Modèle demi-plan Poincaré - Poincaré half-plane model

En géométrie non euclidienne , le modèle demi-plan de Poincaré est le demi-plan supérieur , noté ci-dessous H , avec une métrique , la métrique de Poincaré , qui en fait un modèle de géométrie hyperbolique bidimensionnelle . ${\ displaystyle \ {(x, y) | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \}}$

De manière équivalente, le modèle demi-plan de Poincaré est parfois décrit comme un plan complexe où la partie imaginaire (la coordonnée y mentionnée ci-dessus) est positive.

Le modèle demi-plan de Poincaré porte le nom d' Henri Poincaré , mais il est né d' Eugenio Beltrami , qui l'a utilisé, avec le modèle de Klein et le modèle de disque de Poincaré (dû à Bernhard Riemann ), pour montrer que la géométrie hyperbolique était équiconsistant avec la géométrie euclidienne .

Ce modèle est conforme, ce qui signifie que les angles mesurés en un point sont les mêmes dans le modèle que dans le plan hyperbolique réel.

La transformée de Cayley fournit une isométrie entre le modèle demi-plan et le modèle disque de Poincaré.

Ce modèle peut être généralisé pour modéliser un espace hyperbolique dimensionnel en remplaçant le nombre réel x par un vecteur dans un espace vectoriel euclidien à n dimensions. ${\ displaystyle n + 1}$

Métrique

La métrique du modèle sur le demi-plan est: ${\ displaystyle \ {\ langle x, y \ rangle | y> 0 \},}$

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}} {y ^ {2}}}}$

où s mesure la longueur le long d'une ligne (éventuellement courbe). Les droites dans le plan hyperbolique ( géodésiques pour ce tenseur métrique, c'est-à-dire les courbes qui minimisent la distance) sont représentées dans ce modèle par des arcs de cercle perpendiculaires à l' axe des x (demi-cercles dont l'origine est sur l' axe des x ) et rayons verticaux droits perpendiculaires à l' axe des x .

Calcul de distance

En général, la distance entre deux points mesurés dans cette métrique le long d'une telle géodésique est:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) & = \ operatorname {arcosh} \ gauche (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {2y_ {1} y_ {2}}} \ right) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {y_ {1} y_ {2}}}} \\ & = 2 \ ln {\ frac {{\ sqrt {{ (x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}}} + {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ { 1})} ^ {2} + {(y_ {2} + y_ {1})} ^ {2}}}} {2 {\ sqrt {y_ {1} y_ {2}}}}}, \ end {aligné}}}$

où arcosh et arsinh sont des fonctions hyperboliques inverses

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {arsinh} {x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right), \\\ operatorname {arcosh} { x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geq 1. \ end {aligné}}}$

Certains cas particuliers peuvent être simplifiés:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, y_ {1} \ rangle, \ langle x, y_ {2} \ rangle) = \ left | \ ln {\ frac {y_ {2}} {y_ {1 }}} \ right | = | \ ln (y_ {2}) - \ ln (y_ {1}) |}$ .

${\ displaystyle \ operatorname {dist} \ left (\ langle x_ {1}, y \ rangle, \ langle x_ {2}, y \ rangle \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac { (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2}} {2y ^ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {| x_ {2} -x_ {1 } |} {2y}} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, r \ rangle, \ langle x \ pm r \ sin \ phi, r \ cos \ phi \ rangle) = \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ phi \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ phi}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ phi} {\ cos \ phi} }\droit)}$

Une autre façon de calculer la distance entre deux points situés sur un demi-cercle (euclidien) est:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (AB) = \ left | \ ln \ left ({\ frac {| BA _ {\ infty} || AB _ {\ infty} |} {| AA _ {\ infty} || BB_ { \ infty} |}} \ right) \ right |.}$

où sont les points où les demi-cercles rencontrent la ligne de démarcation et est la longueur euclidienne du segment de droite reliant les points P et Q dans le modèle. ${\ displaystyle A _ {\ infty}, B _ {\ infty}}$${\ displaystyle | PQ |}$

Points spéciaux et courbes

• Les points idéaux (points à l'infini) dans le modèle demi-plan de Poincaré sont de deux types:

