Formule de caractère Weyl - Weyl character formula

En mathématiques , la formule des caractères de Weyl dans la théorie des représentations décrit les caractères des représentations irréductibles des groupes de Lie compacts en fonction de leurs poids les plus élevés . Cela a été prouvé par Hermann Weyl  ( 1925 , 1926a , 1926b ). Il existe une formule étroitement liée pour le caractère d'une représentation irréductible d'une algèbre de Lie semi-simple. Dans l'approche de Weyl à la théorie de la représentation des groupes de Lie compacts connectés , la preuve de la formule du caractère est une étape clé pour prouver que chaque élément intégral dominant apparaît en fait comme le poids le plus élevé d'une représentation irréductible. Les conséquences importantes de la formule de caractère sont la formule de dimension de Weyl et la formule de multiplicité de Kostant .

Par définition, le caractère d'une représentation de G est la trace de , en fonction d'un élément du groupe . Les représentations irréductibles dans ce cas sont toutes de dimension finie (cela fait partie du théorème de Peter-Weyl ); la notion de trace est donc celle habituelle de l'algèbre linéaire. La connaissance du caractère de donne beaucoup d'informations sur lui-même. ${\displaystyle \chi }$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage \pi (g)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \chi }$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage \pi }$

La formule de Weyl est une formule fermée pour le caractère , en termes d'autres objets construits à partir de G et de son algèbre de Lie . ${\displaystyle \chi }$

Énoncé de la formule du caractère de Weyl

La formule des caractères peut être exprimée en termes de représentations d'algèbres de Lie complexes semi-simples ou en termes de théorie de représentation (essentiellement équivalente) de groupes de Lie compacts.

Algèbres de Lie semi-simples complexes

Soit une représentation irréductible de dimension finie d'une algèbre de Lie semi-simple complexe . Supposons que est une sous-algèbre de Cartan de . Le caractère de est alors la fonction définie par ${\style d'affichage \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi } :{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

La valeur du caractère à est la dimension de . Par des considérations élémentaires, le caractère peut être calculé comme ${\style d'affichage H=0}$${\style d'affichage \pi }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}$,

où la somme s'étend sur tous les poids de et où est la multiplicité de . (L'expression précédente est parfois considérée comme la définition du caractère.) ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle m_{\mu }}$${\style d'affichage \mu }$

Les états de formule de caractère qui peuvent également être calculés comme ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)} }{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

où

• ${\style d'affichage W}$est le groupe de Weyl ;
• ${\displaystyle \Delta ^{+}}$est l'ensemble des racines positives du système racinaire ;${\style d'affichage \Delta }$
• ${\style d'affichage \rho }$est la demi-somme des racines positives, souvent appelée vecteur de Weyl ;
• ${\style d'affichage \lambda }$est le poids le plus élevé de la représentation irréductible ;${\style d'affichage V}$
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$est le déterminant de l'action de sur la sous-algèbre de Cartan . Ceci est égal à , où est la longueur de l'élément du groupe de Weyl , défini comme étant le nombre minimal de réflexions par rapport aux racines simples tel qu'il est égal au produit de ces réflexions.${\style d'affichage w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\style d'affichage (-1)^{\ell (w)}}$${\style d'affichage \ell (w)}$${\style d'affichage w}$

Discussion

En utilisant la formule du dénominateur de Weyl (décrite ci-dessous), la formule du caractère peut être réécrite comme

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)} }{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

ou équivalent,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w \in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

Le caractère est lui-même une grande somme d'exponentielles. Dans cette dernière expression, nous multiplions ensuite le caractère par une somme alternative d'exponentielles, ce qui entraînera apparemment une somme d'exponentielles encore plus grande. La partie surprenante de la formule de caractère est que lorsque nous calculons ce produit, seul un petit nombre de termes reste réellement. Beaucoup plus de termes que cela se produisent au moins une fois dans le produit du caractère et du dénominateur de Weyl, mais la plupart de ces termes s'annulent jusqu'à zéro. Les seuls termes qui survivent sont les termes qui n'apparaissent qu'une seule fois, à savoir (qui est obtenu en prenant le poids le plus élevé et le poids le plus élevé du dénominateur de Weyl) et les choses dans l'orbite du groupe de Weyl de . ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$

Groupes de mensonges compacts

Soit un groupe de Lie compact et connexe et soit un tore maximal dans . Soit une représentation irréductible de . Ensuite, nous définissons le caractère d' être la fonction ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage \Pi }$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

Le caractère est facilement considéré comme une fonction de classe sur et le théorème de Peter-Weyl affirme que les caractères forment une base orthonormée pour l'espace des fonctions de classe carrées intégrables sur . ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$

