Onde capillaire - Capillary wave

${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho '}$

${\ displaystyle \ nabla \ phi}$

${\ displaystyle \ nabla \ phi '}$

${\ Displaystyle \ phi (x, y, z, t)}$

${\ Displaystyle \ phi '(x, y, z, t)}$

Trois contributions à l'énergie sont impliquées: l' énergie potentielle due à la

${\ displaystyle V_ {g}}$

${\ displaystyle V_ {st}}$

${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle V_ {g}}$

${\ displaystyle \ rho gz}$

${\ displaystyle \ rho 'gz}$

${\ displaystyle z = \ eta (x, y, t)}$

${\ displaystyle V _ {\ mathrm {g}} = \ iint dx \, dy \; \ int _ {0} ^ {\ eta} dz \; (\ rho - \ rho ') gz = {\ frac {1} {2}} (\ rho - \ rho ') g \ iint dx \, dy \; \ eta ^ {2},}$

en supposant que la position moyenne de l'interface est à . ${\ displaystyle z = 0}$

Une augmentation de la surface de la surface entraîne une augmentation proportionnelle de l'énergie due à la tension superficielle:

${\ displaystyle V _ {\ mathrm {st}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ droite) ^ {2} + \ gauche ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ droite) ^ {2}}} - 1 \ droite] \ approx {\ frac {1} {2} } \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],}$

où la première égalité est l'aire de cette représentation (de Monge ), et la seconde s'applique aux petites valeurs des dérivées (surfaces pas trop grossières).

La dernière contribution concerne l' énergie cinétique du fluide:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} dz \; \ rho \, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi \ right | ^ {2} + \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} dz \; \ rho '\, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi' \ right | ^ {2} \ droite].}$

On utilise le fluide incompressible et son écoulement est irotationnel (souvent des approximations sensibles). En conséquence, les deux et doivent satisfaire l'

${\ Displaystyle \ phi (x, y, z, t)}$

${\ Displaystyle \ phi '(x, y, z, t)}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}$   et   ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi '= 0.}$

Ces équations peuvent être résolues avec les conditions aux limites appropriées: et doivent disparaître bien loin de la surface (dans le cas des «eaux profondes», qui est celui que nous considérons). ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi '}$

En utilisant l'identité de Green , et en supposant que les écarts de l'élévation de la surface soient petits (de sorte que les intégrations z peuvent être approximées en intégrant jusqu'à au lieu de ), l'énergie cinétique peut s'écrire: ${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z = \ eta}$

${\ displaystyle T \ approx {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ rho \, \ Phi \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \; - \; \ rho '\, \ Phi' \, {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} \ right] _ {{\ text {at}} z = 0}.}$

Pour trouver la relation de dispersion, il suffit de considérer une onde sinusoïdale sur l'interface, se propageant dans la direction x :

${\ Displaystyle \ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,}$

avec amplitude et

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ theta = kx- \ omega t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$   et     à . ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$${\ displaystyle z = 0}$

Pour résoudre le problème de la recherche des potentiels, on peut essayer la séparation des variables , lorsque les deux champs peuvent être exprimés comme:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ Phi (x, y, z, t) & = + {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {+ | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta, \\\ Phi '(x, y, z, t) & = - {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {- | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta. \ end {aligné}}}$

Alors les contributions à l'énergie d'onde, intégrées horizontalement sur une longueur d'onde dans la direction

${\ displaystyle \ lambda = 2 \ pi / k}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} V _ {\ text {g}} & = {\ frac {1} {4}} (\ rho - \ rho ') ga ^ {2} \ lambda, \\ V _ {\ text {st}} & = {\ frac {1} {4}} \ sigma k ^ {2} a ^ {2} \ lambda, \\ T & = {\ frac {1} {4}} (\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} a ^ {2} \ lambda. \ end {aligné}}}$

La relation de dispersion peut maintenant être obtenue à partir du lagrangien , avec la somme des énergies potentielles par gravité et tension superficielle : ${\ displaystyle L = TV}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V_ {g}}$${\ displaystyle V_ {st}}$

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {4}} \ left [(\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} - (\ rho - \ rho ') g- \ sigma k ^ {2} \ right] a ^ {2} \ lambda.}$

Pour les ondes sinusoïdales et la théorie des ondes linéaires, le lagrangien moyenné en phase est toujours de la forme , de sorte que la variation par rapport au seul paramètre libre , donne la relation de dispersion . Dans notre cas, il n'y a que l'expression entre crochets, de sorte que la relation de dispersion est: ${\ displaystyle L = D (\ omega, k) a ^ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle D (\ omega, k) = 0}$${\ Displaystyle D (\ omega, k)}$

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = | k | \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho'}} \, g + {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho '}} \, k ^ {2} \ droite),}$

le même que ci-dessus.

En conséquence, l'énergie moyenne des vagues par unité de surface horizontale`` est: ${\ displaystyle (T + V) / \ lambda}$

${\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {1} {2}} \, \ left [(\ rho - \ rho ') \, g + \ sigma k ^ {2} \ right] \, a ^ {2}.}$

Comme d' habitude pour les mouvements d'ondes linéaires, le potentiel et l' énergie cinétique sont égaux ( équipartition détient): . ${\ displaystyle T = V}$