• les points sur l' axe des x , et
• un point imaginaire auquel se trouve le point idéal vers lequel convergent toutes les droites orthogonales à l' axe des x . ${\ displaystyle y = \ infty}$

• Les lignes droites , les géodésiques (le chemin le plus court entre les points qu'elle contient) sont modélisées soit par:

• demi-cercles dont l'origine est sur l'axe des x
• rayons verticaux droits orthogonaux à l'axe des x

• Un cercle (courbes équidistantes d'un point central) avec centre et rayon est modélisé par: ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle r}$

un cercle avec centre et rayon ${\ Displaystyle (x, y \ cosh (r))}$${\ displaystyle y \ sinh (r)}$

• Un hypercycle (une courbe équidistante d'une droite, son axe) est modélisé soit par:

• un arc de cercle qui coupe l' axe des x aux mêmes deux points idéaux que le demi-cercle qui modélise son axe mais à un angle aigu ou obtus
• une droite qui coupe l' axe des x au même point que la ligne verticale qui modélise son axe, mais à un angle aigu ou obtus .

• Un horocycle (une courbe dont les normales convergent toutes asymptotiquement dans la même direction, son centre) est modélisé soit par:

• un cercle tangent à l' axe des x (mais excluant le point d'intersection idéal , qui est son centre)
• une ligne parallèle à l' axe des x , dans ce cas le centre est le point idéal en . ${\ displaystyle y = \ infty}$

Synopsis euclidien

Un cercle euclidien avec centre et rayon représente: ${\ displaystyle (x_ {e}, y_ {e})}$${\ displaystyle r_ {e}}$

• lorsque le cercle est complètement à l'intérieur du demi-plan, un cercle hyperbolique de centre

${\ displaystyle \ left (x_ {e}, {\ sqrt {y_ {e} ^ {2} -r_ {e} ^ {2}}} \ right)}$

et rayon

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {y_ {e} + r_ {e}} {y_ {e} -r_ {e}}} \ right).}$

• lorsque le cercle est complètement à l'intérieur du demi-plan et touche la frontière un horocycle centré autour du point idéal ${\ displaystyle (x_ {e}, 0)}$
• lorsque le cercle coupe la frontière orthogonale une ligne hyperbolique ${\ displaystyle (y_ {e} = 0)}$
• lorsque le cercle coupe la frontière non orthogonale d'un hypercycle.

Constructions de boussole et de règle

Voici comment utiliser les constructions de boussole et de règle dans le modèle pour obtenir l'effet des constructions de base dans le plan hyperbolique . Par exemple, comment construire le demi-cercle dans le demi-plan euclidien qui modélise une ligne sur le plan hyperbolique passant par deux points donnés.

Création de la ligne passant par deux points existants

Tracez le segment de ligne entre les deux points. Construisez la bissectrice perpendiculaire du segment de ligne. Trouvez son intersection avec l' axe des x . Dessinez le cercle autour de l'intersection qui passe par les points donnés. Effacez la partie qui se trouve sur ou en dessous de l' axe x .

Ou dans le cas particulier où les deux points donnés se trouvent sur une ligne verticale, tracez cette ligne verticale à travers les deux points et effacez la partie qui est sur ou en dessous de l' axe des x .

Création du cercle passant par un point avec centre un autre point

• Si les deux points ne sont pas sur une ligne verticale:

Tracez la ligne radiale (demi-cercle) entre les deux points donnés comme dans le cas précédent. Construisez une tangente à cette ligne au point non central. Déposez une perpendiculaire du point central donné à l' axe des x . Trouvez l'intersection de ces deux lignes pour obtenir le centre du cercle modèle. Dessinez le cercle modèle autour de ce nouveau centre et en passant par le point non central donné.

• Si les deux points donnés se trouvent sur une ligne verticale et que le centre donné est au-dessus de l'autre point donné:

Tracez un cercle autour de l'intersection de la ligne verticale et de l' axe des x qui passe par le point central donné. Tracez une ligne horizontale passant par le point non central. Construisez la tangente au cercle à son intersection avec cette ligne horizontale.

