problème de Thomson - Thomson problem

L'objectif du problème de Thomson est de déterminer la configuration d' énergie potentielle électrostatique minimale de N électrons contraints à la surface d'une sphère unité qui se repoussent avec une force donnée par la loi de Coulomb . Le physicien JJ Thomson a posé le problème en 1904 après avoir proposé un modèle atomique , appelé plus tard le modèle du plum pudding , basé sur sa connaissance de l'existence d'électrons chargés négativement au sein d'atomes chargés de manière neutre.

Les problèmes connexes incluent l'étude de la géométrie de la configuration d'énergie minimale et l'étude du grand comportement N de l'énergie minimale.

Énoncé mathématique

Le système physique incarné par le problème de Thomson est un cas particulier de l'un des dix-huit problèmes mathématiques non résolus proposés par le mathématicien Steve Smale - "Distribution des points sur la 2-sphère". La solution de chaque problème à N- électrons est obtenue lorsque la configuration à N- électrons contrainte à la surface d'une sphère de rayon unitaire, , donne un minimum d' énergie potentielle électrostatique global , . ${\style d'affichage r=1}$${\style d'affichage U(N)}$

L'énergie d'interaction électrostatique se produisant entre chaque paire d'électrons de charges égales ( , avec la charge élémentaire d'un électron) est donnée par la loi de Coulomb, ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$${\style d'affichage e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}$

Ici, est la constante de Coulomb et est la distance entre chaque paire d'électrons situés à des points de la sphère définis par les vecteurs et , respectivement. ${\displaystyle k_{e}}$${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

Les unités simplifiées de et sont utilisées sans perte de généralité. Puis, ${\style d'affichage e=1}$${\displaystyle k_{e}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

L'énergie potentielle électrostatique totale de chaque configuration d'électrons N peut alors être exprimée comme la somme de toutes les interactions par paires

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

La minimisation globale de toutes les collections possibles de N points distincts est typiquement trouvée par des algorithmes de minimisation numérique. ${\style d'affichage U(N)}$

Exemple

La solution du problème de Thomson pour deux électrons est obtenue lorsque les deux électrons sont aussi éloignés que possible des côtés opposés de l'origine, , ou ${\style d'affichage r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

Solutions connues

Solutions géométriques schématiques du problème mathématique de Thomson pour un maximum de N  = 5 électrons.

Les configurations à énergie minimale n'ont été rigoureusement identifiées que dans une poignée de cas.

• Pour N  = 1, la solution est triviale car l'électron peut résider en n'importe quel point de la surface de la sphère unité. L'énergie totale de la configuration est définie comme nulle car l'électron n'est pas soumis au champ électrique dû à d'autres sources de charge.
• Pour N  = 2, la configuration optimale consiste en des électrons aux points antipodaux .
• Pour N  = 3, les électrons résident aux sommets d'un triangle équilatéral autour d'un grand cercle .
• Pour N  = 4, les électrons résident aux sommets d'un tétraèdre régulier .
• Pour N  = 5, une solution assistée par ordinateur mathématiquement rigoureuse a été rapportée en 2010 avec des électrons résidant aux sommets d'une dipyramide triangulaire .
• Pour N  = 6, les électrons résident aux sommets d'un octaèdre régulier .
• Pour N  = 12, les électrons résident aux sommets d'un icosaèdre régulier .

Les solutions géométriques du problème de Thomson pour N  = 4, 6 et 12 électrons sont des solides platoniciens dont les faces sont des triangles équilatéraux congrus. Les solutions numériques pour N  = 8 et 20 ne sont pas les configurations polyédriques convexes régulières des deux solides platoniciens restants, dont les faces sont respectivement carrées et pentagonales.

Généralisations

On peut aussi demander des états fondamentaux de particules interagissant avec des potentiels arbitraires. Pour être mathématiquement précis, soit f une fonction à valeur réelle décroissante, et définissons la fonctionnelle énergie${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)}$

Traditionnellement, on considère également les noyaux Riesz . Pour les noyaux Riesz intégrables voir ; pour les noyaux de Riesz non intégrables, le théorème du bagel aux graines de pavot est valable, voir. Les cas notables incluent α  = ∞, le problème de Tammes (packing) ; α  = 1, le problème de Thomson ; α  = 0, problème de Whyte (pour maximiser le produit des distances). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$${\style d'affichage \alpha }$

On peut aussi considérer des configurations de N points sur une sphère de dimension supérieure . Voir conception sphérique .

Relations avec d'autres problèmes scientifiques

Le problème de Thomson est une conséquence naturelle du modèle du plum pudding de Thomson en l'absence de sa charge de fond positive uniforme.

