Formule Landau–Zener - Landau–Zener formula

Croquis d'un croisement évité . Le graphique représente les énergies du système le long d'un paramètre z (qui peut varier dans le temps). Les traits pointillés représentent les énergies des états diabatiques, qui se croisent en z _c , et les traits pleins représentent l'énergie des états adiabatiques (valeurs propres de l'hamiltonien).

La formule de Landau-Zener est une solution analytique aux équations du mouvement régissant la dynamique de transition d'un système quantique à deux états , avec un hamiltonien dépendant du temps variant de telle sorte que la séparation d'énergie des deux états est une fonction linéaire du temps. La formule, donnant la probabilité d'une transition diabatique (non adiabatique ) entre les deux états d'énergie, a été publiée séparément par Lev Landau , Clarence Zener , Ernst Stueckelberg et Ettore Majorana , en 1932.

Si le système commence, dans le passé infini, dans l'état propre d'énergie inférieure, nous souhaitons calculer la probabilité de trouver le système dans l'état propre d'énergie supérieure dans un futur infini (une transition dite de Landau-Zener). Pour une variation infiniment lente de la différence d'énergie (c'est-à-dire une vitesse de Landau-Zener de zéro), le théorème adiabatique nous dit qu'une telle transition n'aura pas lieu, car le système sera toujours dans un état propre instantané de l'hamiltonien à ce moment. à l'heure. À des vitesses non nulles, les transitions se produisent avec une probabilité telle que décrite par la formule de Landau-Zener.

Conditions et approximation

De telles transitions se produisent entre les états de l'ensemble du système, par conséquent, toute description du système doit inclure toutes les influences externes, y compris les collisions et les champs électriques et magnétiques externes . Afin que les équations du mouvement pour le système puissent être résolues analytiquement, un ensemble de simplifications sont faites, connues collectivement sous le nom d'approximation de Landau-Zener. Les simplifications sont les suivantes :

1. Le paramètre de perturbation dans l'hamiltonien est une fonction linéaire connue du temps
2. La séparation énergétique des états diabatiques varie linéairement avec le temps
3. Le couplage dans la matrice hamiltonienne diabatique est indépendant du temps

La première simplification en fait un traitement semi-classique. Dans le cas d'un atome dans un champ magnétique, l'intensité du champ devient une variable classique qui peut être mesurée avec précision pendant la transition. Cette exigence est assez restrictive car un changement linéaire ne sera pas, en général, le profil optimal pour atteindre la probabilité de transition souhaitée.

La seconde simplification permet de faire la substitution

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

où et sont les énergies des deux états au temps , données par les éléments diagonaux de la matrice hamiltonienne, et est une constante. Pour le cas d'un atome dans un champ magnétique, cela correspond à une variation linéaire du champ magnétique. Pour un décalage Zeeman linéaire , cela découle directement du point 1. ${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$

La simplification finale nécessite que la perturbation dépendante du temps ne couple pas les états diabatiques ; au contraire, le couplage doit être dû à une déviation statique d'un potentiel de coulomb , communément décrit par un défaut quantique . ${\displaystyle \scriptstyle {1/r}}$

Formule

Les détails de la solution de Zener sont quelque peu opaques, s'appuyant sur un ensemble de substitutions pour mettre l'équation du mouvement sous la forme de l'équation de Weber et en utilisant la solution connue. Une solution plus transparente est fournie par Curt Wittig en utilisant l' intégration de contour .

Le facteur clé de mérite dans cette approche est la vitesse de Landau-Zener :

${\displaystyle v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\environ {\frac {dq}{dt}},}$

où est la variable de perturbation (champ électrique ou magnétique, longueur de liaison moléculaire ou toute autre perturbation du système), et et sont les énergies des deux états diabatiques (croisés). Un grand résulte en une grande probabilité de transition diabatique et vice versa. ${\displaystyle \scriptstyle {q}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle {v_{\rm {LZ}}}}$

En utilisant la formule de Landau-Zener la probabilité, , d'une transition diabatique est donnée par ${\displaystyle \scriptstyle {P_{\rm {D}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{ \frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt }}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\ fin{aligné}}}$

La quantité est l' élément hors diagonale de l'hamiltonien du système à deux niveaux couplant les bases, et en tant que tel, c'est la moitié de la distance entre les deux énergies propres non perturbées au croisement évité, quand . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage E_{1}=E_{2}}$

Problème multi-états

La généralisation la plus simple du modèle Landau-Zener à deux états est un système à plusieurs états avec un hamiltonien de la forme

${\style d'affichage H(t)=A+Bt}$,

où A et B sont des matrices hermitiennes N x N avec des éléments indépendants du temps. Le but de la théorie multi-états de Landau-Zener est de déterminer les éléments de la matrice de diffusion et les probabilités de transition entre les états de ce modèle après évolution avec un tel hamiltonien d'un temps infini négatif à un temps infini positif. Les probabilités de transition sont la valeur absolue au carré des éléments de la matrice de diffusion.