Puisque est une fonction de classe, elle est déterminée par sa restriction à . Or, car dans l'algèbre de Lie de , nous avons ${\displaystyle \mathrm {X} }$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\style d'affichage T}$

${\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}$,

où est la représentation associée de l'algèbre de Lie de . Ainsi, la fonction est simplement le caractère de la représentation associée de , comme décrit dans la sous-section précédente. La restriction du caractère de à est alors donnée par la même formule que dans le cas de l'algèbre de Lie : ${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\style d'affichage \Pi }$${\style d'affichage T}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}} {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

La preuve de Weyl de la formule des caractères dans le cadre des groupes compacts est complètement différente de la preuve algébrique de la formule des caractères dans le cadre des algèbres de Lie semi-simples. Dans le cadre du groupe compact, il est courant d'utiliser des « racines réelles » et des « poids réels », qui diffèrent d'un facteur de des racines et des poids utilisés ici. Ainsi, la formule dans le cadre du groupe compact a des facteurs de dans l'exposant partout. ${\style d'affichage i}$${\style d'affichage i}$

Le cas SU(2)

Dans le cas du groupe SU(2), considérons la représentation irréductible de dimension . Si nous considérons le sous-groupe diagonal de SU(2), la formule de caractère dans ce cas lit ${\style d'affichage m+1}$${\style d'affichage T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e ^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac { \sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(Le numérateur et le dénominateur dans la formule du caractère ont deux termes.) Il est instructif de vérifier cette formule directement dans ce cas, afin que nous puissions observer le phénomène d'annulation implicite dans la formule du caractère de Weyl.

Puisque les représentations sont connues très explicitement, le caractère de la représentation peut être écrit comme

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\ theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Le dénominateur de Weyl, quant à lui, est simplement la fonction . En multipliant le caractère par le dénominateur de Weyl, on obtient ${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\ theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i (m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i (m+1)\thêta }\droit).}$

Nous pouvons maintenant facilement vérifier que la plupart des termes s'annulent entre les deux termes du membre de droite ci-dessus, ne nous laissant que

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\ thêta }-e^{-i\thêta })=e^{i(m+1)\thêta }-e^{-i(m+1)\thêta }}$

pour que

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e ^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac { \sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

Le caractère dans ce cas est une série géométrique avec et cet argument précédent est une petite variante de la dérivation standard de la formule pour la somme d'une série géométrique finie. ${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

Formule du dénominateur de Weyl

Dans le cas particulier de la représentation triviale à une dimension, le caractère est 1, donc la formule du caractère de Weyl devient la formule du dénominateur de Weyl :

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{ \alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Pour les groupes unitaires spéciaux, cela équivaut à l'expression

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\ sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

pour le déterminant de Vandermonde .

Formule de dimension de Weyl

En évaluant le caractère à , la formule de caractère de Weyl donne la formule de dimension de Weyl${\style d'affichage H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \ Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

pour la dimension d'une représentation de dimension finie avec le poids le plus élevé . (Comme d'habitude, est la moitié de la somme des racines positives et les produits s'exécutent sur les racines positives α.) La spécialisation n'est pas complètement triviale, car le numérateur et le dénominateur de la formule du caractère de Weyl disparaissent à l'ordre élevé à l'élément d'identité, il faut donc prendre une limite de la trace d'un élément tendant à l'identité, en utilisant une version de la règle de L'Hospital . Dans le cas SU(2) décrit ci-dessus, par exemple, on peut récupérer la dimension de la représentation en utilisant la règle de L'Hospital pour évaluer la limite comme tend vers zéro de . ${\displaystyle V_{\lambda }}$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage m+1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

On peut considérer comme exemple l'algèbre de Lie semi-simple complexe sl(3, C ), ou de manière équivalente le groupe compact SU(3). Dans ce cas, les représentations sont étiquetées par une paire d'entiers non négatifs. Dans ce cas, il y a trois racines positives et il n'est pas difficile de vérifier que la formule de dimension prend la forme explicite ${\style d'affichage (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1 }+m_{2}+2)}$

Le cas est la représentation standard et en effet la formule de dimension donne la valeur 3 dans ce cas. ${\style d'affichage m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

Formule de multiplicité de Kostant

La formule du caractère de Weyl donne le caractère de chaque représentation sous forme de quotient, où le numérateur et le dénominateur sont chacun une combinaison linéaire finie d'exponentielles. Bien que cette formule détermine en principe le caractère, il n'est pas particulièrement évident de savoir comment calculer ce quotient explicitement comme une somme finie d'exponentielles. Déjà dans le cas SU(2) décrit ci-dessus, il n'est pas immédiatement évident de passer de la formule du caractère de Weyl, qui renvoie le caractère as à la formule du caractère sous forme de somme d'exponentielles : ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Dans ce cas, il n'est peut-être pas très difficile de reconnaître l'expression comme la somme d'une série géométrique finie, mais en général, nous avons besoin d'une procédure plus systématique. ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