Bien que des preuves expérimentales aient conduit à l'abandon du modèle de pudding de prune de Thomson en tant que modèle atomique complet, les irrégularités observées dans les solutions énergétiques numériques du problème de Thomson se sont avérées correspondre au remplissage de la coquille d'électrons dans les atomes naturels tout au long du tableau périodique des éléments.

Le problème de Thomson joue également un rôle dans l'étude d'autres modèles physiques, notamment les bulles multi-électrons et l'ordre de surface des gouttes de métal liquide confinées dans les pièges de Paul .

Le problème généralisé de Thomson se pose, par exemple, pour déterminer les arrangements des sous-unités protéiques qui composent les enveloppes des virus sphériques . Les "particules" dans cette application sont des grappes de sous-unités protéiques disposées sur une coque. D'autres réalisations incluent des arrangements réguliers de particules colloïdales dans des colloïdosomes , proposés pour l'encapsulation d'ingrédients actifs tels que des médicaments, des nutriments ou des cellules vivantes, des motifs fullerènes d'atomes de carbone et la théorie VSEPR . Un exemple d'interactions logarithmiques à longue distance est fourni par les tourbillons d'Abrikosov qui se formeraient à basse température dans une enveloppe métallique supraconductrice avec un grand monopôle au centre.

Configurations de plus petite énergie connue

Dans le tableau suivant se trouve le nombre de points (charges) dans une configuration, est l'énergie, le type de symétrie est donné en notation de Schönflies (voir Groupes de points en trois dimensions ), et sont les positions des charges. La plupart des types de symétrie nécessitent que la somme vectorielle des positions (et donc le moment dipolaire électrique ) soit nulle. ${\style d'affichage N}$${\style d'affichage E_{1}}$${\style d'affichage r_{i}}$

Il est d'usage de considérer aussi le polyèdre formé par l' enveloppe convexe des points. Ainsi, est le nombre de sommets où le nombre donné d'arêtes se rencontrent, ' est le nombre total d'arêtes, est le nombre de faces triangulaires, est le nombre de faces quadrilatérales et est le plus petit angle sous-tendu par les vecteurs associés à la charge la plus proche paire. Notez que les longueurs de bord ne sont généralement pas égales ; ainsi (sauf dans les cas N  = 2, 3, 4, 6, 12, et les polyèdres géodésiques ) l'enveloppe convexe n'est topologiquement équivalente qu'à la figure indiquée dans la dernière colonne. ${\displaystyle v_{i}}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage f_{3}}$${\style d'affichage f_{4}}$${\displaystyle \theta _{1}}$

