Théorie catégorielle - Categorical theory

« Le test de Vaught » réexpédie ici. Il ne doit pas être confondu avec le test de Tarski-Vaught .
À ne pas confondre avec la théorie des catégories .

En logique mathématique , une théorie est catégorique si elle a exactement un modèle ( à isomorphisme près ). Une telle théorie peut être considérée comme définissant son modèle, caractérisant de manière unique sa structure.

En logique du premier ordre , seules les théories avec un modèle fini peuvent être catégoriques. La logique d'ordre supérieur contient des théories catégorielles avec un modèle infini . Par exemple, les axiomes de Peano du second ordre sont catégoriques, ayant un modèle unique dont le domaine est l' ensemble des nombres naturels ℕ .

Dans la théorie des modèles , la notion de théorie catégorielle est affinée par rapport à la cardinalité . Une théorie est κ - catégorique (ou catégorique dans κ ) si elle a exactement un modèle de cardinalité κ à isomorphisme près. Le théorème de catégorisation de Morley est un théorème de Michael D. Morley  ( 1965 ) affirmant que si une théorie du premier ordre dans un langage dénombrable est catégorique dans une cardinalité indénombrable , alors elle est catégorique dans toutes les cardinalités indénombrables.

Saharon Shelah  ( 1974 ) a étendu le théorème de Morley aux langues indénombrables : si la langue a une cardinalité κ et qu'une théorie est catégorique dans un cardinal indénombrable supérieur ou égal à κ alors elle est catégorique dans toutes les cardinalités supérieures à  κ .

Histoire et motivation

Oswald Veblen en 1904 a défini une théorie comme étant catégorique si tous ses modèles sont isomorphes. Il résulte de la définition ci-dessus et du théorème de Löwenheim-Skolem que toute théorie du premier ordre avec un modèle de cardinalité infinie ne peut pas être catégorique. On est alors immédiatement conduit à la notion plus subtile de κ -categoricity, qui demande: pour laquelle les cardinaux κ est là exactement un modèle de cardinalité κ de la théorie donnée T à isomorphisme près? C'est une question profonde et des progrès significatifs n'ont été réalisés qu'en 1954 lorsque Jerzy Łoś a remarqué que, au moins pour les théories complètes T sur les langages dénombrables avec au moins un modèle infini, il ne pouvait trouver que trois façons pour que T soit κ -catégorique à certains  κ :

  • T est totalement catégorique , c'est -à- dire que T est κ -catégorique pour tous les cardinaux  infinis κ .
  • T est indénombrable catégorique , c'est -à- dire que T est κ -catégorique si et seulement si κ est un cardinal indénombrable .
  • T est dénombrable catégorique , à savoir T est - κ -categorical si et seulement si κ est un cardinal dénombrable.

En d' autres termes, il a fait observer que, dans tous les cas , il pourrait penser, κ -categoricity à tout cardinal dénombrable impliquait κ -categoricity à tous les autres cardinaux dénombrables. Cette observation a stimulé une grande quantité de recherches dans les années 1960, aboutissant finalement au célèbre résultat de Michael Morley selon lequel ce sont en fait les seules possibilités. La théorie a ensuite été étendue et affinée par Saharon Shelah dans les années 1970 et au-delà, menant à la théorie de la stabilité et au programme plus général de la théorie de la classification de Shelah .

Exemples

Il n'y a pas beaucoup d'exemples naturels de théories qui soient catégoriques dans un certain nombre de cardinaux. Les exemples connus incluent :

  • Théorie de l'identité pure (sans fonctions, constantes, prédicats autres que "=", ou axiomes).
  • L'exemple classique est la théorie des champs algébriquement clos d'une caractéristique donnée . La catégorisation ne dit pas que tous les corps algébriquement clos de caractéristique 0 aussi grands que les nombres complexes C sont les mêmes que C ; il affirme seulement qu'ils sont isomorphes en tant que champs à C . Il s'ensuit que bien que les clôtures p-adiques terminées C p soient toutes isomorphes en tant que champs à C , elles peuvent (et ont en fait) avoir des propriétés topologiques et analytiques complètement différentes. La théorie des corps algébriquement clos de caractéristique donnée est non catégorique ω (dénombrable le cardinal infini); il existe des modèles de degré de transcendance 0, 1, 2, ..., ω .
  • Espaces vectoriels sur un champ dénombrable donné. Cela inclut les groupes abéliens d' exposant premier donné (essentiellement les mêmes que les espaces vectoriels sur un corps fini) et les groupes abéliens divisibles sans torsion (essentiellement les mêmes que les espaces vectoriels sur les rationnels ).
  • La théorie de l'ensemble des nombres naturels avec une fonction successeur.

Il existe également des exemples de théories qui sont catégoriques dans ω mais non catégoriques dans d'innombrables cardinaux. L'exemple le plus simple est la théorie d'une relation d'équivalence avec exactement deux classes d'équivalence , toutes deux infinies. Un autre exemple est la théorie des ordres linéaires denses sans extrémités ; Cantor a prouvé qu'un tel ordre linéaire dénombrable est isomorphe aux nombres rationnels.

Propriétés

Toute théorie catégorique est complète . Cependant, l'inverse ne tient pas.

Toute théorie T catégorique dans certains cardinal infini κ est très proche d'être complet. Plus précisément, les tests Łoś-Vaught stipule que si une théorie satisfiable n'a pas de modèles finis et est catégorique dans certains cardinal infini κ au moins égale à la cardinalité de sa langue, la théorie est terminée. La raison en est que tous les modèles infinis sont équivalents à un modèle de cardinal κ par le théorème de Löwenheim-Skolem , et sont donc tous équivalents car la théorie est catégorique dans κ . Par conséquent, la théorie est complète car tous les modèles sont équivalents. L'hypothèse que la théorie n'a pas de modèles finis est nécessaire.

Voir également

Remarques

Les références