Liste des identités logarithmiques - List of logarithmic identities

En mathématiques , de nombreuses identités logarithmiques existent. Ce qui suit est une compilation des plus notables d'entre eux, dont beaucoup sont utilisés à des fins de calcul.

Identités banales

${\displaystyle \log _{b}(1)=0}$	car	${\style d'affichage b^{0}=1}$, étant donné que b n'est pas égal à 0
${\displaystyle \log _{b}(b)=1}$	car	${\style d'affichage b^{1}=b}$

Annulation des exponentielles

Les logarithmes et les exponentielles de même base s'annulent. Cela est vrai parce que les logarithmes et les exponentielles sont des opérations inverses, de la même manière que la multiplication et la division sont des opérations inverses, et que l'addition et la soustraction sont des opérations inverses.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ car ​​}}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x}$

${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ car ​​}}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x}$

Les deux éléments ci-dessus sont dérivés des deux équations suivantes qui définissent un logarithme :

${\displaystyle b^{c}=x\iff \log _{b}(x)=c}$

La substitution de c dans l'équation de gauche donne b ^{log _b ( x )} = x , et la substitution de x dans la droite donne log _b ( b ^c ) = c . Enfin, remplacez c par x .

Utiliser des opérations plus simples

Les logarithmes peuvent être utilisés pour faciliter les calculs. Par exemple, deux nombres peuvent être multipliés simplement en utilisant une table logarithmique et en les additionnant. Celles-ci sont souvent appelées propriétés logarithmiques, qui sont documentées dans le tableau ci-dessous. Les trois premières opérations ci-dessous supposent que x = b ^c et/ou y = b ^d , de sorte que log _b ( x ) = c et log _b ( y ) = d . Les dérivations utilisent également les définitions de log x = b ^{log _b ( x )} et x = log _b ( b ^x ) .

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	car	${\displaystyle b^{c}b^{d}=b^{c+d}}$
${\displaystyle \log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	car	${\displaystyle {\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{cd}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)}$	car	${\style d'affichage (b^{c})^{d}=b^{cd}}$
${\displaystyle \log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}}$	car	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$
${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}}$	car	${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b} (y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}}$
${\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})}$	car	${\displaystyle \log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})}$

Où , , et sont des nombres réels positifs et , et et sont des nombres réels. ${\style d'affichage b}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage b\neq 1}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage d}$

Les lois résultent de l'annulation des exponentielles et de la loi appropriée des indices. A partir de la première loi :

${\displaystyle xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b }(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\ log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

La loi des pouvoirs exploite une autre des lois des indices :

${\displaystyle x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b }(x^{y})=y\log _{b}(x)}$

La loi relative aux quotients suit alors :

${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b }(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$

${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{ par)}$

De même, la loi racine est dérivée en réécrivant la racine comme une puissance réciproque :

${\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1 }{y}}\log _{b}(x)}$

Changer la base

${\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{10}(a)}{\log _{10}(b)}}}$

Cette identité est utile pour évaluer les logarithmes sur les calculatrices. Par exemple, la plupart des calculatrices ont des boutons pour ln et pour log ₁₀ , mais toutes les calculatrices n'ont pas de boutons pour le logarithme d'une base arbitraire.

Considérez l'équation ${\style d'affichage b^{c}=a}$

Prenez la base du logarithme des deux côtés :${\style d'affichage d}$${\displaystyle \log _{d}b^{c}=\log _{d}a}$

Simplifiez et résolvez pour :${\style d'affichage c}$${\displaystyle c\log _{d}b=\log _{d}a}$

${\displaystyle c={\frac {\log a}{\log b}}}$

Depuis , alors${\displaystyle c=\log _{b}a}$${\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}}$

Cette formule a plusieurs conséquences :

${\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}$

${\displaystyle \log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}}$

${\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}$

${\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a}$

${\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_ {1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},}$

où est toute permutation des indices 1, ...,  n . Par exemple ${\textstyle \pi }$

${\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _ {b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.}$

Somme/soustraction

La règle de sommation/soustraction suivante est particulièrement utile en théorie des probabilités lorsqu'il s'agit d'une somme de log-probabilités :

${\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}$	car	${\displaystyle \left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)}$
${\displaystyle \log _{b}(ac)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}$	car	${\displaystyle \left(ac\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)}$

Notez que l'identité de soustraction n'est pas définie si , puisque le logarithme de zéro n'est pas défini. Notez également que, lors de la programmation, il peut être nécessaire de basculer sur le côté droit des équations pour éviter de perdre le "1 +" en raison d'erreurs d'arrondi. De nombreux langages de programmation ont une fonction spécifique qui calcule sans débordement (quand c'est petit). ${\style d'affichage a=c}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage c>>a}$log1p(x)${\displaystyle \log _{e}(1+x)}$${\style d'affichage x}$

