Méthode Lax – Friedrichs - Lax–Friedrichs method

La méthode Lax – Friedrichs , nommée d'après Peter Lax et Kurt O. Friedrichs , est une méthode numérique pour la résolution d' équations aux dérivées partielles hyperboliques basées sur des différences finies . La méthode peut être décrite comme le schéma FTCS (en avant dans le temps, centré dans l'espace) avec un terme de dissipation numérique de 1/2. On peut voir la méthode de Lax-Friedrichs comme une alternative au schéma de Godunov , où l'on évite de résoudre un problème de Riemann à chaque interface de cellule, au détriment de l'ajout de viscosité artificielle.

Illustration d'un problème linéaire

Considérons une équation différentielle partielle hyperbolique linéaire unidimensionnelle pour de la forme: ${\ Displaystyle u (x, t)}$

${\ displaystyle u_ {t} + au_ {x} = 0 \,}$

sur le domaine

${\ Displaystyle b \ leq x \ leq c, \; 0 \ leq t \ leq d}$

avec condition initiale

${\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x) \,}$

et les conditions aux limites

${\ Displaystyle u (b, t) = u_ {b} (t) \,}$

${\ Displaystyle u (c, t) = u_ {c} (t). \,}$

Si l'on discrétise le domaine en une grille avec des points également espacés avec un espacement de dans le -direction et dans le -direction, nous définissons ${\ displaystyle (b, c) \ times (0, d)}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle u_ {i} ^ {n} = u (x_ {i}, t ^ {n}) {\ text {avec}} x_ {i} = b + i \, \ Delta x, \, t ^ {n} = n \, \ Delta t {\ text {pour}} i = 0, \ ldots, N, \, n = 0, \ ldots, M,}$

où

${\ displaystyle N = {\ frac {cb} {\ Delta x}}, \, M = {\ frac {d} {\ Delta t}}}$

sont des nombres entiers représentant le nombre d'intervalles de grille. Ensuite, la méthode de Lax – Friedrichs pour résoudre l'équation aux dérivées partielles ci-dessus est donnée par:

${\ displaystyle {\ frac {u_ {i} ^ {n + 1} - {\ frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} )} {\ Delta t}} + a {\ frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2 \, \ Delta x}} = 0}$

Ou réécrire ceci pour résoudre l'inconnu ${\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1},}$

${\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - a { \ frac {\ Delta t} {2 \, \ Delta x}} (u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}) \,}$

D'où proviennent les valeurs initiales et les nœuds frontières

${\ displaystyle u_ {i} ^ {0} = u_ {0} (x_ {i})}$

${\ displaystyle u_ {0} ^ {n} = u_ {b} (t ^ {n})}$

${\ displaystyle u_ {N} ^ {n} = u_ {c} (t ^ {n}).}$

Extensions aux problèmes non linéaires

Une loi de conservation hyperbolique non linéaire est définie par une fonction de flux : ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle u_ {t} + (f (u)) _ {x} = 0.}$

Dans le cas de , on se retrouve avec un problème linéaire scalaire. Notez qu'en général, est un vecteur avec des équations. La généralisation de la méthode de Lax-Friedrichs aux systèmes non linéaires prend la forme ${\ displaystyle f (u) = au}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {\ frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - {\ frac {\ Delta t} {2 \, \ Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n})).}$

Cette méthode est prudente et précise de premier ordre, donc assez dissipative. Il peut cependant être utilisé comme élément de base pour créer des schémas numériques d'ordre élevé pour résoudre des équations différentielles partielles hyperboliques, tout comme les pas de temps d'Euler peuvent être utilisés comme élément de base pour créer des intégrateurs numériques d'ordre élevé pour des équations différentielles ordinaires.

Nous notons que cette méthode peut être écrite sous forme de conservation:

${\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ left ({\ hat {f}} _ {i +1/2} ^ {n} - {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} \ right),}$

où

${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = {\ frac {1} {2}} \ gauche (f_ {i-1} + f_ {i} \ droite) - {\ frac {\ Delta x} {2 \ Delta t}} \ left (u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} \ right).}$

Sans les termes supplémentaires et dans le flux discret , on se retrouve avec le schéma FTCS , qui est bien connu pour être inconditionnellement instable pour les problèmes hyperboliques. ${\ displaystyle u_ {i} ^ {n}}$${\ displaystyle u_ {i-1} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n}}$

Stabilité et précision

Cette méthode est explicite et précise du premier ordre dans le temps et précise du premier ordre dans l'espace (à condition que les fonctions soient suffisamment lisses. Dans ces conditions, la méthode est stable si et seulement si la condition suivante est remplie: ${\ Displaystyle O (\ Delta t) + O ({\ frac {\ Delta x ^ {2}} {\ Delta t}}))}$${\ displaystyle u_ {0} (x), \, u_ {b} (t), \, u_ {c} (t)}$

${\ displaystyle \ left | a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ right | \ leq 1.}$

(Une analyse de stabilité de von Neumann peut montrer la nécessité de cette condition de stabilité.) La méthode de Lax – Friedrichs est classée comme ayant une dissipation de second ordre et une dispersion de troisième ordre ( Chu 1978 , p. 304). Pour les fonctions qui présentent des discontinuités , le schéma affiche une forte dissipation et dispersion ( Thomas 1995 , §7.8); voir les figures à droite.

Les références

• DuChateau, Paul; Zachmann, David (2002), Equations différentielles partielles appliquées , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41976-3.
• Thomas, JW (1995), Equations aux différences partielles numériques: méthodes aux différences finies , textes en mathématiques appliquées, 22 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97999-1.
• Chu, CK (1978), Numerical Methods in Fluid Mechanics , Advances in Applied Mechanics, 18 , New York: Academic Press , ISBN 978-0-12-002018-8.
• Appuyez sur WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 10.1.2. Lax Method» , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3e éd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8