Équation de Poisson - Poisson's equation

Siméon Denis Poisson

L'équation de Poisson est une équation différentielle partielle elliptique d'une large utilité en physique théorique . Par exemple, la solution de l'équation de Poisson est le champ de potentiel causé par une charge électrique donnée ou une distribution de densité de masse ; avec le champ de potentiel connu, on peut alors calculer le champ électrostatique ou gravitationnel (de force). Il s'agit d'une généralisation de l'équation de Laplace , qui est aussi fréquemment observée en physique. L'équation porte le nom du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson .

Énoncé de l'équation

L'équation de Poisson est

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

où est l' opérateur de Laplace , et et sont réelles ou complexes -Évaluées fonctions sur un collecteur . Habituellement, est donné et est recherché. Lorsque la variété est l' espace euclidien , l'opérateur de Laplace est souvent noté ∇ ² et donc l'équation de Poisson est fréquemment écrite comme ${\style d'affichage \Delta }$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \varphi }$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$

En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles , il prend la forme

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

Quand à l' identique on obtient l'équation de Laplace . ${\style d'affichage f=0}$

L'équation de Poisson peut être résolue en utilisant une fonction de Green :

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}} \,\mathrm {d} ^{3}\!r',}$

où l'intégrale est sur tout l'espace. Un exposé général de la fonction de Green pour l'équation de Poisson est donné dans l'article sur l' équation de Poisson filtrée . Il existe différentes méthodes de résolution numérique, telles que la méthode de relaxation , un algorithme itératif.

gravité newtonienne

Dans le cas d'un champ gravitationnel g dû à un objet massif attractif de densité ρ , la loi de Gauss pour la gravité sous forme différentielle peut être utilisée pour obtenir l'équation de Poisson correspondante pour la gravité,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ~.}$

Étant donné que le champ gravitationnel est conservatrice (et irrotationnel ), il peut être exprimé en termes d'un potentiel scalaire Φ ,

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi ~.}$

Substitution dans la loi de Gauss

${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho }$

donne l'équation de Poisson pour la gravité,

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =4\pi G\rho .}$

Si la densité de masse est nulle, l'équation de Poisson se réduit à l'équation de Laplace. La fonction de Green correspondante peut être utilisée pour calculer le potentiel à la distance r d'une masse ponctuelle centrale m (c'est-à-dire la solution fondamentale ). En trois dimensions, le potentiel est

${\displaystyle \phi (r)={\dfrac {-Gm}{r}}.}$

ce qui équivaut à la loi de la gravitation universelle de Newton .

Électrostatique

L'une des pierres angulaires de l' électrostatique est la mise en place et la résolution de problèmes décrits par l'équation de Poisson. Résoudre l'équation de Poisson revient à trouver le potentiel électrique φ pour une donnée de charge la distribution . ${\style d'affichage \rho _{f}}$

Les détails mathématiques derrière l'équation de Poisson en électrostatique sont les suivants ( les unités SI sont utilisées plutôt que les unités gaussiennes , qui sont également fréquemment utilisées en électromagnétisme ).

En partant de la loi de Gauss pour l'électricité (également une des équations de Maxwell ) sous forme différentielle, on a

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$

où est l' opérateur de divergence , D = induction électrique , et ρ _f = charge libre du volume densité (décrivant les charges introduites de l' extérieur). ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

En supposant que le milieu est linéaire, isotrope et homogène (voir densité de polarisation ), nous avons l' équation constitutive ,

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

où ε = permittivité du milieu et E = champ électrique .

En reportant cette loi de Gauss et en supposant ε est spatialement constant dans la région des rendements d'intérêt

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}~.}$

où est une densité de charge volumique totale. En électrostatique, on suppose qu'il n'y a pas de champ magnétique (l'argument qui suit tient aussi en présence d'un champ magnétique constant). Ensuite, nous avons que ${\style d'affichage \rho }$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$

où ∇× est l' opérateur curl . Ce moyen d'équations que l' on peut écrire le champ électrique en tant que le gradient d'une fonction scalaire φ (appelé le potentiel électrique), étant donné que la boucle d'un gradient est nul. On peut donc écrire,

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$

où le signe moins est introduit de telle sorte que φ est identifié comme l'énergie potentielle par unité de charge.

La dérivation de l'équation de Poisson dans ces circonstances est simple. En substituant le gradient de potentiel au champ électrique,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-{\nabla }^{2}\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon }}, }$

produit directement l'équation de Poisson pour l'électrostatique, qui est

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}.}$

Résoudre l'équation de Poisson pour le potentiel nécessite de connaître la distribution de densité de charge. Si la densité de charge est nulle, l'équation de Laplace en résulte. Si la densité de charge suit une distribution de Boltzmann , alors l' équation de Poisson-Boltzmann en résulte. L'équation de Poisson-Boltzmann joue un rôle dans le développement de la théorie de Debye-Hückel des solutions électrolytiques diluées .

