Logiques floues de la norme T - T-norm fuzzy logics

Les logiques floues de la norme T sont une famille de logiques non classiques , délimitées de manière informelle par une sémantique qui prend l' intervalle unitaire réel [0, 1] pour le système de valeurs de vérité et de fonctions appelées normes t pour les interprétations admissibles de la conjonction . Ils sont principalement utilisés dans la logique floue appliquée et la théorie des ensembles flous comme base théorique du raisonnement approximatif.

Les logiques floues de la norme T appartiennent à des classes plus larges de logiques floues et de logiques à plusieurs valeurs . Afin de générer une implication qui se comporte bien , les normes t doivent généralement être continues à gauche ; les logiques des t-normes continues à gauche appartiennent en outre à la classe des logiques sous-structurales , parmi lesquelles elles sont marquées par la validité de la loi de prélinéarité , ( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ). Les logiques floues à la norme t propositionnelle et de premier ordre (ou d'ordre supérieur ), ainsi que leurs développements par des opérateurs modaux et autres, sont étudiées. Les logiques qui restreignent la sémantique de la norme t à un sous-ensemble de l'intervalle unitaire réel (par exemple, les logiques de Łukasiewicz à valeur finie ) sont généralement également incluses dans la classe.

Des exemples importants de logique floue t-norm sont la logique t-norm monoïdale MTL de toutes les normes t continues à gauche, la logique de base BL de toutes les normes t continues, la logique floue du produit de la norme t du produit, ou la logique minimale nilpotente de la norme t minimale nilpotente. Certaines logiques motivées indépendamment appartiennent également aux logiques floues de la norme t, par exemple la logique de Łukasiewicz (qui est la logique de la norme t de Łukasiewicz) ou la logique de Gödel-Dummett (qui est la logique de la norme t minimale).

Motivation

En tant que membres de la famille des logiques floues , les logiques floues à norme t visent principalement à généraliser la logique classique à deux valeurs en admettant des valeurs de vérité intermédiaires entre 1 (vérité) et 0 (faux) représentant les degrés de vérité des propositions. Les degrés sont supposés être des nombres réels de l'intervalle unitaire [0, 1]. Dans la logique floue propositionnelle de la norme t, les connecteurs propositionnels sont stipulés comme étant fonctionnels de vérité , c'est -à- dire que la valeur de vérité d'une proposition complexe formée par un connecteur propositionnel à partir de certaines propositions constituantes est une fonction (appelée fonction de vérité du connecteur) de les valeurs de vérité des propositions constitutives. Les fonctions de vérité opèrent sur l'ensemble des degrés de vérité (en sémantique standard, sur l'intervalle [0, 1]) ; ainsi la fonction de vérité d'un connecteur propositionnel n -aire c est une fonction F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Les fonctions de vérité généralisent les tables de vérité des connecteurs propositionnels connus de la logique classique pour opérer sur le système plus large de valeurs de vérité.

Les logiques floues de la norme T imposent certaines contraintes naturelles sur la fonction de vérité de la conjonction . La fonction de vérité de conjonction est supposée satisfaire les conditions suivantes : ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$