Il existe des formules exactes, appelées contraintes de hiérarchie, qui fournissent des expressions analytiques pour des éléments spéciaux de la matrice de diffusion dans tout modèle Landau-Zener multi-états. Des cas particuliers de ces relations sont connus sous le nom de formule de Brundobler-Elser (BE) (remarquée par Brundobler et Elser dans les simulations numériques et rigoureusement prouvée par Dobrescu et Sinitsyn, suite à la contribution de Volkov et Ostrovsky), et le théorème de non-droit ,) . Les symétries discrètes conduisent souvent à des contraintes qui réduisent le nombre d'éléments indépendants de la matrice de diffusion.

Il existe des conditions d'intégrabilité qui, lorsqu'elles sont satisfaites, conduisent à des expressions exactes pour les matrices de diffusion dans les modèles multi-états de Landau-Zener. De nombreux modèles multi-états Landau-Zener complètement solubles ont été identifiés et étudiés avec ces conditions, notamment :

• Modèle Demkov-Osherov qui décrit un seul niveau qui traverse une bande de niveaux parallèles. Un fait surprenant concernant la solution de ce modèle est la coïncidence de la matrice de probabilité de transition obtenue exactement avec sa forme obtenue avec une simple approximation de croisement indépendante semi-classique. Avec quelques généralisations, cette propriété apparaît dans presque tous les systèmes de Landau-Zener solubles avec un nombre fini d'états en interaction.
• Modèle de nœud papillon généralisé. Le modèle décrit le couplage de deux niveaux (ou d'un dans la limite du cas dégénéré) à un ensemble d'états diabatiques sans interaction qui se croisent en un seul point.
• Le modèle piloté de Tavis-Cummings décrit l'interaction de N spins-½ avec un mode bosonique dans un champ magnétique linéairement dépendant du temps. C'est le système résolu le plus riche connu. Il a une complexité combinatoire : la dimension de son espace vectoriel d'état croît de façon exponentielle avec le nombre de spins N. Les probabilités de transition dans ce modèle sont décrites par la statistique binomiale déformée q.
• Amas de spins interagissant avec des champs magnétiques dépendant du temps. Cette classe de modèles montre un comportement relativement complexe des probabilités de transition en raison des effets d'interférence de chemin dans l'approximation de croisement indépendante semi-classique.
• Modèles multi-états réductibles (ou composites) de Landau-Zener. Cette classe se compose de systèmes qui peuvent être découplés en sous-ensembles d'autres modèles résolubles et plus simples par une transformation de symétrie. L'exemple notable est un hamiltonien de spin arbitraire , où S _z et S _x sont des opérateurs de spin, et S >1/2 ; b et g sont des paramètres constants. C'est le premier système résoluble connu, qui a été discuté par Majorana en 1932. Parmi les autres exemples, il y a des modèles d'une paire de passages à niveau dégénérés et la chaîne d'Ising quantique 1D dans un champ magnétique changeant linéairement.${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$
• Transitions de Landau-Zener dans des chaînes linéaires infinies. Cette classe contient les systèmes avec un nombre formellement infini d'états en interaction. Bien que les instances les plus connues puissent être obtenues en tant que limites des modèles de taille finie (comme le modèle Tavis-Cummings), il existe également des cas qui n'appartiennent pas à cette classification. Par exemple, il existe des chaînes infinies résolubles avec des couplages non nuls entre des états non les plus proches.

Etude du bruit

Les applications de la solution de Landau-Zener aux problèmes de préparation et de manipulation d'états quantiques avec des degrés de liberté discrets ont stimulé l'étude des effets du bruit et de la décohérence sur la probabilité de transition dans un système à deux états piloté. Plusieurs résultats analytiques compacts ont été dérivés pour décrire ces effets, y compris la formule de Kayanuma pour un fort bruit diagonal et la formule de Pokrovsky-Sinitsyn pour le couplage à un bruit coloré rapide avec des composants hors diagonale.

À l'aide de la fonction de Schwinger-Keldysh Green, une étude assez complète et approfondie sur l'effet du bruit quantique dans tous les régimes de paramètres a été réalisée par Ao et Rammer à la fin des années 1980, du couplage faible au fort, basse à haute température, passage lent à rapide, etc. Des expressions analytiques concises ont été obtenues dans diverses limites, montrant la richesse des comportements d'un tel problème. Les effets du bain de spin nucléaire et du couplage du bain de chaleur sur le processus Landau-Zener ont été explorés par Sinitsyn et Prokof'ev et Pokrovsky et Sun, respectivement.

Les résultats exacts de la théorie multi-états de Landau-Zener ( théorème no-go et formule BE ) peuvent être appliqués aux systèmes Landau-Zener couplés à des bains composés d'un nombre infini d'oscillateurs et/ou de bains de spin (transitions Landau-Zener dissipatives). Ils fournissent des expressions exactes pour les probabilités de transition moyennées sur les états finaux du bain si l'évolution commence à partir de l'état fondamental à température nulle, voir dans la réf. pour les bains oscillants et pour des résultats universels, y compris les bains de centrifugation dans la Réf.

Voir également

• Théorie des états de transition non adiabatique
• Théorème adiabatique
• Adoucissement des liaisons
• Durcissement du liant
• Équation de Froissart-Stora

Les références