantum Invariants - A Study of Knots, 3-Manifolds, and their Sets (1ère éd.). Société d'édition scientifique mondiale. ISBN 9789810246754. OL  9195378M .