n -sphère - n-sphere

Filaire à 2 sphères comme projection orthogonale

Tout comme une projection stéréographique peut projeter la surface d'une sphère sur un plan, elle peut également projeter une sphère à 3 dans l'espace 3. Cette image montre trois directions de coordonnées projetées dans l'espace 3 : parallèles (rouge), méridiens (bleu) et hyperméridiens (vert). En raison de la propriété conforme de la projection stéréographique, les courbes se coupent orthogonalement (aux points jaunes) comme en 4D. Toutes les courbes sont des cercles : les courbes qui coupent ⟨0,0,0,1⟩ ont un rayon infini (= droite).

En mathématiques , un n -sphere est un espace topologique qui est homéomorphe à un niveau n - sphère , qui est l'ensemble des points ( n + 1) de dimension espace euclidien qui sont situés à une distance constante r à partir d' un point fixe, appelé le centre . C'est la généralisation d'une sphère ordinaire dans l' espace tridimensionnel ordinaire . Le "rayon" d'une sphère est la distance constante de ses points au centre. Lorsque la sphère a un rayon unitaire, il est habituel de l'appelerl'unité n -sphère ou simplement la n -sphère pour plus de concision. En termes de norme standard, la n- sphère est définie comme

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

et une n- sphère de rayon r peut être définie comme

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

La dimension de la n- sphère est n , et ne doit pas être confondue avec la dimension ( n +1) de l'espace euclidien dans lequel elle est naturellement encastrée . Une n- sphère est la surface ou la frontière d'une boule de dimension ( n + 1) .

En particulier:

• la paire de points aux extrémités d'un segment de droite (unidimensionnel) est une sphère 0,
• un cercle , qui est la circonférence unidimensionnelle d'un disque (bidimensionnel) , est une sphère 1,
• la surface bidimensionnelle d'une boule tridimensionnelle est une 2-sphère, souvent appelée simplement une sphère,
• la frontière tridimensionnelle d'une boule à 4 (quatre dimensions) est une sphère à 3 ,
• le n - 1 limite dimensionnelle d'un ( n dimensionnel) n -Ball est un ( n - 1) -sphere.

Pour n 2 , les n- sphères qui sont des variétés différentielles peuvent être caractérisées ( à un difféomorphisme près ) comme les variétés n- dimensionnelles simplement connectées de courbure constante et positive . Les n -sphères admettent plusieurs autres descriptions topologiques : par exemple, elles peuvent être construites en collant ensemble deux espaces euclidiens de n dimensions, en identifiant la frontière d'un n -cube avec un point, ou (inductivement) en formant la suspension d'un ( n − 1) -sphère. La 1-sphère est la 1-variété qui est un cercle, qui n'est pas simplement connecté. La sphère 0 est la variété 0 constituée de deux points, qui ne sont même pas connectés.

La description

Pour tout nombre naturel n , une n -sphère de rayon r est définie comme l'ensemble des points dans l' espace euclidien ( n + 1) -dimensionnel qui sont à une distance r d'un point fixe c , où r peut être n'importe quel nombre réel positif et où c peut être n'importe quel point dans un espace à ( n + 1) -dimensionnel. En particulier:

• une 0-sphère est une paire de points { c − r , c + r } , et est la frontière d'un segment de ligne (1-boule).
• une 1-sphère est un cercle de rayon r centré en c , et est la frontière d'un disque (2-boule).
• une 2-sphère est une sphère bidimensionnelle ordinaire dans l'espace euclidien tridimensionnel, et est la frontière d'une boule ordinaire (3-boule).
• une sphère à 3 dimensions est une sphère à 3 dimensions dans l'espace euclidien à 4 dimensions.

Les coordonnées euclidiennes à ( n + 1) -space

L'ensemble des points dans l' espace ( n + 1) , ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , qui définissent une n -sphère, , est représenté par l'équation : ${\displaystyle S^{n}(r)}$

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

où c = ( c ₁ , c ₂ , ..., c _{n +1} ) est un centre et r est le rayon.

Ce qui précède n -sphere existe dans ( n + 1) l' espace euclidien de dimension et est un exemple d'un n - collecteur . La forme volume ω d'un n -sphere de rayon r est donnée par

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1} \wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

où * est l' opérateur étoile Hodge ; voir Flanders (1989 , §6.1) pour une discussion et une démonstration de cette formule dans le cas r = 1 . Par conséquent,

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

n- balle

L'espace délimité par une n -sphère s'appelle une ( n + 1) - boule . Une boule ( n + 1) est fermée si elle inclut la n -sphère, et elle est ouverte si elle n'inclut pas la n -sphère.