Le point médian entre l'intersection de la tangente avec la ligne verticale et le point non central donné est le centre du cercle modèle. Dessinez le cercle modèle autour de ce nouveau centre et en passant par le point non central donné.

• Si les deux points donnés se trouvent sur une ligne verticale et que le centre donné est en dessous de l'autre point donné:

Tracez un cercle autour de l'intersection de la ligne verticale et de l' axe des x qui passe par le point central donné. Tracez une ligne tangente au cercle qui passe par le point non central donné. Tracez une ligne horizontale passant par ce point de tangence et trouvez son intersection avec la ligne verticale.

Le point médian entre cette intersection et le point non central donné est le centre du cercle modèle. Dessinez le cercle modèle autour de ce nouveau centre et en passant par le point non central donné.

Étant donné un cercle, trouvez son centre (hyperbolique)

Déposez une perpendiculaire p du centre euclidien du cercle vers l' axe des x .

Soit le point q l'intersection de cette droite et de l' axe des x .

Tracez une ligne tangente au cercle passant par q .

Tracez le demi-cercle h de centre q passant par le point de rencontre de la tangente et du cercle.

Le centre (hyperbolique) est le point d' intersection de h et p .

Autres constructions

• Création du point qui est l'intersection de deux lignes existantes, si elles se croisent:

Trouvez l'intersection des deux demi-cercles (ou lignes verticales) donnés.

• Création d'un ou deux points à l'intersection d'une ligne et d'un cercle (s'ils se croisent):

Trouvez l'intersection du demi-cercle donné (ou de la ligne verticale) avec le cercle donné.

• Création du ou des deux points à l'intersection de deux cercles (s'ils se croisent):

Trouvez l'intersection des deux cercles donnés.

Groupes de symétrie

Le groupe linéaire projectif PGL (2, C ) agit sur la sphère de Riemann par les transformations de Möbius . Le sous-groupe qui cartographie le demi-plan supérieur, H , sur lui-même est PSL (2, R ), les transformées à coefficients réels, et celles-ci agissent de manière transitoire et isométrique sur le demi-plan supérieur, ce qui en fait un espace homogène .

Il existe quatre groupes de Lie étroitement liés qui agissent sur le demi-plan supérieur par des transformations linéaires fractionnaires et préservent la distance hyperbolique.

• Le groupe linéaire spécial SL (2, R ) qui consiste en l'ensemble des matrices 2 × 2 avec des entrées réelles dont le déterminant vaut +1. Notez que de nombreux textes (y compris Wikipedia) disent souvent SL (2, R ) alors qu'ils signifient vraiment PSL (2, R ).
• Le groupe S * L (2, R ) constitué de l'ensemble des matrices 2 × 2 avec des entrées réelles dont le déterminant vaut +1 ou -1. Notez que SL (2, R ) est un sous-groupe de ce groupe.
• Le groupe linéaire spécial projectif PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± I }, constitué des matrices en SL (2, R ) modulo plus ou moins la matrice d'identité.
• Le groupe PS ^* L (2, R ) = S ^* L (2, R ) / {± I } = PGL (2, R ) est à nouveau un groupe projectif, et là encore, modulo plus ou moins la matrice d'identité. PSL (2, R ) est contenu comme un sous-groupe normal d'index deux, l'autre coset étant l'ensemble des matrices 2 × 2 avec des entrées réelles dont le déterminant vaut -1, modulo plus ou moins l'identité.

La relation de ces groupes avec le modèle de Poincaré est la suivante:

• Le groupe de toutes les isométries de H , parfois désigné par Isom ( H ), est isomorphe à PS ^* L (2, R ). Cela comprend à la fois les isométries de préservation de l'orientation et d'inversion d'orientation. La carte d'inversion d'orientation (la carte miroir) est . ${\ displaystyle z \ rightarrow - {\ overline {z}}}$
• Le groupe des isométries de préservation de l'orientation de H , parfois dénommé Isom ⁺ ( H ), est isomorphe à PSL (2, R ).

Les sous-groupes importants du groupe d'isométrie sont les groupes fuchsiens .

