Analyse des ondes partielles - Partial wave analysis

L'analyse partielle des ondes , dans le contexte de la mécanique quantique , fait référence à une technique de résolution des problèmes de diffusion en décomposant chaque onde en ses composantes de moment angulaire et en les résolvant à l'aide de conditions aux limites .

Théorie de diffusion préliminaire

La description suivante suit la manière canonique d'introduire la théorie de la diffusion élémentaire. Un faisceau constant de particules diffuse un potentiel à symétrie sphérique , qui est à courte portée de sorte que pour de grandes distances , les particules se comportent comme des particules libres. En principe, toute particule doit être décrite par un paquet d'ondes, mais nous décrivons plutôt la diffusion d'une onde plane se déplaçant le long de l'axe z , car les paquets d'ondes sont étendus en termes d'ondes planes et c'est mathématiquement plus simple. Du fait que le faisceau est allumé pendant des temps longs par rapport au temps d'interaction des particules avec le potentiel de diffusion, un état stable est supposé. Cela signifie que l'équation de Schrödinger stationnaire pour la fonction d'onde représentant le faisceau de particules doit être résolue : ${\style d'affichage V(r)}$${\displaystyle r\to \infty }$${\style d'affichage \exp(ikz)}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi ( \mathbf {r} )}$

On fait l' ansatz suivant :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$

où est l'onde plane entrante et est une partie diffusée perturbant la fonction d'onde d'origine. C'est la forme asymptotique qui est intéressante, car les observations à proximité du centre de diffusion (par exemple un noyau atomique) ne sont généralement pas réalisables et la détection des particules a lieu loin de l'origine. À de grandes distances, les particules devraient se comporter comme des particules libres et devraient donc être une solution à l'équation de Schrödinger libre. Cela suggère qu'il devrait avoir une forme similaire à une onde plane, en omettant toutes les parties physiquement insignifiantes. Nous étudions donc le développement des ondes planes : ${\displaystyle \Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }( \cos \theta )}$.

La fonction de Bessel sphérique se comporte asymptotiquement comme ${\displaystyle j_{\ell }(kr)}$

${\displaystyle j_{\ell }(kr)\to {\frac {1}{2ikr}}\left(\exp(i(kr-l\pi /2))-\exp(-i(kr-l \pi /2))\droit).}$

Cela correspond à une onde sphérique sortante et entrante. Pour la fonction d'onde diffusée, seules les parties sortantes sont attendues. On s'attend donc à de grandes distances et on fixe la forme asymptotique de l'onde diffusée à ${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$

${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}}$

où est l' amplitude dite de diffusion , qui ne dépend dans ce cas que de l'angle d'élévation et de l'énergie. En conclusion, cela donne l'expression asymptotique suivante pour l'ensemble de la fonction d'onde : ${\displaystyle f(\theta ,k)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp( ikr)}{r}}}$.

Expansion d'onde partielle

Dans le cas d'un potentiel à symétrie sphérique , la fonction d'onde de diffusion peut être étendue en harmoniques sphériques qui se réduisent à des polynômes de Legendre en raison de la symétrie azimutale (aucune dépendance de ) : ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$${\style d'affichage \phi }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }( \cos \theta )}$.

Dans le problème de diffusion standard, le faisceau entrant est supposé prendre la forme d'une onde plane de nombre d'onde k , qui peut être décomposée en ondes partielles en utilisant le développement d'onde plane en termes de fonctions de Bessel sphériques et de polynômes de Legendre :

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^ {\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$

Ici, nous avons supposé un système de coordonnées sphériques dans lequel l' axe z est aligné avec la direction du faisceau. La partie radiale de cette fonction d'onde est constituée uniquement de la fonction de Bessel sphérique, qui peut être réécrite comme une somme de deux fonctions de Hankel sphériques :

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2) }(kr)\droit)}$

Ceci a une signification physique: h _ℓ ⁽²⁾ asymptotiquement ( par exemple pour un grand r ) se comporte comme i ^{- ( ℓ + 1)} e ^ikr / ( kr ) et est donc une onde de départ, tandis que h _ℓ ⁽¹⁾ se comporte comme asymptotiquement i ^{ℓ +1} e ^−ikr /( kr ) et est donc une onde entrante. L'onde entrante est pas affectée par la diffusion, tandis que l'onde sortante est modifiée par un facteur connu sous le nom onde partielle S-matrice élément de _l'ℓ :

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right)}$

où u _ℓ ( r ) / r est la composante radiale de la fonction d'onde effective. Le déphasage de diffusion δ _ℓ est défini comme la moitié de la phase de S _ℓ :

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}$

Si le flux n'est pas perdu, alors | S _ℓ | = 1 et donc le déphasage est réel. C'est généralement le cas, sauf si le potentiel a une composante d'absorption imaginaire, qui est souvent utilisée dans les modèles phénoménologiques pour simuler la perte due à d'autres canaux de réaction.

Par conséquent, la fonction pleine onde est, asymptotiquement,

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^ {\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ ell }(\cos \theta )}$

En soustrayant ψ _dans les rendements de la fonction d'onde sortant asymptotique:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }( 2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \thêta )}$

En utilisant le comportement asymptotique des fonctions de Hankel sphériques, on obtient :

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\ somme _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

Etant donné que la amplitude de diffusion f ( θ , k ) est défini par:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f (\theta ,k)}$

Il s'ensuit que

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{ \ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \ delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

et donc la section efficace différentielle est donnée par

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\ sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \ thêta )\right|^{2}}$

Cela fonctionne pour toute interaction à courte portée. Pour les interactions à longue portée (tels que l'interaction de Coulomb), la sommation sur ℓ peut ne pas converger. L'approche générale pour de tels problèmes consiste à traiter l'interaction de Coulomb séparément de l'interaction à courte portée, car le problème de Coulomb peut être résolu exactement en termes de fonctions de Coulomb , qui prennent le rôle des fonctions de Hankel dans ce problème.

Les références

• Griffiths, JD (1995). Introduction à la mécanique quantique . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

Liens externes

• Analyse d'onde partielle pour les nuls
• Analyse par ondes partielles de la diffusion