Théorie des représentations de SU(2) - Representation theory of SU(2)

Dans l'étude de la théorie des représentations des groupes de Lie , l'étude des représentations de SU(2) est fondamentale pour l'étude des représentations des groupes de Lie semi - simples . C'est le premier cas d'un groupe de Lie qui soit à la fois un groupe compact et un groupe non abélien . La première condition implique que la théorie des représentations est discrète : les représentations sont des sommes directes d'un ensemble de représentations irréductibles de base (régies par le théorème de Peter-Weyl ). La seconde signifie qu'il y aura des représentations irréductibles de dimensions supérieures à 1.

SU(2) est le groupe de revêtement universel de SO(3) , et donc sa théorie des représentations inclut celle de ce dernier, grâce à un homomorphisme surjectif . Ceci sous-tend l'importance de SU(2) pour la description du spin non relativiste en physique théorique ; voir ci - dessous pour d'autres contextes physiques et historiques.

Comme indiqué ci-dessous, les représentations irréductibles de dimension finie de SU(2) sont indexées par un entier non négatif et ont la dimension . Dans la littérature physique, les représentations sont étiquetées par la quantité , où est alors soit un entier soit un demi-entier, et la dimension est . ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m+1}$${\style d'affichage l=m/2}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage 2l+1}$

Représentations algébriques de Lie

Les représentations du groupe sont trouvées en considérant les représentations de , l' algèbre de Lie de SU(2) . Puisque le groupe SU(2) est simplement connexe, chaque représentation de son algèbre de Lie peut être intégrée à une représentation de groupe ; nous donnerons ci-dessous une construction explicite des représentations au niveau du groupe. Une référence pour ce matériel est la section 4.6 de ( Hall 2015 ). ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Algèbres de Lie réelles et complexes

L'algèbre de Lie réelle a une base donnée par${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\ qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(Ces matrices de base sont liées aux matrices de Pauli par et ) ${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Les matrices sont une représentation des quaternions :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,;~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,;~~\quad u_{3}\,u_ {3}=-I\,;}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,;\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,;\quad u_{3}\ ,u_{1}=+u_{2}\,;}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,;\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,;\quad u_{1}\ ,u_{3}=-u_{2}\,.}$

où I est la matrice identité 2×2 conventionnelle :${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

Par conséquent, les parenthèses de commutateur des matrices satisfont

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,;\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,;\quad [u_{3} ,u_{1}]=2u_{2}\,.}$

Il convient alors de passer à l'algèbre de Lie complexifiée

${\displaystyle \mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$.

(Les matrices auto-adjointes asymétriques avec trace zéro plus les matrices auto-adjointes avec trace zéro donnent toutes les matrices avec trace zéro.) Tant que nous travaillons avec des représentations sur ce passage du réel au complexe, l'algèbre de Lie est inoffensive. La raison de passer à la complexification est qu'elle permet de construire une belle base d'un type qui n'existe pas dans l'algèbre de Lie réelle . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

L'algèbre de Lie complexifiée est couverte par trois éléments , , et , donnés par ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3};\quad X={\frac {1}{2i}}(u_{1}-iu_{2});\quad Y= {\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2}),}$

ou, explicitement,

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};\quad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}};\quad Y={ \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

Ceux-ci satisfont les relations de commutation

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H}$.

Jusqu'à un facteur 2, les éléments , et peuvent être identifiés avec les opérateurs de moment cinétique , , et , respectivement. Le facteur 2 est un écart entre les conventions en mathématiques et en physique ; nous tenterons de mentionner les deux conventions dans les résultats qui suivent. ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage J_{z}}$${\style d'affichage J_{+}}$${\style d'affichage J_{-}}$

