Logarithme d'une matrice - Logarithm of a matrix

En mathématiques , un logarithme d'une matrice est une autre matrice telle que l' exponentielle matricielle de cette dernière matrice est égale à la matrice d'origine. C'est donc une généralisation du logarithme scalaire et en quelque sorte une fonction inverse de la matrice exponentielle . Toutes les matrices n'ont pas de logarithme et les matrices qui ont un logarithme peuvent avoir plus d'un logarithme. L'étude des logarithmes des matrices conduit à la théorie de Lie puisque lorsqu'une matrice a un logarithme alors elle est dans un groupe de Lie et le logarithme est l'élément correspondant de l'espace vectoriel de l' algèbre de Lie .

Définition

L'exponentielle d'une matrice A est définie par

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Étant donné une matrice B , une autre matrice A est dite logarithme matriciel de B si e ^A = B . Étant donné que la fonction exponentielle n'est pas un pour un pour les nombres complexes (par exemple ), les nombres peuvent avoir plusieurs logarithmes complexes et, par conséquent, certaines matrices peuvent avoir plus d'un logarithme, comme expliqué ci-dessous. ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$

Expression de la série de puissance

Si B est suffisamment proche de la matrice identité, alors un logarithme de B peut être calculé au moyen de la série de puissances suivante :

${\displaystyle \log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(BI)^{k}}{k}}} =(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-{\frac {(BI)^{4} }{4}}+\cdots }$.

Plus précisément, si , alors la série précédente converge et . ${\displaystyle \left\|BI\right\|<1}$${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Exemple : Logarithme des rotations dans le plan

Les rotations dans le plan donnent un exemple simple. Une rotation d'angle α autour de l'origine est représenté par la 2 × 2-matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Pour tout entier n , la matrice

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

est un logarithme de A .

Ainsi, la matrice A a une infinité de logarithmes. Ceci correspond au fait que l'angle de rotation est déterminé seulement jusqu'à un multiple de 2 π .

Dans le langage de la théorie de Lie, les matrices de rotation A sont des éléments du groupe de Lie SO(2) . Les logarithmes B correspondants sont des éléments de l'algèbre de Lie so(2), qui se compose de toutes les matrices antisymétriques . La matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

est un générateur de l' algèbre de Lie so(2).

Existence

La question de savoir si une matrice a un logarithme a la réponse la plus simple lorsqu'elle est considérée dans le cadre complexe. Une matrice complexe a un logarithme si et seulement si elle est inversible . Le logarithme n'est pas unique, mais si une matrice n'a pas de valeurs propres réelles négatives , alors il existe un logarithme unique dont les valeurs propres se trouvent toutes dans la bande { z ∈ C | −π < Im z < π}. Ce logarithme est appelé logarithme principal .

La réponse est plus impliquée dans le cadre réel. Une matrice réelle a un logarithme réel si et seulement si elle est inversible et que chaque bloc de Jordan appartenant à une valeur propre négative apparaît un nombre pair de fois. Si une matrice réelle inversible ne satisfait pas la condition avec les blocs de Jordan, alors elle n'a que des logarithmes non réels. Cela se voit déjà dans le cas scalaire : aucune branche du logarithme ne peut être réelle à -1. L'existence de logarithmes matriciels réels de matrices 2×2 réelles est considérée dans une section ultérieure.

Propriétés

Si A et B sont tous deux des matrices définies positives , alors

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}},}$

et si A et B commutent, c'est-à-dire AB = BA , alors

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,}$

En substituant dans cette équation B = A ⁻¹ , on obtient

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

De même, maintenant pour les non-navettes A et B ,

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }\!\!\!dz~~{\frac {I}{A +zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

Autre exemple : Logarithme des rotations dans l'espace 3D

Une rotation R ∈ SO(3) dans ℝ³ est donnée par une matrice orthogonale 3×3 .

Le logarithme d'une telle matrice de rotation R peut être facilement calculé à partir de la partie antisymétrique de la formule de rotation de Rodrigues (voir aussi Axis angle ). Il donne le logarithme de la norme de Frobenius minimale , mais échoue lorsque R a des valeurs propres égales à −1 où ce n'est pas unique.

Notons en outre que, étant donné les matrices de rotation A et B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}$

est la distance géodésique sur la variété 3D des matrices de rotation.

Calcul du logarithme d'une matrice diagonalisable

Une méthode pour trouver ln A pour une matrice diagonalisable A est la suivante :

Trouver la matrice V des vecteurs propres de A (chaque colonne de V est un vecteur propre de A ).

Trouvez l' inverse V ⁻¹ de V .

