Rang d'un groupe abélien - Rank of an abelian group

En mathématiques , le rang , rang Prüfer , ou rang sans torsion d'un groupe commutatif A est la cardinalité d'un maximum linéairement indépendant sous - ensemble. Le rang de A détermine la taille du plus grand groupe abélien libre contenu dans A . Si A est sans torsion , alors il se plonge dans un espace vectoriel sur les nombres rationnels de rang dimension A . Pour les groupes abéliens de génération finie , le rang est un invariant fort et chacun de ces groupes est déterminé jusqu'à l'isomorphisme par son rang et son sous-groupe de torsion . Les groupes abéliens sans torsion de rang 1 ont été complètement classés. Cependant, la théorie des groupes abéliens de rang supérieur est plus impliquée.

Le terme rang a une signification différente dans le contexte des groupes abéliens élémentaires .

Définition

Un sous-ensemble { a _α } d'un groupe abélien est linéairement indépendant (sur Z ) si la seule combinaison linéaire de ces éléments égale à zéro est triviale: si

${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} a _ {\ alpha} = 0, \ quad n _ {\ alpha} \ in \ mathbb {Z},}$

où tous les coefficients mais un nombre fini n _α sont nuls ( de sorte que la somme est, en effet, fini), tous les summands sont 0. Tous deux ensembles indépendants maximale linéairement en A ont la même cardinalité , qui est appelé le rang de A .

Le rang d'un groupe abélien est analogue à la dimension d'un espace vectoriel . La principale différence avec le cas de l'espace vectoriel est une présence de torsion . Un élément d'un groupe abélien A est classé comme torsion si son ordre est fini. L'ensemble de tous les éléments de torsion est un sous-groupe, appelé le sous - groupe de torsion et noté T ( A ). Un groupe est dit sans torsion s'il ne contient aucun élément de torsion non trivial. Le facteur-groupe A / T ( A ) est le quotient maximal unique , sans torsion de A et de ses coïncide rang avec le rang de A .

La notion de rang avec des propriétés analogues peut être définie pour les modules sur tout domaine intégrale , le cas des groupes abéliennes correspondant aux modules sur Z . Pour cela, voir le module de génération finie # Rang générique .

Propriétés

• Le rang d'un groupe abélien A coïncide avec la dimension du Q espace -vector A ⊗ Q . Si A est sans torsion, l'application canonique A → A ⊗ Q est injective et le rang de A est la dimension minimale de l' espace vectoriel Q contenant A comme sous-groupe abélien. En particulier, tout groupe intermédiaire Z ⁿ < A < Q ⁿ a le rang n .
• Les groupes abéliens de rang 0 sont exactement les groupes abéliens périodiques .
• Le groupe Q de nombres rationnels est de rang 1. Les groupes abéliens sans torsion de rang 1 sont réalisés comme des sous-groupes de Q et il existe une classification satisfaisante de ceux-ci jusqu'à l'isomorphisme. En revanche, il n'existe pas de classification satisfaisante des groupes abéliens sans torsion de rang 2.
• Le rang est additif sur de courtes séquences exactes : si

${\ displaystyle 0 \ vers A \ vers B \ vers C \ vers 0 \;}$

est une courte séquence exacte de groupes abéliennes puis rk B = rk A + rk C . Cela découle de la planéité de Q et du fait correspondant pour les espaces vectoriels.

• Le rang est additif sur les sommes directes arbitraires :

${\ displaystyle \ operatorname {rank} \ left (\ bigoplus _ {j \ in J} A_ {j} \ right) = \ sum _ {j \ in J} \ operatorname {rank} (A_ {j}),}$

où la somme du côté droit utilise l' arithmétique cardinale .

Groupes de rang supérieur

Les groupes abéliens de rang supérieur à 1 sont des sources d'exemples intéressants. Par exemple, pour chaque cardinal d, il existe des groupes abéliens sans torsion de rang d qui sont indécomposables , c'est-à-dire qui ne peuvent pas être exprimés comme une somme directe d'une paire de leurs sous-groupes propres. Ces exemples démontrent qu'un groupe abélien sans torsion de rang supérieur à 1 ne peut pas être simplement construit par des sommes directes à partir de groupes abéliens sans torsion de rang 1, dont la théorie est bien comprise. De plus, pour chaque entier , il existe un groupe abélien de rang sans torsion qui est simultanément une somme de deux groupes indécomposables, et une somme de n groupes indécomposables. Par conséquent, même le nombre de sommations indécomposables d'un groupe de rang pair supérieur ou égal à 4 n'est pas bien défini. ${\ displaystyle n \ geq 3}$${\ displaystyle 2n-2}$

Un autre résultat de la non-unicité des décompositions en somme directe est dû à ALS Corner: étant donné les entiers , il existe un groupe abélien A sans torsion de rang n tel que pour toute partition en k sommets naturels, le groupe A est la somme directe de k sous-groupes de grades indécomposables . Ainsi , la séquence des rangs de summands indécomposables dans une certaine décomposition en somme directe d'un groupe commutatif sans torsion de rang fini est très loin d'être un invariant de A . ${\ Displaystyle n \ geq k \ geq 1}$${\ displaystyle n = r_ {1} + \ cdots + r_ {k}}$${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {k}}$

D'autres exemples surprenants comprennent les groupes A _{n , m} et B _{n , m de} rang 2 sans torsion tels que A ⁿ est isomorphe à B ⁿ si et seulement si n est divisible par m .

Pour les groupes abéliens de rang infini, il existe un exemple de groupe K et de sous-groupe G tels que

• K est indécomposable;
• K est généré par G et un seul autre élément; et
• Chaque sommation directe non nulle de G est décomposable.

Généralisation

La notion de rang peut être généralisée pour tout module M sur un domaine intégral R , comme la dimension sur R ₀ , le champ quotient , du produit tensoriel du module avec le champ:

${\ displaystyle {\ text {rank}} (M) = \ dim _ {R_ {0}} M \ otimes _ {R} R_ {0}}$

Cela a du sens, puisque R ₀ est un champ, et donc tout module (ou, pour être plus précis, espace vectoriel ) sur celui-ci est libre.

C'est une généralisation, puisque tout groupe abélien est un module sur les entiers. Il s'ensuit aisément que la dimension du produit sur Q est la cardinalité du sous-ensemble maximal linéairement indépendant, puisque pour tout élément de torsion x et tout rationnel q

${\ displaystyle x \ otimes _ {\ mathbf {Z}} q = 0}$

Voir également

• Rang d'un groupe

Références