Théorème de Størmer - Størmer's theorem

En théorie des nombres , le théorème de Størmer , nommé d'après Carl Størmer , donne une limite finie sur le nombre de paires consécutives de nombres lisses qui existent, pour un degré donné de régularité, et fournit une méthode pour trouver toutes ces paires en utilisant les équations de Pell . Il découle du théorème de Thue – Siegel – Roth qu'il n'y a qu'un nombre fini de paires de ce type, mais Størmer a donné une procédure pour les trouver toutes.

Déclaration

Si l'on choisit un ensemble fini de nombres premiers, alors les nombres $P-$ lisses sont définis comme l'ensemble des entiers ${\ displaystyle P = \ {p_ {1}, p_ {2}, \ dots p_ {k} \}}$

{\ displaystyle \ left \ {p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {e_ {k}} \ mid e_ {i} \ in \ {0,1,2, \ ldots \} \ right \}}

qui peuvent être générés par des produits de nombres dans $P$ . Ensuite, le théorème de Størmer déclare que, pour chaque choix de $P$ , il n'y a qu'une infinité de paires de nombres $P-$ lisses consécutifs . En outre, il donne une méthode pour les trouver tous en utilisant les équations de Pell.

La procédure

La procédure originale de Størmer consiste à résoudre un ensemble d' équations de Pell d'environ 3 ^k , chacune ne trouvant que la plus petite solution. Une version simplifiée de la procédure, due à DH Lehmer , est décrite ci-dessous; il résout moins d'équations mais trouve plus de solutions dans chaque équation.

Laissez P l'ensemble donné de nombres premiers, et définir un nombre à P - lisse si tous ses facteurs premiers appartiennent à P . Supposons que p ₁ = 2; sinon, il ne pourrait y avoir aucun nombre P- lisse consécutif , car tous les nombres P- lisse seraient impairs. La méthode de Lehmer consiste à résoudre l'équation de Pell

{\ displaystyle x ^ {2} -2qy ^ {2} = 1}

pour chaque nombre P- lisse sans carré q autre que 2. Chacun de ces nombres q est généré comme un produit d'un sous-ensemble de P , il y a donc 2 ^k - 1 équations de Pell à résoudre. Pour chacune de ces équations, soit x _i , y _i les solutions générées, pour i dans l'intervalle de 1 à max (3, ( p _k + 1) / 2) (inclus), où p _k est le plus grand des nombres premiers dans P .

Ensuite, comme le montre Lehmer, toutes les paires consécutives de nombres P- lisses sont de la forme ( x _i - 1) / 2, ( x _i + 1) / 2. Ainsi, on peut trouver toutes ces paires en testant les nombres de cette forme pour P- douceur.

Exemple

Pour trouver les dix paires consécutives de {2,3,5} - nombres lisses (en théorie musicale , donnant les rapports superparticulaires pour juste l'accordage ) soit P = {2,3,5}. Il existe sept nombres P- lisse carré libre q (en omettant le huitième nombre P- lisse carré libre, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 et 30, chacun d'eux conduisant à une équation de Pell. Le nombre de solutions par équation de Pell requis par la méthode de Lehmer est max (3, (5 + 1) / 2) = 3, donc cette méthode génère trois solutions pour chaque équation de Pell, comme suit.

Pour q = 1, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 2 y ² = 1 sont (3,2), (17,12) et (99,70). Ainsi, pour chacune des trois valeurs x _i = 3, 17 et 99, la méthode de Lehmer teste la paire ( x _i - 1) / 2, ( x _i + 1) / 2 pour la régularité; les trois paires à tester sont (1, 2), (8, 9) et (49, 50). (1,2) et (8,9) sont des paires de nombres P- lisses consécutifs , mais (49,50) ne l'est pas, puisque 49 a 7 comme facteur premier.
Pour q = 3, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 6 y ² = 1 sont (5,2), (49,20) et (485,198). A partir des trois valeurs x _i = 5, 49 et 485, la méthode de Lehmer forme les trois paires candidates de nombres consécutifs ( x _i - 1) / 2, ( x _i + 1) / 2: (2,3), (24, 25) et (242 243). Parmi ceux-ci, (2, 3) et (24, 25) sont des paires de nombres P- lisses consécutifs mais (242, 243) ne l'est pas.
Pour q = 5, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 10 y ² = 1 sont (19,6), (721,228) et (27379,8658). La solution Pell (19,6) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (9,10); les deux autres solutions de l'équation de Pell ne conduisent pas à des paires P- lisses.
Pour q = 6, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 12 y ² = 1 sont (7,2), (97,28) et (1351,390). La solution de Pell (7,2) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (3,4).
Pour q = 10, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 20 y ² = 1 sont (9,2), (161,36) et (2889,646). La solution Pell (9,2) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (4,5) et la solution Pell (161,36) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (80,81).
Pour q = 15, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 30 y ² = 1 sont (11,2), (241,44) et (5291966). La solution Pell (11,2) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (5,6).
Pour q = 30, les trois premières solutions de l'équation de Pell x ² - 60 y ² = 1 sont (31,4), (1921,248) et (119071,15372). La solution Pell (31,4) conduit à la paire de nombres P- lisses consécutifs (15,16).