• Commutativité , c'est-à-dire pour tout x et y dans [0, 1]. Ceci exprime l'hypothèse que l'ordre des propositions floues est sans importance en conjonction, même si des degrés de vérité intermédiaires sont admis.${\style d'affichage x*y=y*x}$
• L'associativité , c'est-à-dire pour tout x , y et z dans [0, 1]. Cela exprime l'hypothèse que l'ordre d'exécution de la conjonction est sans importance, même si des degrés de vérité intermédiaires sont admis.${\style d'affichage (x*y)*z=x*(y*z)}$
• Monotonie , c'est-à-dire si alors pour tout x , y et z dans [0, 1]. Cela exprime l'hypothèse que l'augmentation du degré de vérité d'une conjonction ne devrait pas diminuer le degré de vérité de la conjonction.${\style d'affichage x\leq y}$${\style d'affichage x*z\leq y*z}$
• Neutralité de 1 , c'est-à-dire pour tout x dans [0, 1]. Cette hypothèse correspond à considérer le degré de vérité 1 comme une vérité pleine, conjonction avec laquelle ne diminue pas la valeur de vérité de l'autre conjoint. Avec les conditions précédentes, cette condition garantit également que pour tout x dans [0, 1], ce qui correspond à considérer le degré de vérité 0 comme une fausseté totale, avec laquelle la conjonction est toujours totalement fausse.${\style d'affichage 1*x=x}$${\style d'affichage 0*x=0}$
• Continuité de la fonction (les conditions précédentes réduisent cette exigence à la continuité dans l'un ou l'autre argument). Officieusement, cela exprime l'hypothèse que les changements microscopiques des degrés de vérité des conjoints ne devraient pas entraîner un changement macroscopique du degré de vérité de leur conjonction. Cette condition, entre autres, assure un bon comportement de l'implication (résiduelle) dérivée de la conjonction ; pour assurer le bon comportement, cependant, la continuité à gauche (dans l'un ou l'autre argument) de la fonction est suffisante. Dans les logiques floues générales de la norme t, par conséquent, seule la continuité à gauche de est requise, ce qui exprime l'hypothèse qu'une diminution microscopique du degré de vérité d'une conjonction ne devrait pas diminuer macroscopiquement le degré de vérité de la conjonction.${\style d'affichage *}$${\style d'affichage *}$${\style d'affichage *}$

Ces hypothèses font de la fonction de vérité de conjonction une t-norme continue à gauche , ce qui explique le nom de la famille des logiques floues ( t-norm based ). Des logiques particulières de la famille peuvent faire d'autres hypothèses sur le comportement de la conjonction (par exemple, la logique de Gödel nécessite son idempotence ) ou d'autres connecteurs (par exemple, la logique IMTL (logique involutive monoïdale t-norm) nécessite l' involutivité de la négation).

Toutes les normes t continues à gauche ont un résidu unique , c'est-à-dire une fonction binaire telle que pour tout x , y et z dans [0, 1], ${\style d'affichage *}$${\displaystyle \Rightarrow }$

${\style d'affichage x*y\leq z}$ si et seulement si ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

Le résidu d'une norme t continue à gauche peut être explicitement défini comme

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

Cela garantit que le résidu est la plus grande fonction ponctuelle telle que pour tout x et y ,

${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y.}$

Cette dernière peut être interprétée comme une version floue de la règle d'inférence du modus ponens . Le résidu d'une norme t continue à gauche peut ainsi être caractérisé comme la fonction la plus faible qui rend valide le modus ponens flou, ce qui en fait une fonction de vérité appropriée pour l'implication en logique floue. La continuité à gauche de la norme t est la condition nécessaire et suffisante pour que cette relation entre une conjonction de norme t et son implication résiduelle soit vérifiée.

Les fonctions de vérité d'autres connecteurs propositionnels peuvent être définies au moyen de la norme t et de son résidu, par exemple la négation résiduelle ou l'équivalence bi-résiduelle Les fonctions de vérité des connecteurs propositionnels peuvent également être introduites par des définitions supplémentaires : les plus habituelles sont le minimum. (qui joue un rôle d'un autre connecteur conjonctif), le maximum (qui joue un rôle de connecteur disjonctif), ou l'opérateur Baaz Delta, défini dans [0, 1] comme si et autrement. De cette façon, une norme t continue à gauche, son résidu et les fonctions de vérité de connecteurs propositionnels supplémentaires déterminent les valeurs de vérité des formules propositionnelles complexes dans [0, 1]. ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).}$${\style d'affichage \Delta x=1}$${\style d'affichage x=1}$${\style d'affichage \Delta x=0}$