En utilisant la fonction de Green, le potentiel à la distance r d'une charge ponctuelle centrale Q (c'est-à-dire : la solution fondamentale) est :

${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}.}$

qui est la loi de Coulomb de l'électrostatique . (Pour des raisons historiques, et contrairement au modèle de gravité ci-dessus, le facteur apparaît ici et non dans la loi de Gauss.) ${\style d'affichage 4\pi }$

La discussion ci-dessus suppose que le champ magnétique ne varie pas dans le temps. La même équation de Poisson se pose même si elle varie dans le temps, tant que la jauge de Coulomb est utilisée. Dans ce contexte plus général, le calcul de φ n'est plus suffisant pour calculer E , puisque E dépend également du potentiel vecteur magnétique A , qui doit être calculé indépendamment. Voir l'équation de Maxwell dans la formulation potentielle pour plus sur φ et A dans les équations de Maxwell et comment l'équation de Poisson est obtenue dans ce cas.

Potentiel d'une densité de charge gaussienne

S'il existe une densité de charge gaussienne statique à symétrie sphérique

${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{ 2}/(2\sigma ^{2})},}$

où Q est la charge totale, puis la solution φ ( r ) de l'équation de Poisson,

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }}$,

est donné par

${\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\,\operatorname {erf} \left({\frac {r}{ {\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

où erf( x ) est la fonction d'erreur .

Cette solution peut être vérifiée explicitement en évaluant ∇ ² φ .

Notez que, pour r beaucoup plus grande que σ , la fonction erf approche l' unité et le potentiel φ ( r ) se rapproche de la charge ponctuelle potentiel

${\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}$

comme on pouvait s'y attendre. De plus, la fonction d'erreur s'approche extrêmement rapidement de 1 à mesure que son argument augmente ; dans la pratique pour r > 3 σ l'erreur relative est inférieure à une partie pour mille.

Reconstitution de surface

La reconstruction de surface est un problème inverse . Le but est de reconstruire numériquement une surface lisse à base d'un grand nombre de points p _i (a nuage de points ) où chaque point comporte également une estimation de la locale surface normale n _i . L'équation de Poisson peut être utilisée pour résoudre ce problème avec une technique appelée reconstruction de surface de Poisson.

Le but de cette technique est de reconstruire une fonction implicite f dont la valeur est égale à zéro au niveau des points p _i et dont le gradient au niveau des points p _i est égal vecteurs normaux n _i . L'ensemble de ( p _i , n _i ) est ainsi modélisé comme un champ de vecteurs continu V . La fonction implicite f est trouvée en intégrant le champ de vecteurs V . Puisque tout champ de vecteurs n'est pas le gradient d'une fonction, le problème peut avoir ou non une solution : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs lisse V soit le gradient d'une fonction f est que la boucle de V doit être identique zéro. Dans le cas où cette condition est difficile à imposer, il est toujours possible d'effectuer un ajustement par les moindres carrés pour minimiser la différence entre V et le gradient de f .

Afin d'appliquer efficacement l'équation de Poisson au problème de reconstruction de surface, il est nécessaire de trouver une bonne discrétisation du champ de vecteurs V . L'approche de base consiste à lier les données avec une grille de différences finies. Pour une fonction valorisée aux nœuds d'une telle grille, son gradient peut être représenté comme valorisé sur des grilles décalées, c'est-à-dire sur des grilles dont les nœuds se situent entre les nœuds de la grille d'origine. Il est commode de définir trois grilles décalées, chacune décalée dans une et une seule direction correspondant aux composantes des données normales. Sur chaque grille décalée, nous effectuons une [interpolation trilinéaire] sur l'ensemble des points. Les poids d'interpolation sont ensuite utilisés pour répartir l'amplitude de la composante associée de n _i sur les nœuds de la cellule de grille décalée particulière contenant p _i . Kazhdan et ses coauteurs donnent une méthode de discrétisation plus précise en utilisant une grille de différences finies adaptative, c'est-à-dire que les cellules de la grille sont plus petites (la grille est plus finement divisée) là où il y a plus de points de données. Ils suggèrent de mettre en œuvre cette technique avec un octree adaptatif .

Dynamique des fluides

Pour les équations de Navier-Stokes incompressibles , données par :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}&=-{ 1 \over {\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\bf {v}}+{\bf {g}}\\\nabla \cdot {\bf {v}}&=0\end{aligned }}}$

L'équation du champ de pression est un exemple d'équation de Poisson non linéaire : ${\style d'affichage p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot ({\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}})\\&=-\rho \,\ mathrm {Tr} {\big (}(\nabla {\bf {v}})(\nabla {\bf {v}}){\big )}.\end{aligned}}}$

Notez que la trace ci-dessus n'est pas définie par le signe.

Voir également

• Équation de Poisson discrète
• Équation de Poisson-Boltzmann
• équation de Helmholtz
• Théorème d'unicité pour l'équation de Poisson
• Formule faible

Les références

Lectures complémentaires

• Evans, Lawrence C. (1998). Équations aux dérivées partielles . Providence (RI) : Société mathématique américaine. ISBN 0-8218-0772-2.
• Mathews, Jon ; Walker, Robert L. (1970). Méthodes mathématiques de la physique (2e éd.). New York : WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
• Polyanin, Andrei D. (2002). Manuel d'équations aux dérivées partielles linéaires pour les ingénieurs et les scientifiques . Boca Raton (FL) : Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

Liens externes

• "Équation de Poisson" , Encyclopédie des Mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Équation de Poisson à EqWorld : le monde des équations mathématiques
• L'équation de Poisson sur PlanetMath .