Eugenio Beltrami - Eugenio Beltrami

Eugenio Beltrami
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Eugenio Beltrami
Née ( 1835-11-16 )16 novembre 1835
Crémone , Lombardie , Royaume de Lombardie-Vénétie , Empire d'Autriche
Décédés 18 février 1900 (1900-02-18)(64 ans)
Rome , Royaume d'Italie
Nationalité italien
mère nourricière Collège Ghislieri , Pavie (pas de diplôme)
Connu pour Équation de
Beltrami Identité de
Beltrami Théorème
de Beltrami Opérateur de Laplace–Beltrami
Champ vectoriel de
Beltrami Modèle de Beltrami–Klein
Carrière scientifique
Des champs Mathématicien
Établissements Université de Bologne
Université de Pise
Université de Rome
Université de Pavie
Conseillers académiques Francesco Brioschi
Doctorants Giovanni Frattini

Eugenio Beltrami (16 novembre 1835 - 18 février 1900) était un mathématicien italien remarquable pour ses travaux concernant la géométrie différentielle et la physique mathématique . Son travail a été noté en particulier pour la clarté de l'exposition. Il fut le premier à prouver la cohérence de la géométrie non euclidienne en la modélisant sur une surface à courbure constante , la pseudosphère , et à l'intérieur d'une sphère unitaire à n dimensions , le modèle dit de Beltrami-Klein . Il a également développé la décomposition en valeurs singulières pour les matrices , qui a ensuite été redécouverte plusieurs fois. L'utilisation par Beltrami du calcul différentiel pour des problèmes de physique mathématique a indirectement influencé le développement du calcul tensoriel par Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita .

La vie

Beltrami est né à Crémone en Lombardie , alors une partie de l' Empire autrichien , et maintenant partie de l'Italie. Il a commencé à étudier les mathématiques à l' Université de Pavie en 1853, mais a été expulsé du Collège Ghislieri en 1856 en raison de ses opinions politiques - il était sympathique avec le Risorgimento . Pendant ce temps , il a été enseigné et influencé par Francesco Brioschi . Il a dû interrompre ses études en raison de difficultés financières et a passé les années suivantes en tant que secrétaire à travailler pour la compagnie de chemin de fer Lombardie-Venise. Il a été nommé professeur à l' Université de Bologne en 1862, l'année où il a publié son premier article de recherche. Tout au long de sa vie, Beltrami a occupé divers postes de professeur dans les universités de Pise , Rome et Pavie. De 1891 jusqu'à la fin de sa vie, Beltrami vécut à Rome. Il devient président de l' Accademia dei Lincei en 1898 et sénateur du Royaume d'Italie en 1899.

Contributions à la géométrie non euclidienne

En 1868, Beltrami publia deux mémoires (écrits en italien ; les traductions françaises de J. Hoüel parurent en 1869) traitant de la cohérence et des interprétations de la géométrie non euclidienne de János Bolyai et Nikolai Lobatchevsky . Dans son "Essai sur une interprétation de la géométrie non euclidienne", Beltrami a proposé que cette géométrie puisse être réalisée sur une surface de courbure négative constante , une pseudosphère . Pour le concept de Beltrami, les lignes de la géométrie sont représentées par des géodésiques sur la pseudosphère et les théorèmes de la géométrie non euclidienne peuvent être prouvés dans l' espace euclidien tridimensionnel ordinaire , et non dérivés de manière axiomatique, comme Lobachevsky et Bolyai l'avaient fait précédemment. En 1840, Ferdinand Minding déjà considéré triangles géodésiques sur la pseudosphère et fait remarquer que les formules sont obtenus « trigonométriques » correspondant parmi les formules correspondantes de la trigonométrie sphérique en remplaçant les habituelles fonctions trigonométriques avec fonctions hyperboliques ; cela a été développé par Delfino Codazzi en 1857, mais apparemment aucun d'eux n'a remarqué l'association avec le travail de Lobatchevsky. De cette façon, Beltrami a tenté de démontrer que la géométrie non-euclidienne à deux dimensions est aussi valable que la géométrie euclidienne de l'espace, et en particulier, que Euclid de postulat parallèle ne peut pas être dérivée à partir des autres axiomes de la géométrie euclidienne. Il est souvent affirmé que cette preuve était incomplète en raison des singularités de la pseudosphère, ce qui signifie que les géodésiques ne pouvaient pas être étendues indéfiniment. Cependant, John Stillwell remarque que Beltrami devait être bien conscient de cette difficulté, qui se manifeste également par le fait que la pseudosphère est topologiquement un cylindre , et non un plan, et il a passé une partie de ses mémoires à dessiner un moyen de la contourner. Par un choix approprié de coordonnées, Beltrami a montré comment la métrique sur la pseudosphère peut être transférée au disque unité et que la singularité de la pseudosphère correspond à un horocycle sur le plan non euclidien. D'autre part, dans l'introduction de ses mémoires, Beltrami déclare qu'il serait impossible de justifier « le reste de la théorie de Lobatchevsky », c'est-à-dire la géométrie non euclidienne de l'espace, par cette méthode.

Dans le deuxième mémoire publié au cours de la même année (1868), "Théorie fondamentale des espaces à courbure constante", Beltrami a poursuivi cette logique et a donné une preuve abstraite de l' équicohérence de la géométrie hyperbolique et euclidienne pour toute dimension. Il a accompli cela en introduisant plusieurs modèles de géométrie non-euclidienne qui sont maintenant connus sous le nom de modèle Beltrami-Klein , le modèle de disque de Poincaré et le modèle demi-plan de Poincaré , ainsi que les transformations qui les relient. Pour le modèle demi-plan, Beltrami cite une note de Joseph Liouville dans le traité de Gaspard Monge sur la géométrie différentielle . Beltrami a également montré que la géométrie euclidienne n -dimensionnelle est réalisée sur une horosphère de l'  espace hyperbolique ( n + 1)-dimensionnel , de sorte que la relation logique entre la cohérence des géométries euclidienne et non euclidienne est symétrique. Beltrami a reconnu l'influence de la conférence révolutionnaire d' habilitation de Bernhard Riemann « Sur les hypothèses sur lesquelles la géométrie est basée » (1854 ; publié à titre posthume en 1868).

Bien qu'aujourd'hui "l'Essai" de Beltrami soit reconnu comme très important pour le développement de la géométrie non-euclidienne, la réception à l'époque fut moins enthousiaste. Luigi Cremona s'est opposé au raisonnement circulaire perçu, qui a même forcé Beltrami à retarder d'un an la publication de "l'Essai". Par la suite, Felix Klein n'a pas reconnu la priorité de Beltrami dans la construction du modèle de disque projectif de la géométrie non-euclidienne. Cette réaction peut être attribuée en partie à la nouveauté du raisonnement de Beltrami, qui était similaire aux idées de Riemann concernant les variétés abstraites . J. Hoüel a publié la preuve de Beltrami dans sa traduction française des œuvres de Lobatchevsky et Bolyai.

Travaux

Sulla teoria dell'induzione magneta secondo Poisson , 1884
  • Beltrami, Eugène (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathemache . 4 : 285-315.
  • Beltrami, Eugène (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . Série II. 2 : 232–255. doi : 10.1007/BF02419615 . S2CID  120773141 .
  • Sylla teoria dell'induzione magneta secondo Poisson (en italien). Bologne. 1884.
  • Opere matematiche di Eugenio Beltrami pubblicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma (volumes 1–2) (U. Hoepli, Milan, 1902-1920)
  • Même édition, vol. 1–4

Les références

Liens externes