Torsion (algèbre) - Torsion (algebra)

En mathématiques , en particulier en théorie des anneaux , un élément de torsion est un élément d'un module qui rapporte zéro lorsqu'il est multiplié par un diviseur différent de zéro de l' anneau . Le sous - module de torsion d'un module est le sous - module formé par les éléments de torsion. Un module de torsion est un module qui est égal à son sous-module de torsion. Un module est sans torsion si son sous-module de torsion ne comprend que l'élément zéro.

Cette terminologie est plus couramment utilisée pour les modules sur un domaine , c'est-à-dire lorsque les éléments réguliers de l'anneau sont tous ses éléments non nuls.

Cette terminologie s'applique aux groupes abéliens (avec "module" et "sous-module" remplacés par "groupe" et "sous-groupe"). Ceci est permis par le fait que les groupes abéliens sont les modules sur l'anneau des entiers (en fait, c'est l'origine de la terminologie, qui a été introduite pour les groupes abéliens avant d'être généralisée aux modules).

Dans le cas de groupes non commutatifs, un élément de torsion est un élément d' ordre fini . Contrairement au cas commutatif, les éléments de torsion ne forment pas un sous-groupe, en général.

Définition

Un élément m d'un module M sur un anneau R est appelé un élément de torsion du module s'il existe un élément régulier r de l'anneau (un élément qui n'est ni un diviseur de zéro à gauche ni à droite ) qui annihile m , c'est-à-dire r  m = 0. Dans un domaine intégral (un anneau commutatif sans diviseurs nuls), tout élément non nul est régulier, donc un élément de torsion d'un module sur un domaine intégral est un annihilé par un élément non nul du domaine intégral. Certains auteurs l'utilisent comme définition d'un élément de torsion, mais cette définition ne fonctionne pas bien sur des anneaux plus généraux.

Un module M sur un anneau R est appelé module de torsion si tous ses éléments sont des éléments de torsion, et sans torsion si zéro est le seul élément de torsion. Si l'anneau R est un domaine intégral alors l'ensemble de tous les éléments de torsion forme un sous-module de M , appelé sous - module de torsion de M , parfois noté T( M ). Si R n'est pas commutatif, T( M ) peut être ou non un sous-module. Il est montré dans ( Lam 2007 ) que R est un anneau de minerai droit si et seulement si T( M ) est un sous-module de M pour tous les modules R droits . Étant donné que les domaines noetheriens droits sont des minerais, cela couvre le cas où R est un domaine noetherien droit (qui pourrait ne pas être commutatif).

Plus généralement, soit M un module sur un anneau R et S un sous-ensemble multiplicativement fermé de R . Un élément m de M est appelé élément S -torsion s'il existe un élément s dans S tel que s annihile m , c'est-à-dire s  m = 0. En particulier, on peut prendre pour S l'ensemble des éléments réguliers de l'anneau R et récupérer la définition ci-dessus.

Un élément g d'un groupe G est appelé élément de torsion du groupe s'il est d' ordre fini , c'est-à-dire s'il existe un entier positif m tel que g ^m = e , où e désigne l' élément identité du groupe, et g ^m désigne le produit de m copies de g . Un groupe est appelé groupe de torsion (ou périodique) si tous ses éléments sont des éléments de torsion, et un groupe groupe sans torsion si le seul élément de torsion est l'élément d'identité. Toutgroupe abélienpeut être considéré comme un module sur l'anneauZd'entiers, et dans ce cas les deux notions de torsion coïncident.

Exemples

1. Soit M un module libre sur tout anneau R . Il résulte alors immédiatement des définitions que M est sans torsion (si l'anneau R n'est pas un domaine alors la torsion est considérée par rapport à l'ensemble S des diviseurs non nuls de R ). En particulier, tout groupe abélien libre est sans torsion et tout espace vectoriel sur un corps K est sans torsion lorsqu'il est considéré comme le module sur K .
2. Contrairement à l'exemple 1, tout groupe fini (abélien ou non) est périodique et de type fini. Le problème de Burnside demande si, à l'inverse, tout groupe périodique de type fini doit être fini. (La réponse est « non » en général, même si la période est fixe.)
3. Les éléments de torsion du groupe multiplicatif d'un champ sont ses racines d'unité .
4. Dans le groupe modulaire , Γ obtenu à partir du groupe SL (2, Z ) de deux par deux matrices entières de déterminant unité par factorisation en son centre, un élément de torsion non trivial a soit ordre deux et est conjugué à l'élément S ou a un ordre trois et est conjugué à l'élément ST . Dans ce cas, les éléments de torsion ne forment pas un sous-groupe, par exemple, S  ·  ST = T , qui a un ordre infini.
5. Le groupe abélien Q / Z , constitué des nombres rationnels (mod 1), est périodique, c'est-à-dire que tout élément est d'ordre fini. De manière analogue, le module K ( t )/ K [ t ] sur l'anneau R  =  K [ t ] de polynômes dans une variable est de la torsion pure. Ces deux exemples peuvent être généralisés comme suit : si R est un domaine commutatif et Q est son corps de fractions, alors Q / R est un R -module de torsion .
6. Le sous - groupe de torsion de ( R / Z , +) est ( Q / Z , +) tandis que les groupes ( R , +) et ( Z , +) sont sans torsion. Le quotient d'un groupe abélien sans torsion par un sous-groupe est sans torsion exactement lorsque le sous-groupe est un sous-groupe pur .
7. Considérons un opérateur linéaire L agissant sur un espace vectoriel de dimension finie V . Si nous considérons V comme un F [ L ]-module de manière naturelle, alors (en raison de beaucoup de choses, soit simplement par dimension finie, soit en conséquence du théorème de Cayley-Hamilton ), V est une torsion F [ L ]-module.