N	${\style d'affichage E_{1}}$	Symétrie	${\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\style d'affichage v_{6}}$	${\style d'affichage v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	${\style d'affichage e}$	${\style d'affichage f_{3}}$	${\style d'affichage f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}}$	Polyèdre équivalent
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180.000°	digon
3	1.732050808	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	Triangle
4	3.674234614	${\style d'affichage T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	tétraèdre
5	6.474691495	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	dipyramide triangulaire
6	9.985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	octaèdre
7	14.452977414	${\style d'affichage D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	dix	0	72.000°	dipyramide pentagonale
8	19.675287861	${\style d'affichage D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	antiprisme carré
9	25.759986531	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	prisme triangulaire triaugmenté
dix	32.716949460	${\style d'affichage D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996°	dipyramide carré gyroallongé
11	40.596450510	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	icosaèdre à bords contractés
12	49.165253058	${\style d'affichage I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435°	icosaèdre ( sphère géodésique {3,5+} 1,0 )
13	58.853230612	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,008820367	0	1	dix	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${\style d'affichage D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	dipyramide hexagonale gyroallongée
15	80.670244114	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936°
17	106.050404829	${\style d'affichage D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	dipyramide pentagonale double gyroallongée
18	120.084467447	${\style d'affichage D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093°
21	167.641622399	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,001406124	0	1	dix	dix	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${\style d'affichage T_{d}}$	0	0	0	12	dix	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481°
24	223.347074052	${\style d'affichage O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	cube retroussé
25	243.812760299	${\style d'affichage C_{s}}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${\style d'affichage C_{2}}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842°
27	287.302615033	${\style d'affichage D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${\style d'affichage C_{3v}}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${\style d'affichage I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	dodécaèdre pentakis ( sphère géodésique {3,5+} 1,1 )
33	440.204057448	${\style d'affichage C_{s}}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°
35	498.569872491	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°
37	560.618887731	${\style d'affichage D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${\style d'affichage D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°
40	660.675278835	${\style d'affichage T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${\style d'affichage D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${\style d'affichage D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245°
43	769.190846459	${\style d'affichage C_{2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°
44	807.174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258°
45	846.188401061	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${\style d'affichage C_{s}}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787°
48	968.713455344	${\style d'affichage O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${\style d'affichage C_{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°
50	1055.182314726	${\style d'affichage D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${\style d'affichage C_{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°
56	1337.094945276	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°
57	1387.383229253	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.83040976	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°
61	1597.941830199	${\style d'affichage C_{1}}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°
62	1652.909409898	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°
64	1765.802577927	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${\style d'affichage D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291°
71	2190.649906425	${\style d'affichage C_{2}}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	sphère géodésique {3,5+} 2,1
73	2320.633883745	${\style d'affichage C_{2}}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°
76	2522.674871841	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°
78	2662.046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${\style d'affichage C_{s}}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636°
80	2805.355875981	${\style d'affichage D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°
81	2878.522829664	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°
82	2952.569675286	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646°
84	3103.465124431	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${\style d'affichage C_{2}}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°
94	3915.309269620	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°
95	4001.771675565	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°
101	4540.590051694	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${\style d'affichage D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°
106	5015.984595705	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°
108	5212.813507831	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°
109	5312.735079920	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${\style d'affichage D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°
112	5618.044882327	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°
114	5826.521572163	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°
115	5932.181285777	${\style d'affichage C_{3}}$	0,00049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°
117	6146.342446579	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${\style d'affichage C_{2}}$	0,00032475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${\style d'affichage C_{2}}$	0,00068590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${\style d'affichage C_{s}}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°
121	6586.121949584	${\style d'affichage C_{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${\style d'affichage I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	sphère géodésique {3,5+} 2,2
123	6811.827228174	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${\style d'affichage D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°
130	7632.167378912	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°
131	7753.205166941	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	sphère géodésique {3,5+} 3,1
133	7998.179212898	${\style d'affichage C_{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°
136	8372.743302539	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°
139	8756.227056057	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°
140	8885.980609041	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°
145	9548.928837232	${\style d'affichage C_{s}}$	0,0000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°
146	9684.381825575	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°
148	9958.40604270	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°
149	10096.859907397	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16,344°
150	10236.196436701	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°
155	10947.574692279	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°
157	11238.903041156	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°
158	11385.990186197	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°
159	11534.023960956	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°
163	12136.013053220	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°
164	12288.930105320	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°
165	12442.804451373	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${\style d'affichage D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${\style d'affichage C_{2}}$	0,00097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°
169	13068.006451127	${\style d'affichage C_{s}}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${\style d'affichage D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°
172	13547.018108787	${\style d'affichage C_{2v}}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292°
173	13708.635243034	${\style d'affichage C_{s}}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°
175	14034.781306929	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°
178	14531.309552587	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°
179	14698.754594220	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968°
180	14867.099927525	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°
181	15036.467239769	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°
183	15378.166571028	${\style d'affichage C_{1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°
185	15723.720074072	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°
186	15897.897437048	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${\style d'affichage C_{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${\style d'affichage C_{1}}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	sphère géodésique {3,5+} 3,2
193	17144.564740880	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${\style d'affichage C_{2}}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${\style d'affichage C_{1}}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${\style d'affichage D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${\style d'affichage C_{1}}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${\style d'affichage C_{s}}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°
204	19199.540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	sphère géodésique {3,5+} 4,1
214	21169.910410375	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${\style d'affichage I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	sphère géodésique {3,5+} 3,3
282	37147.294418462	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	sphère géodésique {3,5+} 4,2
292	39877.08012909	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°
312	45629.313804002	${\style d'affichage C_{2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°
358	60341.830924588	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${\style d'affichage I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	sphère géodésique {3,5+} 4,3
382	68839.426839215	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${\style d'affichage C_{1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°
400	75582.448512213	${\style d'affichage T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10,068°
402	76351.192432673	${\style d'affichage D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${\style d'affichage D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${\style d'affichage T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${\style d'affichage T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${\style d'affichage S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${\style d'affichage S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

D'après une conjecture, si , p est le polyèdre formé par l'enveloppe convexe de m points, q est le nombre de faces quadrilatérales de p , alors la solution pour m électrons est f ( m ) : . ${\style d'affichage m=n+2}$${\style d'affichage f(m)=0^{n}+3n-q}$

Les références

Remarques

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• Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. "Problème de Thomson @ SU"
• Cette page Web contient de nombreuses autres configurations d'électrons avec la plus faible énergie connue : https://www.hars.us .