Les formules qui évaluent toujours à 1 sont appelées tautologies par rapport à la norme t continue à gauche ou aux tautologies. L'ensemble de toutes les tautologies est appelé la logique de la norme t car ces formules représentent les lois de la logique floue (déterminées par la norme t) qui s'appliquent (au degré 1) quels que soient les degrés de vérité des formules atomiques . Certaines formules sont des tautologies par rapport à une classe plus large de normes t continues à gauche ; l'ensemble de telles formules s'appelle la logique de la classe. Les logiques t-norm importantes sont les logiques de t-normes particulières ou de classes de t-normes, par exemple : ${\style d'affichage *,}$${\displaystyle *{\mbox{-}}}$${\displaystyle *{\mbox{-}}}$${\style d'affichage *,}$

• La logique de ukasiewicz est la logique de la norme t de Łukasiewicz ${\style d'affichage x*y=\max(x+y-1,0)}$
• La logique de Gödel-Dummett est la logique de la norme t minimale ${\style d'affichage x*y=\min(x,y)}$
• La logique floue du produit est la logique de la norme t du produit ${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• Logique t-norme monoïdale MTL est la logique de (la classe de) toutes les normes t continues à gauche
• La logique floue de base BL est la logique de (la classe de) toutes les normes t continues

Il s'avère que de nombreuses logiques de normes t particulières et de classes de normes t sont axiomatisables. Le théorème de complétude du système axiomatique par rapport à la sémantique de la norme t correspondante sur [0, 1] est alors appelé la complétude standard de la logique. En plus de la sémantique à valeurs réelles standard sur [0, 1], les logiques sont solides et complètes par rapport à la sémantique algébrique générale, formée par des classes appropriées de réseaux résiduels entiers bornés commutatifs prélinéaires .

Histoire

Certaines logiques floues particulières de la norme t ont été introduites et étudiées bien avant que la famille ne soit reconnue (avant même l' émergence des notions de logique floue ou de norme t ) :

• La logique de ukasiewicz (la logique de la norme t de Łukasiewicz) a été définie à l'origine par Jan Łukasiewicz (1920) comme une logique à trois valeurs ; il a ensuite été généralisé à n -valués (pour tout n fini ) ainsi qu'à des variantes à plusieurs valeurs, à la fois propositionnelles et du premier ordre.
• La logique de Gödel-Dummett (la logique de la norme t minimale) était implicite dans la preuve de Gödel de 1932 de la valeur infinie de la logique intuitionniste . Plus tard (1959), il a été explicitement étudié par Dummett qui a prouvé un théorème de complétude pour la logique.

Une étude systématique de logiques floues particulières de la norme t et de leurs classes a commencé avec la monographie de Hájek (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic , qui présentait la notion de la logique d'une norme t continue, les logiques des trois principes t continus de base. (Łukasiewicz, Gödel et produit), et la logique floue « de base » BL de toutes les normes t continues (toutes à la fois propositionnelles et du premier ordre). Le livre a également commencé l'étude des logiques floues en tant que logiques non classiques avec des calculs de style Hilbert, une sémantique algébrique et des propriétés métamathématiques connues d'autres logiques (théorèmes de complétude, théorèmes de déduction , complexité , etc.).

Depuis lors, une pléthore de logiques floues à norme t ont été introduites et leurs propriétés métamathématiques ont été étudiées. Certaines des logiques floues de la norme t les plus importantes ont été introduites en 2001, par Esteva et Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), Esteva, Godo et Montagna (propositionnel ŁΠ) et Cintula (premier ordre ŁΠ) .

Langage logique

Le vocabulaire logique des logiques floues propositionnelles de la norme t comprend généralement les connecteurs suivants :

• Implication ( binaire ). Dans le contexte d'autres logiques floues basées sur la norme t, l'implication basée sur la norme t est parfois appelée implication résiduelle ou implication R , car sa sémantique standard est le résidu de la norme t qui réalise une conjonction forte.${\displaystyle \rightarrow }$
• Conjonction forte (binaire). Dans le contexte des logiques sous-structurales, le signe et les noms de groupe , conjonction intensionnelle , multiplicative ou parallèle sont souvent utilisés pour une conjonction forte.${\displaystyle \Et }$${\displaystyle \otimes }$
• Conjonction faible (binaire), également appelée conjonction de réseau (car elle est toujours réalisée par l' opération de réseau de rencontre en sémantique algébrique). Dans le contexte des logiques sous-structurales, les noms de conjonction additive , extensionnelle ou comparative sont parfois utilisés pour la conjonction de réseau. Dans la logique BL et ses extensions (mais pas dans les logiques t-norm en général), la conjonction faible est définissable en termes d'implication et de conjonction forte, par${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$

La présence de deux connecteurs de conjonction est une caractéristique commune des logiques sous - structurales sans contraction .