Cas d'un domaine idéal principal

Supposons que R est un domaine idéal principal (commutatif) et M est un R -module de génération finie . Ensuite, le théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal donne une description détaillée du module M à isomorphisme près. En particulier, il prétend que

${\displaystyle M\simeq F\oplus T(M),}$

où F est un R -module libre de rang fini (ne dépendant que de M ) et T( M ) est le sous-module de torsion de M . En corollaire, tout module sans torsion de génération finie sur R est libre. Ce corollaire ne vaut pas pour des domaines commutatifs plus généraux, même pour R  =  K [ x , y ], l'anneau de polynômes à deux variables. Pour les modules de génération non finie, la décomposition directe ci-dessus n'est pas vraie. Le sous-groupe de torsion d'un groupe abélien peut ne pas en être une sommation directe.

Torsion et localisation

Supposons que R est un domaine commutatif et M est un R -module. Soit Q le champ quotient de l'anneau R . On peut alors considérer le Q -module

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

obtenu à partir de M par extension de scalaires . Puisque Q est un champ , un module sur Q est un espace vectoriel , éventuellement de dimension infinie. Il existe un homomorphisme canonique des groupes abéliens de M dans M _Q , et le noyau de cet homomorphisme est précisément le sous-module de torsion T( M ). Plus généralement, si S est un sous-ensemble multiplicativement fermé de l'anneau R , alors on peut considérer la localisation du R -module M ,

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

qui est un module sur la localisation R _S . Il existe une application canonique de M dans M _S , dont le noyau est précisément le sous-module S -torsion de M . Ainsi le sous-module de torsion de M peut être interprété comme l'ensemble des éléments qui « s'évanouissent dans la localisation ». La même interprétation reste valable dans le cadre non commutatif pour les anneaux satisfaisant la condition Ore, ou plus généralement pour tout ensemble de dénominateur droit S et R- module droit M .

Torsion en algèbre homologique

Le concept de torsion joue un rôle important en algèbre homologique . Si M et N sont deux modules sur un anneau commutatif R (par exemple, deux groupes abéliens, lorsque R  =  Z ), les foncteurs Tor donnent une famille de R -modules Tor _i ( M , N ). La S -torsion d'un R -module M est canoniquement isomorphe à Tor ^R ₁ ( M ,  R _S / R ) par la longue suite exacte de Tor ^R _* : La courte suite exacte de R -modules donne une suite exacte , donc est le noyau de l'application de localisation de M . Le symbole Tor désignant les foncteurs reflète cette relation avec la torsion algébrique. Ce même résultat est valable pour les anneaux non commutatifs aussi longtemps que l'ensemble S est un ensemble de dénominateur droit . ${\displaystyle 0\à R\à R_{S}\à R_{S}/R\à 0}$${\displaystyle 0\à \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\à M\à M_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$

Variétés abéliennes

Le sous-groupe de 4 torsion d'une courbe elliptique sur les nombres complexes.

Les éléments de torsion d'une variété abélienne sont des points de torsion ou, dans une terminologie plus ancienne, des points de division . Sur les courbes elliptiques, ils peuvent être calculés en termes de polynômes de division .

Voir également

• Torsion analytique
• Dynamique arithmétique
• Module plat
• Localisation d'un module
• Rang d'un groupe abélien
• Torsion Ray-Singer
• Groupe abélien sans torsion
• Théorème du coefficient universel

Les références

• Ernst Kunz, " Introduction à l'algèbre commutative et à la géométrie algébrique ", Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky , " Groupes abéliens infinis ", Université du Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Sous-module de torsion" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Exercises in modules and rings , Problem Books in Mathematics, New York : Springer, pp. xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4, MR  2278849