Solutions de comptage

Le résultat original de Størmer peut être utilisé pour montrer que le nombre de paires consécutives d'entiers lisses par rapport à un ensemble de k nombres premiers est au plus de 3 ^k - 2 ^k . Le résultat de Lehmer produit une borne plus étroite pour les ensembles de petits nombres premiers: (2 ^k - 1) × max (3, ( p _k +1) / 2).

Le nombre de paires consécutives d'entiers lisses par rapport aux k premiers nombres premiers est

1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345, ... (séquence A002071 dans l' OEIS ).

Le plus grand entier de toutes ces paires, pour chaque k , est

2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211, ... (séquence A117581 dans l' OEIS ).

OEIS répertorie également le nombre de paires de ce type où le plus grand des deux entiers de la paire est carré (séquence A117582 dans l' OEIS ) ou triangulaire (séquence A117583 dans l' OEIS ), car les deux types de paires se produisent fréquemment.

Généralisations et applications

Louis Mordell a écrit à propos de ce résultat, en disant qu'il "est très joli, et il y a de nombreuses applications de celui-ci."

En mathématiques

Chein (1976) a utilisé la méthode de Størmer pour prouver la conjecture de Catalan sur l'inexistence de puissances parfaites consécutives (autres que 8,9) dans le cas où l'une des deux puissances est un carré .

Mabkhout (1993) a prouvé que tout nombre x ⁴ + 1, pour x > 3, a un facteur premier supérieur ou égal à 137. Le théorème de Størmer est une partie importante de sa démonstration, dans laquelle il réduit le problème à la solution de 128 Équations de Pell.

Plusieurs auteurs ont étendu les travaux de Størmer en fournissant des méthodes pour lister les solutions d' équations diophantiennes plus générales , ou en fournissant des critères de divisibilité plus généraux pour les solutions aux équations de Pell.

Conrey, Holmstrom & McLaughlin (2013) décrivent une procédure de calcul qui, empiriquement, trouve plusieurs paires consécutives de nombres lisses décrites par le théorème de Størmer, mais pas toutes, et est beaucoup plus rapide que l'utilisation de l'équation de Pell pour trouver toutes les solutions.

En théorie musicale

Dans la pratique musicale de l'intonation juste , les intervalles musicaux peuvent être décrits comme des rapports entre des entiers positifs. Plus spécifiquement, ils peuvent être décrits comme des rapports entre les membres de la série harmonique . Toute tonalité musicale peut être divisée en sa fréquence fondamentale et ses fréquences harmoniques, qui sont des multiples entiers de la fondamentale. Cette série est supposée être la base de l'harmonie et de la mélodie naturelles. On dit que la complexité tonale des rapports entre ces harmoniques devient plus complexe avec des facteurs premiers plus élevés. Pour limiter cette complexité tonale, un intervalle est dit n- limite lorsque son numérateur et son dénominateur sont tous deux n- lisse . De plus, les rapports superparticulaires sont très importants dans la théorie de l'accordage car ils représentent les rapports entre les membres adjacents de la série harmonique.

Le théorème de Størmer permet de trouver tous les rapports superparticulaires possibles dans une limite donnée. Par exemple, dans la limite 3 ( accord de Pythagore ), les seuls rapports superparticulaires possibles sont 2/1 (l' octave ), 3/2 (la quinte parfaite ), 4/3 (la quarte parfaite ) et 9/8 ( l' ensemble de l' étape ). Autrement dit, les seules paires d'entiers consécutifs qui n'ont que des puissances de deux et trois dans leurs factorisations premières sont (1,2), (2,3), (3,4) et (8,9). Si cela est étendue à la 5 limite, six rapports superparticulier supplémentaires sont disponibles: 5/4 (la tierce majeure ), 6/5 (le troisième mineur ), 10/9 (le ton mineur ), 16/15 (le mineur second ), 25/24 (le demi-ton mineur ) et 81/80 (la virgule syntonique ). Tous ont un sens musical.

Languages

In other projects