Parenthèse de mensonge des champs de vecteurs - Lie bracket of vector fields

Dans le domaine mathématique de la topologie différentielle , la parenthèse de Lie des champs de vecteurs , également connue sous le nom de parenthèse de Jacobi-Lie ou le commutateur de champs de vecteurs , est un opérateur qui affecte à deux champs de vecteurs X et Y sur une variété lisse M un tiers champ vectoriel noté [ X , Y ] .

Conceptuellement, la parenthèse de Lie [ X , Y ] est la dérivée de Y le long du flux généré par X , et est parfois notée (" dérivée de Lie de Y le long de X "). Cela se généralise à la dérivée de Lie de tout champ de tenseur le long du flux généré par X . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

Le crochet de Lie est une opération R - bilinéaire et transforme l'ensemble de tous les champs de vecteurs lisses sur la variété M en une algèbre de Lie (de dimension infinie) .

La parenthèse de Lie joue un rôle important dans la géométrie différentielle et la topologie différentielle , par exemple dans le théorème d'intégrabilité de Frobenius , et est également fondamentale dans la théorie géométrique des systèmes de contrôle non linéaires .

Définitions

Il existe trois approches conceptuellement différentes mais équivalentes pour définir la parenthèse de Lie :

Champs vectoriels en tant que dérivations

Chaque champ de vecteurs lisses sur une variété M peut être considéré comme un opérateur différentiel agissant sur des fonctions lisses (où et de classe ) lorsque l'on définit une autre fonction dont la valeur en un point est la dérivée directionnelle de f en p dans la direction X ( p ). De cette façon, chaque champ vectoriel lisse X devient une dérivation sur C ^∞ ( M ). En outre, toute dérivation sur C ^∞ ( M ) provient d'un champ vectoriel lisse unique de X . ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$${\style d'affichage f(p)}$${\style d'affichage p\in M}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\style d'affichage X(f)}$${\style d'affichage p}$

En général, le commutateur de deux dérivations quelconques et est à nouveau une dérivation, où désigne la composition des opérateurs. Cela peut être utilisé pour définir la parenthèse de Lie comme le champ vectoriel correspondant à la dérivation du commutateur : ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\style d'affichage \circ }$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ pour tout }}f\in C^{\infty }(M ).}$

Flux et limites

Soit le flot associé au champ de vecteurs X , et soit D l' opérateur dérivé de la carte tangente . Alors la parenthèse de Lie de X et Y au point x ∈ M peut être définie comme la dérivée de Lie : ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac { (\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ = \ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X}) Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

Celui-ci mesure également l'échec de l'écoulement dans les directions successives à revenir au point x : ${\style d'affichage X,Y,-X,-Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^ {2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y }\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0 }(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\! {\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

En coordonnées

Bien que les définitions ci-dessus de la parenthèse de Lie soient intrinsèques (indépendantes du choix des coordonnées sur la variété M ), en pratique on veut souvent calculer la parenthèse en fonction d'un système de coordonnées spécifique . Nous écrivons pour la base locale associée du fibré tangent, afin que les champs de vecteurs généraux puissent être écrits et pour les fonctions lisses . Ensuite, la parenthèse de Lie peut être calculée comme : ${\style d'affichage \{x^{i}\}}$${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i }=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j }\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

Si M est (un sous-ensemble ouvert de) R ⁿ , alors les champs de vecteurs X et Y peuvent être écrits comme des applications lisses de la forme et , et le crochet de Lie est donné par : ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\style d'affichage [X,Y] :=J_{Y}X-J_{X}Y}$

où et sont n × n matrices jacobiennes ( et utilisant respectivement la notation d'indice) multipliant les vecteurs colonnes n × 1 X et Y . ${\style d'affichage J_{Y}}$${\style d'affichage J_{X}}$ ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$

