Emballage tétraèdre - Tetrahedron packing

En géométrie , le tassement des tétraèdres est le problème consistant à disposer des tétraèdres réguliers identiques dans tout l'espace tridimensionnel de manière à remplir la fraction maximale possible de l'espace.

La structure d'emballage connue actuellement la plus dense pour les tétraèdres réguliers est un double réseau de bipyramides triangulaires et remplit 85,63 % de l'espace

Actuellement, la meilleure borne inférieure atteinte sur la fraction de tassement optimale des tétraèdres réguliers est de 85,63 %. Tétraèdres ne le font pas tuile espace, et une limite supérieure en dessous de 100% ( à savoir 1 - (2,6 ...) · 10 -25 ) a été rapporté.

Résultats historiques

Emballage tétraédrique

Aristote prétendait que les tétraèdres pouvaient remplir complètement l'espace.

En 2006, Conway et Torquato ont montré qu'une fraction de tassement d'environ 72 % peut être obtenue en construisant un garnissage de tétraèdres non Bravais (avec des particules multiples avec des orientations généralement différentes par unité de répétition), et ils ont ainsi montré que le meilleur garnissage de tétraèdres ne peut pas être un garnissage en treillis (avec une particule par unité répétitive de telle sorte que chaque particule ait une orientation commune). Ces constructions de garnissage ont presque doublé la fraction optimale de garnissage de Bravais-réseau de 36,73 % obtenue par Hoylman. En 2007 et 2010, Chaikin et ses collègues ont montré expérimentalement que des dés de type tétraèdre peuvent s'entasser au hasard dans un conteneur fini jusqu'à une fraction d'emballage comprise entre 75 % et 76 %. En 2008, Chen a été le premier à proposer un tassement de tétraèdres durs et réguliers plus denses que les sphères, démontrant numériquement une fraction de tassement de 77,86 %. Une autre amélioration a été apportée en 2009 par Torquato et Jiao, qui ont compressé la structure de Chen à l'aide d'un algorithme informatique à une fraction d'emballage de 78,2021%.

À la mi-2009, Haji-Akbari et al. ont montré, en utilisant des simulations MC de systèmes initialement aléatoires, qu'à des densités de tassement > 50 %, un fluide d'équilibre de tétraèdres durs se transforme spontanément en un quasicristal dodécagonal , qui peut être comprimé à 83,24 %. Ils ont également signalé un tassement vitreux et désordonné à des densités dépassant 78%. Pour une approximation périodique d'un quasicristal avec une maille élémentaire de 82 tétraèdres, ils ont obtenu une densité de tassement aussi élevée que 85,03 %.

Fin 2009, une nouvelle famille de garnissages beaucoup plus simple avec une fraction de garnissage de 85,47 % a été découverte par Kallus, Elser et Gravel. Ces garnissages ont également servi de base à un garnissage légèrement amélioré obtenu par Torquato et Jiao fin 2009 avec une fraction de garnissage de 85,55 %, et par Chen, Engel et Glotzer début 2010 avec une fraction de garnissage de 85,63 %. Le résultat de Chen, Engel et Glotzer représente actuellement l'empilement connu le plus dense de tétraèdres durs et réguliers. Étonnamment, l'approximatif quasi-cristallin est plus dense que ce double réseau de bipyramides triangulaires lorsque les tétraèdres sont légèrement arrondis (la somme de Minkowski d'un tétraèdre et d'une sphère), faisant de l'approximatif quasi-cristallin de 82 tétraèdres la plus grande maille unitaire pour un emballage le plus dense de particules identiques à Date.

Relation avec d'autres problèmes d'emballage

Parce que la première limite inférieure connue pour les emballages de tétraèdres était inférieure à celle des sphères , il a été suggéré que les tétraèdres réguliers pourraient être un contre-exemple à la conjecture d' Ulam selon laquelle la densité optimale pour emballer des sphères congruentes est plus petite que celle de tout autre corps convexe. Cependant, les résultats les plus récents ont montré que ce n'est pas le cas.

Voir également

Les références

Liens externes