Les poids et la structure de la représentation

Dans ce cadre, les valeurs propres de sont appelées poids de la représentation. Le résultat élémentaire suivant est une étape clé de l'analyse. Supposons que soit un vecteur propre pour avec valeur propre , c'est-à-dire que . Puis ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage v}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle H\cdot v=\alpha v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H\cdot (X\cdot v)&=(\alpha +2)X\cdot v\\[3pt]H\cdot (Y\cdot v)&=(\alpha - 2)Y\cdot v\end{aligned}}}$

En d'autres termes, est soit le vecteur zéro soit un vecteur propre pour avec valeur propre et est soit zéro soit un vecteur propre pour avec valeur propre . Ainsi, l'opérateur agit comme un opérateur de montée , augmentant le poids de 2, tandis qu'il agit comme un opérateur de descente . ${\displaystyle X\cdot v}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage \alpha +2}$${\displaystyle Y\cdot v}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage \alpha -2}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une représentation irréductible de dimension finie de l'algèbre de Lie complexifiée. Alors ne peut avoir qu'un nombre fini de valeurs propres. En particulier, il doit y avoir une valeur propre avec la propriété qui n'est pas une valeur propre. Soit un vecteur propre pour avec valeur propre : ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\style d'affichage \lambda +2}$${\displaystyle v_{0}}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v_{0}=\lambda v_{0}}$.

Ensuite, nous devons avoir

${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$,

ou bien l'identité ci-dessus nous dirait qu'il s'agit d'un vecteur propre de valeur propre . ${\displaystyle X\cdot v_{0}}$${\style d'affichage \lambda +2}$

Définissez maintenant une "chaîne" de vecteurs en ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$

${\displaystyle v_{k}=O^{k}\cdot v_{0}}$.

Un argument simple par induction montre alors que

${\displaystyle X\cdot v_{k}=k(\lambda -(k-1))v_{k-1}}$

pour tous . Maintenant, si n'est pas le vecteur zéro, c'est un vecteur propre pour avec la valeur propre . Puisque, encore une fois, n'a qu'un nombre fini de vecteurs propres, nous concluons que doit être nul pour certains (puis pour tout ). ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$${\displaystyle v_{k}}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage \lambda -2k}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle v_{l}}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage v_{k}=0}$${\displaystyle k>l}$

Soit le dernier vecteur non nul de la chaîne ; c'est-à-dire, mais . Alors bien sûr et par l'identité ci-dessus avec , nous avons ${\displaystyle v_{m}}$${\displaystyle v_{m}\neq 0}$${\style d'affichage v_{m+1}=0}$${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$${\style d'affichage k=m+1}$

${\displaystyle 0=X\cdot v_{m+1}=(m+1)(\lambda -m)v_{m}}$.

Puisque est au moins un et , nous concluons que doit être égal à l'entier non négatif . ${\style d'affichage m+1}$${\displaystyle v_{m}\neq 0}$${\style d'affichage \lambda }$ ${\style d'affichage m}$

On obtient ainsi une chaîne de vecteurs telle qu'elle agit comme ${\style d'affichage m+1}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$${\style d'affichage Y}$

${\displaystyle Y\cdot v_{m}=0;\quad Y\cdot v_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

et agit comme ${\style d'affichage X}$

${\displaystyle X\cdot v_{0}=0,\quad X\cdot v_{k}=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad (k>0)}$

et agit comme ${\style d'affichage H}$

${\displaystyle H\cdot v_{k}=(m-2k)v_{k}}$.

(Nous avons remplacé par sa valeur actuellement connue de dans les formules ci-dessus.) ${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage m}$

Puisque les vecteurs sont des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes, ils doivent être linéairement indépendants. De plus, l'étendue de est clairement invariante sous l'action de l'algèbre de Lie complexifiée. Étant donné qu'il est supposé irréductible, cet intervalle doit être égal à . On obtient ainsi une description complète de ce à quoi doit ressembler une représentation irréductible ; c'est-à-dire une base pour l'espace et une description complète de la façon dont agissent les générateurs de l'algèbre de Lie. Inversement, pour tout, nous pouvons construire une représentation en utilisant simplement les formules ci-dessus et en vérifiant que les relations de commutation sont vérifiées. On peut alors montrer que cette représentation est irréductible. ${\displaystyle v_{k}}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage m\geq 0}$