Propriétés

La parenthèse de Lie des champs de vecteurs équipe l'espace vectoriel réel de tous les champs de vecteurs sur M (c'est-à-dire les sections lisses du fibré tangent ) avec la structure d'une algèbre de Lie , ce qui signifie que [ • , • ] est une application avec : ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$${\displaystyle TM\à M}$${\displaystyle V\fois V\à ​​V}$

• R - bilinéarité
• Anti-symétrie, ${\style d'affichage [X,Y]=-[Y,X]}$
• Identité Jacobi ,${\style d'affichage [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

Une conséquence immédiate de la seconde propriété est que pour tout . ${\style d'affichage [X,X]=0}$${\style d'affichage X}$

De plus, il existe une " règle de produit " pour les brackets de Lie. Étant donné une fonction lisse (à valeur scalaire) f sur M et un champ de vecteurs Y sur M , nous obtenons un nouveau champ de vecteurs fY en multipliant le vecteur Y _x par le scalaire f ( x ) en chaque point x ∈ M . Puis:

• ${\style d'affichage [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

où nous multiplions la fonction scalaire X ( f ) avec le champ vectoriel Y , et la fonction scalaire f avec le champ vectoriel [ X , Y ] . Cela transforme les champs vectoriels avec la parenthèse de Lie en un algébroïde de Lie .

La disparition de la parenthèse de Lie de X et Y signifie que suivre les flux dans ces directions définit une surface intégrée dans M , avec X et Y comme champs de vecteurs de coordonnées :

Théorème : ssi les flux de X et Y commutent localement, c'est- à- dire pour tout x ∈ M et suffisamment petit s , t . ${\style d'affichage [X,Y]=0\,}$${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{ Y})(x)}$

Il s'agit d'un cas particulier du théorème d'intégrabilité de Frobenius .

Exemples

Pour un groupe de Lie G , l' algèbre de Lie correspondante est l' espace tangent à l' identité , qui peut être identifié à l' espace vectoriel des champs de vecteurs invariants à gauche sur G . La parenthèse de Lie de deux champs de vecteurs invariants à gauche est également invariante à gauche, ce qui définit l'opération de parenthèse de Jacobi-Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T_{e}G}$${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,] :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Pour un groupe de Lie matriciel, dont les éléments sont des matrices , chaque espace tangent peut être représenté sous forme de matrices : , où signifie multiplication matricielle et I est la matrice identité. Le champ de vecteurs invariant correspondant à est donné par , et un calcul montre que la parenthèse de Lie sur correspond au commutateur habituel de matrices : ${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\sous-ensemble M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot YY\cdot X.}$

Applications

Le support de Jacobi-Lie est essentiel pour prouver la contrôlabilité locale à petit temps (STLC) pour les systèmes de contrôle affine sans dérive .

Généralisations

Comme mentionné ci-dessus, la dérivée de Lie peut être considérée comme une généralisation de la parenthèse de Lie. Une autre généralisation du support de Lie (aux formes différentielles à valeur vectorielle ) est le support de Frölicher-Nijenhuis .

Les références

• "Lie bracket" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Isaiah, Pantelis (2009), "Controlled parking [Ask the experts]", IEEE Control Systems Magazine , 29 (3) : 17–21, 132, doi : 10.1109/MCS.2009.932394 , S2CID  42908664
• Khalil, HK (2002), Nonlinear Systems (3e éd.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , ISBN 0-13-067389-7
• Kolář, I., Michor, P., et Slovák, J. (1993), Opérations naturelles en géométrie différentielle , Springer-VerlagCS1 maint : plusieurs noms : liste des auteurs ( lien ) Discussion approfondie des parenthèses de Lie et de la théorie générale des dérivés de Lie.
• Lang, S. (1995), Variétés différentielles et riemanniennes , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1 Pour les généralisations aux dimensions infinies.
• Lewis, Andrew D., Notes sur la théorie du contrôle (non linéaire) (PDF)
• Warner, Frank (1983) [1971], Fondations des variétés différentiables et des groupes de Lie , New York-Berlin : Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3