Plus généralement:

${\displaystyle \log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+ \sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b }\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right) }\droit)}$

Exposants

Une identité utile impliquant des exposants :

${\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}$

ou plus universellement :

${\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}$

Autres/identités résultantes

${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}= \log _{xy}(a)}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}= \log _{\frac {x}{y}}(a)}$

Inégalités

Basé sur, et

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ pour tous }}{-1}<x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x} {\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}} }\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ pour }}0\leq x{\text{, inverse pour }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}}$

Tous sont précis autour de , mais pas pour les grands nombres. ${\style d'affichage x=0}$

Identités de calcul

Limites

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}$

La dernière limite est souvent résumée comme "les logarithmes croissent plus lentement que n'importe quelle puissance ou racine de x ".

Dérivées de fonctions logarithmiques

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},}$

Où , , et . ${\style d'affichage x>0}$${\style d'affichage b>0}$${\style d'affichage b\neq 1}$

Définition intégrale

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Intégrales des fonctions logarithmiques

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

Pour se souvenir des intégrales supérieures, il est commode de définir

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

où est le n ^ième harmonique : ${\style d'affichage H_{n}}$

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^ {2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^ {3}}$

Puis

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$

Approximation de grands nombres

Les identités des logarithmes peuvent être utilisées pour approximer de grands nombres. Notez que log _b ( a ) + log _b ( c ) = log _b ( ac ) , où a , b et c sont des constantes arbitraires. Supposons que l'on veuille approximer le 44e nombre premier de Mersenne , 2 ^{32 582 657} −1 . Pour obtenir le logarithme en base 10, nous multiplierions 32 582 657 par log ₁₀ (2) , obtenant 9 808 357,09543 = 9 808 357 + 0,09543 . Nous pouvons alors obtenir 10 9 ^{808 357} × 10 ^0,09543 ≈ 1,25 × 10 9 ^{808 357} .

De même, les factorielles peuvent être approchées en additionnant les logarithmes des termes.

Identités logarithmiques complexes

Le logarithme complexe est le nombre complexe analogue de la fonction logarithme. Aucune fonction à valeur unique sur le plan complexe ne peut satisfaire les règles normales des logarithmes. Cependant, une fonction multivaluée peut être définie qui satisfait la plupart des identités. Il est habituel de considérer cela comme une fonction définie sur une surface de Riemann . On peut définir une version à valeur unique, appelée valeur principale du logarithme, qui est discontinue sur l'axe des abscisses négatives, et est égale à la version à valeurs multiples sur une seule coupe de branche .

Définitions

Dans ce qui suit, une première lettre majuscule est utilisée pour la valeur principale des fonctions, et la version minuscule est utilisée pour la fonction multivaluée. La version à valeur unique des définitions et des identités est toujours donnée en premier, suivie d'une section distincte pour les versions à valeurs multiples.

ln( r ) est le logarithme népérien standard du nombre réel r .

Arg( z ) est la valeur principale de la fonction arg ; sa valeur est limitée à (−π, π] . Elle peut être calculée en utilisant Arg( x  +  iy ) =  atan2 ( y ,  x ) .

Log( z ) est la valeur principale de la fonction logarithme complexe et a une partie imaginaire dans l'intervalle (−π, π] .

${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$

${\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}$

La version à valeurs multiples de log( z ) est un ensemble, mais il est plus facile de l'écrire sans accolades et son utilisation dans des formules suit des règles évidentes.

log( z ) est l'ensemble des nombres complexes v qui satisfont e ^v = z

arg( z ) est l'ensemble des valeurs possibles de la fonction arg appliquée à z .

Lorsque k est un entier :

${\displaystyle \log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)}$

${\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}$

${\displaystyle e^{\log(z)}=z}$

Constantes

Principales formes de valeur :

${\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}$

Formes à valeurs multiples, pour tout k un entier :

${\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}$

${\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}$

Addition

Principales formes de valeur :

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i }}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi je}}}$

Formes à valeurs multiples :

${\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}$

${\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}$

Pouvoirs

Une puissance complexe d'un nombre complexe peut avoir plusieurs valeurs possibles.

Forme de valeur principale :

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2 \pi je}}}$

Formes à valeurs multiples :

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}$

Où k ₁ , k ₂ sont des nombres entiers quelconques :

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}$

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}$

Voir également

• Liste des formules impliquant π  – article de la liste Wikipédia
• Liste des intégrales des fonctions logarithmiques  – article de la liste Wikipedia
• Liste des identités mathématiques  – article de la liste Wikipédia
• Listes de sujets mathématiques  – article de liste Wikipedia
• Liste des identités trigonométriques  – Égalités impliquant des fonctions trigonométriques

Les références

Liens externes

• Logarithme dans Mathwords