Conclusion : Pour chaque entier non négatif , il existe une représentation irréductible unique avec le poids le plus élevé . Chaque représentation irréductible est équivalente à l'une d'entre elles. La représentation avec le poids le plus élevé a une dimension avec des poids , chacun ayant une multiplicité un. ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m+1}$${\style d'affichage m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

L'élément Casimir

Nous introduisons maintenant l' élément (quadratique) de Casimir , donné par ${\style d'affichage C}$

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$.

Nous pouvons voir comme un élément de l' algèbre enveloppante universelle ou comme un opérateur dans chaque représentation irréductible. En regardant comme un opérateur sur la représentation avec le poids le plus élevé , nous pouvons facilement calculer qui commute avec chacun . Ainsi, par le lemme de Schur , agit comme un multiple scalaire de l'identité pour chaque . Nous pouvons écrire en termes de base comme suit : ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage u_{i}}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage c_{m}}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage {H,X,Y}}$

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2}}$,

qui se simplifie en

${\style d'affichage C=4YX+H^{2}+2H}$.

La valeur propre de dans la représentation avec le poids le plus élevé peut être calculée en appliquant au vecteur de poids le plus élevé, qui est annihilé par . Ainsi, on obtient ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$

${\style d'affichage c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)}$.

Dans la littérature de physique, le Casimir est normalisé comme . En étiquetant les choses en termes de , la valeur propre de est ensuite calculée comme ${\style d'affichage C'=C/4}$${\style d'affichage l=m/2}$${\displaystyle d_{l}}$${\style d'affichage C'}$

${\displaystyle d_{l}={\frac {1}{4}}(2l)(2l+2)=l(l+1)}$.

Les représentations du groupe

Action sur les polynômes

Puisque SU(2) est simplement connexe, un résultat général montre que chaque représentation de son algèbre de Lie (complexée) donne lieu à une représentation de SU(2) elle-même. Il est cependant souhaitable de donner une réalisation explicite des représentations au niveau du groupe. Les représentations de groupe peuvent être réalisées sur des espaces de polynômes à deux variables complexes. C'est-à-dire que pour chaque entier non négatif , nous désignons l'espace des polynômes homogènes de degré en deux variables complexes. Alors la dimension de est . Il y a une action naturelle de SU(2) sur chaque , donnée par ${\style d'affichage m}$${\displaystyle V_{m}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m}$${\displaystyle V_{m}}$${\style d'affichage m+1}$${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)}$.

La représentation algébrique de Lie associée est simplement celle décrite dans la section précédente. (Voir ici une formule explicite pour l'action de l'algèbre de Lie sur l'espace des polynômes.)

Les personnages

Le caractère d'une représentation est la fonction donnée par ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\mathrm {trace} (\Pi (g))}$.

Les caractères jouent un rôle important dans la théorie de la représentation des groupes compacts . Le caractère est facilement vu comme une fonction de classe, c'est-à-dire invariant par conjugaison.

Dans le cas SU(2), le fait que le caractère soit une fonction de classe signifie qu'il est déterminé par sa valeur sur le tore maximal constitué des matrices diagonales dans SU(2). Puisque la représentation irréductible avec le poids le plus élevé a des poids , il est facile de voir que le caractère associé satisfait ${\style d'affichage T}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\ theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

Cette expression est une série géométrique finie qui peut être simplifiée en

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\ mathrm {péché} ((m+1)\theta )}{\mathrm {péché} (\theta )}}.}$

Cette dernière expression n'est que l'énoncé de la formule du caractère de Weyl pour le cas SU(2).