• Bas ( nullaire ); ou sont des signes alternatifs communs et zéro un nom alternatif commun pour la constante propositionnelle (comme les constantes bas et zéro des logiques sous-structurales coïncident dans la logique floue de la norme t). La proposition représente le faux ou l' absurde et correspond à la valeur de vérité classique faux .${\displaystyle \bot }$${\style d'affichage 0}$${\displaystyle {\overline {0}}}$${\displaystyle \bot }$
• Négation ( unaire ), parfois appelée négation résiduelle si l'on considère d'autres connecteurs de négation, telle qu'elle est définie à partir de l'implication résiduelle par la reductio ad absurdum :${\style d'affichage \neg }$

${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$

• Équivalence (binaire), définie comme${\style d'affichage \leftrightarrow }$

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$

Dans les logiques t-norm, la définition est équivalente à ${\displaystyle (A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).}$

• Disjonction (faible) (binaire), aussi appelée disjonction de treillis (comme elle est toujours réalisée par l' opération treillis de join en sémantique algébrique). Dans les logiques t-norm, il est définissable en termes d'autres connecteurs comme${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• Top (nullaire), également appelé un et noté ou (car les constantes top et zéro des logiques sous-structurales coïncident dans les logiques floues de la norme t). La proposition correspond à la valeur de vérité classique true et peut dans les logiques t-norm être définie comme${\style d'affichage \top }$${\style d'affichage 1}$${\displaystyle {\overline {1}}}$${\style d'affichage \top }$

${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$

Certaines logiques t-normes propositionnelles ajoutent d'autres connecteurs propositionnels au langage ci-dessus, le plus souvent les suivants :

• Le connecteur Delta est un connecteur unaire qui affirme la vérité classique d'une proposition, car les formules de la forme se comportent comme dans la logique classique. Également appelé delta de Baaz , car il a été utilisé pour la première fois par Matthias Baaz pour la logique de Gödel-Dummett . L'expansion d'une logique t-norm par le connecteur Delta est généralement notée par${\style d'affichage \triangle }$${\displaystyle \triangle A}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle L_{\triangle }.}$
• Les constantes de vérité sont des connecteurs nuls représentant des valeurs de vérité particulières comprises entre 0 et 1 dans la sémantique standard à valeurs réelles. Pour le nombre réel , la constante de vérité correspondante est généralement désignée par Le plus souvent, les constantes de vérité pour tous les nombres rationnels sont additionnées. Le système de toutes les constantes de vérité dans le langage est supposé satisfaire les axiomes comptables :${\style d'affichage r}$${\displaystyle {\overline {r}}.}$

${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),}$ ${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),}$ etc. pour tous les connecteurs propositionnels et toutes les constantes de vérité définissables dans le langage.

• La négation involutive (unaire) peut être ajoutée en tant que négation supplémentaire aux logiques t-norm dont la négation résiduelle n'est pas elle-même involutive , c'est-à-dire si elle n'obéit pas à la loi de la double négation . Une logique t-norm développée avec une négation involutive est généralement notée et appelée avec involution .${\style d'affichage \sim }$${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle L_{\sim }}$${\style d'affichage L}$
• Disjonction forte (binaire). Dans le contexte des logiques sous-structurales, on l'appelle aussi disjonction de groupe , intensionnelle , multiplicative ou parallèle . Bien que standard dans les logiques sous-structurales sans contraction, dans les logiques floues à norme t, il n'est généralement utilisé qu'en présence de négation involutive, ce qui le rend définissable (et donc axiomatisable) par la loi de de Morgan à partir de la conjonction forte :${\style d'affichage \oplus }$

${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).}$

• Conjonctions supplémentaires de la norme t et implications résiduelles . Certaines logiques t-norme expressivement forte, par exemple la logique ŁΠ , ont plus d'une forte conjonction ou implication résiduelle dans leur langue. Dans la sémantique standard à valeur réelle, toutes ces conjonctions fortes sont réalisées par différentes normes t et les implications résiduelles par leurs résidus.