En général, le processus de division peut être accompli en calculant une réciproque formelle du dénominateur de Weyl, puis en multipliant le numérateur dans la formule du caractère de Weyl par cette réciproque formelle. Le résultat donne le caractère comme une somme finie d'exponentielles. Les coefficients de cette expansion sont les dimensions des espaces de poids, c'est-à-dire les multiplicités des poids. On obtient ainsi à partir de la formule des caractères de Weyl une formule des multiplicités des poids, dite formule de multiplicité de Kostant . Une formule alternative, qui est plus calculable dans certains cas, est donnée dans la section suivante.

La formule de Freudenthal

La formule de Hans Freudenthal est une formule récursive pour les multiplicités de poids qui donne la même réponse que la formule de multiplicité de Kostant, mais est parfois plus facile à utiliser pour les calculs car il peut y avoir beaucoup moins de termes à sommer. La formule est basée sur l'utilisation de l' élément Casimir et sa dérivation est indépendante de la formule de caractère. Il est dit

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \ dans \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

où

• est le poids le plus élevé,
• est un autre poids,
• m _Λ (λ) est la multiplicité du poids λ dans la représentation irréductible V _Λ
• est le vecteur de Weyl
• La première somme est sur toutes les racines positives .

Formule de caractère Weyl-Kac

La formule de caractère de Weyl est également valable pour les représentations intégrables de poids le plus élevé des algèbres de Kac-Moody , lorsqu'elle est connue sous le nom de formule de caractère de Weyl-Kac . De même, il existe une identité de dénominateur pour les algèbres de Kac-Moody , qui dans le cas des algèbres de Lie affines est équivalente aux identités de Macdonald . Dans le cas le plus simple de l'algèbre de Lie affine de type A ₁ c'est l' identité du triple produit de Jacobi

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1- x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y ^{n}.}$

La formule de caractère peut également être étendue aux représentations intégrables de poids le plus élevé des algèbres de Kac-Moody généralisées , lorsque le caractère est donné par

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{ \alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Ici S est un terme de correction donné en termes de racines simples imaginaires par

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

où la somme s'étend sur tous les sous-ensembles finis I des racines simples imaginaires qui sont deux à deux orthogonales et orthogonales au poids le plus élevé λ, et |I| est le cardinal de I et Σ I est la somme des éléments de I .

La formule du dénominateur de l' algèbre de Lie monstre est la formule du produit

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1- p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

pour la fonction modulaire elliptique j .

Peterson a donné une formule de récursivité pour les multiplicités mult(β) des racines β d'une algèbre de Kac-Moody symétrisable (généralisée), qui est équivalente à la formule du dénominateur de Weyl-Kac, mais plus facile à utiliser pour les calculs :

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta } \,}$

où la somme est sur les racines positives , et

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Formule du personnage de Harish-Chandra

Harish-Chandra a montré que la formule de caractère de Weyl admet une généralisation aux représentations d'un groupe réel et réducteur . Supposons une représentation irréductible et admissible d'un groupe réel et réducteur G de caractère infinitésimal . Soit le caractère Harish-Chandra de ; elle est donnée par intégration contre une fonction analytique sur l'ensemble régulier. Si H est un sous-groupe de Cartan de G et H' est l'ensemble des éléments réguliers de H, alors ${\style d'affichage \pi }$ ${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle \Thêta _{\pi }}$${\style d'affichage \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\ rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Ici

• W est le groupe de Weyl complexe de par rapport à${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$est le stabilisateur de dans W${\style d'affichage \lambda }$

et le reste de la notation est comme ci-dessus.

Les coefficients ne sont pas encore bien compris. Les résultats sur ces coefficients peuvent être trouvés dans les articles de Herb , Adams, Schmid et Schmid-Vilonen, entre autres. ${\displaystyle a_{w}}$

Voir également

• Théorie des caractères
• Caractère algébrique
• Formule de caractère Demazure
• Formule d'intégration de Weyl

Les références

• Fulton, William et Harris, Joe (1991). Théorie des représentations : un premier cours. New York : Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245.

• Hall, Brian C. (2015), Groupes de Lie, algèbres de Lie et représentations : une introduction élémentaire , Textes d'études supérieures en mathématiques, 222 (2e éd.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Algèbres de Lie dimensionnelles infinies , VG Kac, ISBN  0-521-37215-1
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Formule de caractère Weyl-Kac" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 23 : 271-309, doi : 10.1007/BF01506234 , ISSN  0025-5874
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 328-376, doi : 10.1007/BF01216788 , ISSN  0025-5874
• Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 377-395, doi : 10.1007/BF01216789 , ISSN  0025-5874