On voit aussi fréquemment le groupe modulaire SL (2, Z ). Ce groupe est important de deux manières. Tout d' abord, il est un groupe de symétrie de la place 2x2 réseau de points. Ainsi, les fonctions périodiques sur une grille carrée, telles que les formes modulaires et les fonctions elliptiques , hériteront ainsi d'une symétrie SL (2, Z ) de la grille. Deuxièmement, SL (2, Z ) est bien sûr un sous-groupe de SL (2, R ), et a donc un comportement hyperbolique incorporé en lui. En particulier, SL (2, Z ) peut être utilisé pour tesseller le plan hyperbolique en cellules de surface égale (Poincaré).

Symétrie isométrique

L' action de groupe du groupe linéaire spécial projectif sur est définie par ${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} \ cdot z = {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {(ac | z | ^ {2} + bd + (ad + bc) \ Re (z)) + i (ad-bc) \ Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}}.}$

Notez que l'action est transitive : pour tout , il existe un tel que . Il est également fidèle, en ce que si pour tout alors g = e . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle gz_ {1} = z_ {2}}$${\ displaystyle gz = z}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H},}$

Le sous - groupe stabilisant ou isotropie d'un élément est l'ensemble dont z inchangé: gz = z . Le stabilisateur de i est le groupe de rotation${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ rm {SO}} (2) = \ left. \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {pmatrix}} \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Puisque tout élément est mappé à i par un élément de , cela signifie que le sous-groupe d'isotropie de tout z est isomorphe à SO (2). Ainsi, . Alternativement, le faisceau de vecteurs tangents de longueur unitaire sur le demi-plan supérieur, appelé le faisceau tangent unitaire , est isomorphe à . ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} = {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R}) / {\ rm {SO}} (2)}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

Le demi-plan supérieur est pavé en ensembles réguliers libres par le groupe modulaire ${\ displaystyle {\ rm {SL}} (2, \ mathbb {Z}).}$

Géodésiques

Les géodésiques de ce tenseur métrique sont des arcs de cercle perpendiculaires à l'axe réel (demi-cercles dont l'origine est sur l'axe réel) et des droites verticales se terminant sur l'axe réel.

La géodésique de vitesse unitaire remontant verticalement, passant par le point i est donnée par

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = ie ^ {t} .}$

Parce que PSL (2, R ) agit transitivement par les isométries du demi-plan supérieur, cette géodésique est mappée dans les autres géodésiques par l'action de PSL (2, R ). Ainsi, la géodésique générale de vitesse unitaire est donnée par

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2 } \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = {\ frac {aie ^ {t} + b} {cie ^ {t} + d}}.}$

Ceci fournit une description de base de l' écoulement géodésique sur le faisceau tangent de longueur unitaire ( faisceau de lignes complexes ) sur le demi-plan supérieur. A partir de ce modèle, on peut obtenir le flux sur des surfaces de Riemann arbitraires , comme décrit dans l'article sur le flux d'Anosov .

Le modèle en trois dimensions

La métrique du modèle sur le demi-espace

${\ displaystyle \ {\ langle x, y, z \ rangle | z> 0 \} \,}$

est donné par

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2}} {z ^ {2}}} \,}$

où s mesure la longueur le long d'une ligne éventuellement courbe. Les droites dans l'espace hyperbolique ( géodésiques pour ce tenseur métrique, c'est-à-dire courbes qui minimisent la distance) sont représentées dans ce modèle par des arcs de cercle normaux au plan z = 0 (demi-cercles dont l'origine est sur le z = 0 - plan) et des rayons verticaux droits normaux au plan z = 0 .

La distance entre deux points mesurés dans cette métrique le long d'une telle géodésique est:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {( z_ {2} -z_ {1})} ^ {2}} {2z_ {1} z_ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {(z_ {2} -z_ {1})} ^ {2} }} {2 {\ sqrt {z_ {1} z_ {2}}}}} \ right) \ ,.}$

Le modèle en n dimensions

Ce modèle peut être généralisé pour modéliser un espace hyperbolique dimensionnel en remplaçant le nombre réel x par un vecteur dans un espace vectoriel euclidien à n dimensions. ${\ displaystyle n + 1}$

Voir également

Les références

Remarques

Sources