En fait, suivant l'analyse originale de Weyl de la théorie des représentations des groupes compacts, on peut classer les représentations entièrement du point de vue des groupes, sans utiliser du tout les représentations algébriques de Lie. Dans cette approche, la formule du caractère de Weyl joue un rôle essentiel dans la classification, avec le théorème de Peter-Weyl . Le cas SU(2) de cette histoire est décrit ici .

Relation avec les représentations de SO(3)

Notez que soit tous les poids de la représentation sont pairs (si est pair) soit tous les poids sont impairs (si est impair). En termes physiques, cette distinction est importante : Les représentations à poids pairs correspondent aux représentations ordinaires du groupe de rotation SO(3) . En revanche, les représentations avec des poids impairs correspondent à des représentations à double valeur (spinoriale) de SO(3), également appelées représentations projectives . ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m}$

Dans les conventions de la physique, être pair correspond à être un entier alors qu'être impair correspond à être un demi-entier. Ces deux cas sont décrits comme spin entier et spin demi-entier , respectivement. Les représentations avec des valeurs impaires et positives de sont des représentations fidèles de SU(2), tandis que les représentations de SU(2) avec des valeurs non négatives, paires ne sont pas fidèles. ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m}$

Une autre approche

Voir sous l'exemple pour le théorème de Borel-Weil-Bott .

Les représentations irréductibles les plus importantes et leurs applications

Les représentations de SU(2) décrivent un spin non relativiste , dû au fait qu'il s'agit d'un double revêtement du groupe de rotation de l' espace 3 euclidien . Le spin relativiste est décrit par la théorie des représentations de SL ₂ ( C ) , un supergroupe de SU(2), qui couvre de la même manière SO ⁺ (1;3) , la version relativiste du groupe de rotation. La symétrie SU(2) prend également en charge les concepts de spin isobare et d' isospin faible , collectivement appelés isospin .

La représentation avec (c'est- à- dire dans la convention de physique) est la représentation 2 , la représentation fondamentale de SU(2). Lorsqu'un élément de SU(2) s'écrit sous la forme d'une matrice complexe 2 × 2 , il s'agit simplement d'une multiplication de 2-vecteurs colonnes . Il est connu en physique sous le nom de spin-½ et, historiquement, sous le nom de multiplication de quaternions (plus précisément, multiplication par un quaternion unité ). Cette représentation peut également être considérée comme une représentation projective à double valeur du groupe de rotation SO(3). ${\style d'affichage m=1}$${\style d'affichage l=1/2}$

La représentation avec (ie, ) est la 3 représentation, la représentation adjointe . Il décrit les rotations 3-d , la représentation standard de SO(3), donc les nombres réels sont suffisants pour cela. Les physiciens l'utilisent pour la description de particules massives de spin-1, telles que les mésons vectoriels , mais son importance pour la théorie du spin est beaucoup plus élevée car elle ancre les états de spin à la géométrie de l' espace physique 3- . Cette représentation a émergé simultanément avec le 2 lorsque William Rowan Hamilton a introduit versors , son terme pour les éléments de SU(2). Notez que Hamilton n'a pas utilisé la terminologie standard de la théorie des groupes puisque ses travaux ont précédé les développements du groupe de Lie. ${\style d'affichage m=2}$${\style d'affichage l=1}$

Le (ie ) la représentation est utilisée dans la physique des particules pour certains baryons , tels que le Δ . ${\style d'affichage m=3}$${\style d'affichage l=3/2}$

Voir également

• Opérateur de rotation (espace vectoriel)
• Opérateur de rotation (mécanique quantique)
• Théorie des représentations de SO(3)
• Liaison entre SO(3) et SU(2)
• théorie des représentations de SL ₂ ( R )
• Interaction électrofaible
• Groupe de rotation SO(3) § Une note sur l'algèbre de Lie

Les références

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2e éd.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Groupes de Lie en Physique , Chapitre 5 "Opérateurs Ladder"
• Iachello, Francesco (2006), Lie Algebras and Applications , Notes de cours en physique, 708 , Springer, ISBN 3540362363