Laisser

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.\,}$

Alors A′ sera une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont des valeurs propres de A .

Remplacez chaque élément diagonal de A′ par son logarithme (naturel) afin d'obtenir .${\displaystyle \log A'}$

Puis

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}$

Que le logarithme de A puisse être une matrice complexe même si A est réel découle alors du fait qu'une matrice à entrées réelles et positives peut néanmoins avoir des valeurs propres négatives voire complexes (c'est le cas par exemple pour les matrices de rotation ). La non-unicité du logarithme d'une matrice découle de la non-unicité du logarithme d'un nombre complexe.

Le logarithme d'une matrice non diagonalisable

L'algorithme illustré ci-dessus ne fonctionne pas pour les matrices non diagonalisables, telles que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Pour de telles matrices, il faut trouver sa décomposition de Jordan et, plutôt que de calculer le logarithme des entrées diagonales comme ci-dessus, on calculerait le logarithme des blocs de Jordan .

Ce dernier est accompli en remarquant que l'on peut écrire un bloc de Jordan comme

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda {-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1 }\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

où K est une matrice avec des zéros sur et sous la diagonale principale. (Le nombre est non nul en supposant que la matrice dont on essaie de prendre le logarithme est inversible.)

Puis, par la série Mercator

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots }$

on obtient

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I +K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Cette série a un nombre fini de termes ( K ^m est nul si m est la dimension de K ), et donc sa somme est bien définie.

En utilisant cette approche, on trouve

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Une perspective d'analyse fonctionnelle

Une matrice carrée représente un opérateur linéaire sur l' espace euclidien R ⁿ où n est la dimension de la matrice. Comme un tel espace est de dimension finie, cet opérateur est en fait borné .

En utilisant les outils du calcul fonctionnel holomorphe , étant donné une fonction holomorphe f ( z ) définie sur un ouvert dans le plan complexe et un opérateur linéaire borné T , on peut calculer f ( T ) tant que f ( z ) est défini sur le spectre de T .

La fonction f ( z )=log z peut être définie sur tout ouvert simplement connexe dans le plan complexe ne contenant pas l'origine, et elle est holomorphe sur un tel domaine. Cela implique que l'on peut définir ln T tant que le spectre de T ne contient pas l'origine et qu'il existe un chemin allant de l'origine à l'infini ne traversant pas le spectre de T (par exemple, si le spectre de T est un cercle avec le origine à l'intérieur de celui-ci, il est impossible de définir ln T ).

Le spectre d'un opérateur linéaire sur R ⁿ est l'ensemble des valeurs propres de sa matrice, et donc un ensemble fini. Tant que l'origine n'est pas dans le spectre (la matrice est inversible), la condition de chemin du paragraphe précédent est satisfaite, et ln T est bien défini. La non-unicité du logarithme matriciel découle du fait que l'on peut choisir plus d'une branche du logarithme qui est définie sur l'ensemble des valeurs propres d'une matrice.

Une perspective de théorie des groupes de Lie

Dans la théorie des groupes de Lie , il existe une application exponentielle d' une algèbre de Lie g au groupe de Lie correspondant G

${\displaystyle \exp :g\rightarrow G.}$

Pour les groupes de Lie matriciels, les éléments de g et G sont des matrices carrées et l'application exponentielle est donnée par la matrice exponentielle . L'application inverse est multivaluée et coïncide avec le logarithme matriciel discuté ici. Le logarithme s'applique du groupe de Lie G dans l'algèbre de Lie g . Notons que l'application exponentielle est un difféomorphisme local entre un voisinage U de la matrice zéro et un voisinage V de la matrice identité . Ainsi, le logarithme (matrice) est bien défini comme une carte, ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$${\displaystyle {\underline {0}}\in g}$${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :V\subset G\rightarrow U\subset g.\,}$

Un corollaire important de la formule de Jacobi est alors

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Voir également

• Fonction matricielle
• Racine carrée d'une matrice
• Matrice exponentielle
• Formule Baker–Campbell–Hausdorff
• Dérivée de la carte exponentielle

Remarques

Les références

• Gantmacher, Felix R. (1959), La théorie des matrices , 1 , New York : Chelsea, pp. 239-241.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2e éd.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Culver, Walter J. (1966), "Sur l'existence et l'unicité du logarithme réel d'une matrice", Actes de l'American Mathematical Society , 17 (5) : 1146-1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Higham, Nicholas (2008), Fonctions des matrices. Théorie et calcul , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Engø, Kenth (juin 2001), "On the BCH-formula in so (3)" , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629-632, doi : 10.1023/A:1021979515229 , ISSN  0006-3835