Les formules bien formées des logiques propositionnelles de la norme t sont définies à partir de variables propositionnelles (généralement dénombrables ) par les connecteurs logiques ci-dessus, comme d'habitude dans les logiques propositionnelles . Afin d'enregistrer les parenthèses, il est courant d'utiliser l'ordre de priorité suivant :

• Connecteurs unaires (se lier le plus étroitement)
• Connecteurs binaires autres que l'implication et l'équivalence
• Implication et équivalence (lier plus lâchement)

Les variantes du premier ordre de la logique t utilisent le langage logique habituel de la logique du premier ordre avec les connecteurs propositionnels ci-dessus et les quantificateurs suivants :

• Quantificateur général ${\displaystyle \forall }$
• Quantificateur existentiel ${\style d'affichage \existe }$

La variante du premier ordre d'une logique t-norme propositionnelle est généralement notée par${\style d'affichage L}$${\displaystyle L\forall .}$

Sémantique

La sémantique algébrique est principalement utilisée pour la logique floue propositionnelle à norme t, avec trois classes principales d' algèbres par rapport auxquelles une logique floue à norme t est complète : ${\style d'affichage L}$

• Sémantique générale , formée de toutes les -algèbres , c'est-à-dire de toutes les algèbres dont la logique est saine .${\style d'affichage L}$
• Sémantique linéaire , formée de toutes les -algèbres linéaires , c'est-à-dire de toutes les -algèbres dont l' ordre du réseau est linéaire .${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$
• Sémantique standard , formée de toutes les -algèbres standard — c'est-à-dire de toutes les -algèbres dont le réducteur de réseau est l'intervalle unitaire réel [0, 1] avec l'ordre habituel. Dans les algèbres standard , l'interprétation de la conjonction forte est une t-norme continue à gauche et l'interprétation de la plupart des connecteurs propositionnels est déterminée par la t-norme (d'où les noms t-norm-based logics et t-norm -algebras , qui est également utilisé pour les -algèbres sur le réseau [0, 1]). Dans les logiques de la norme t avec des connecteurs supplémentaires, cependant, l'interprétation à valeur réelle des connecteurs supplémentaires peut être restreinte par d'autres conditions pour que l'algèbre de la norme t soit appelée standard : par exemple, dans les algèbres standard de la logique avec involution, l'interprétation de la négation involutive supplémentaire doit être l' involution standard plutôt que d'autres involutions qui peuvent également interpréter sur les algèbres t-norm . En général, par conséquent, la définition des algèbres t-normes standard doit être explicitement donnée pour les logiques t-normes avec des connecteurs supplémentaires.${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle L_{\sim }}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage \sim }$ ${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$${\style d'affichage \sim }$${\displaystyle L_{\sim }}$

Bibliographie

• Esteva F. & Godo L., 2001, "Logique basée sur la norme t monoïdale: Vers une logique de normes t continues à gauche". Ensembles et systèmes flous 124 : 271-288.
• Flaminio T. & Marchioni E., 2006, Logiques basées sur la norme T avec une négation involutive indépendante. Ensembles et systèmes flous 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Logique floue mathématique basée sur la norme triangulaire. Dans EP Klement & R. Mesiar (eds.), Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Aspects of Triangular Norms , pp. 275-300. Elsevier, Amsterdam 2005.
• Hájek P., 1998, Métamathématiques de la logique floue . Dordrecht : Kluwer. ISBN  0-7923-5238-6 .

Les références