Spécifiquement:

• Une 1- boule , un segment de droite , est l'intérieur d'une 0-sphère.
• Une 2- boule , un disque , est l'intérieur d'un cercle (1-sphère).
• Une boule 3- , une boule ordinaire , est l'intérieur d'une sphère (2-sphère).
• Une boule à 4 est l'intérieur d'une sphère à 3 , etc.

Description topologique

Topologiquement , une n- sphère peut être construite comme une compactification en un point de l' espace euclidien n- dimensionnel. En bref, la n- sphère peut être décrite comme S ⁿ = ℝ ⁿ ∪ {∞} , qui est l' espace euclidien n- dimensionnel plus un seul point représentant l'infini dans toutes les directions. En particulier, si un seul point est retiré d'une n- sphère, il devient homéomorphe à ℝ ⁿ . Ceci constitue la base de la projection stéréographique .

Volume et surface

Graphiques des volumes  ( V ) et des surfaces  ( S ) des n- boules de rayon 1. Dans le fichier SVG, survolez un point pour le mettre en évidence ainsi que sa valeur.

En théorie, on pourrait comparer les valeurs de S _n ( R ) et S _m ( R ) pour n ≠ m . Cependant, ce n'est pas bien défini. Par exemple, si n = 2 et m = 3, la comparaison revient à comparer un nombre de mètres carrés à un nombre différent de mètres cubes. De même pour une comparaison de V _n ( R ) et V _m ( R ) pour n ≠ m .

Exemples

Le 0-ball se compose d'un seul point. La mesure de Hausdorff à 0 dimension est le nombre de points dans un ensemble. Donc,

${\style d'affichage V_{0}=1.}$

La 0-sphère est constituée de ses deux extrémités, {−1,1} . Donc,

${\style d'affichage S_{0}=2.}$

L'unité 1-boule est l'intervalle [−1,1] de longueur 2. Donc,

${\style d'affichage V_{1}=2.}$

L'unité 1-sphère est le cercle unité dans le plan euclidien, et cela a une circonférence (mesure à une dimension)

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

La région entourée par l'unité 1-sphère est la 2-boule, ou disque unité, et cela a une aire (mesure bidimensionnelle)

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

De manière analogue, dans l'espace euclidien à 3 dimensions, la surface (mesure à 2 dimensions) de l'unité 2-sphère est donnée par

${\displaystyle S_{2}=4\pi .}$

et le volume enfermé est le volume (mesure tridimensionnelle) de l'unité 3-ball, donné par

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

Récurrences

La surface , ou proprement le volume n -dimensionnel, de la n -sphère à la frontière de la ( n + 1) -boule de rayon R est liée au volume de la boule par l'équation différentielle

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^ {n}},}$

ou, de manière équivalente, représentant l'unité n -ball comme une union de coquilles concentriques ( n − 1) -sphère ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.}$

Donc,

${\displaystyle V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.}$

On peut aussi représenter l'unité ( n + 2) -sphère comme l'union des produits d'un cercle (1-sphère) avec une n -sphère. Soit r = cos θ et r ² + R ² = 1 , de sorte que R = sin θ et dR = cos θ dO . Puis,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n }\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1 }\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}$

Puisque S ₁ = 2π V ₀ , l'équation

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

est valable pour tout n .

Ceci termine la dérivation des récurrences :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_ {n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Formulaires fermés

En combinant les récurrences, on voit que

${\displaystyle V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.}$

Il est donc simple de montrer par récurrence sur k que,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{ k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}} ={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$

où !! désigne la factorielle double , définie pour les nombres naturels impairs 2 k + 1 par (2 k + 1) !! = 1 × 3 × 5 × ... × (2 k − 1) × (2 k + 1) et de même pour les nombres pairs (2 k )!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2 k − 2) × (2 k ) .

En général, le volume, dans l' espace euclidien de dimension n , de l'unité n -ball, est donné par

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}= {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\gauche({\frac {n}{2}}\droite) !}}}$

où Γ est la fonction gamma , qui satisfait Γ ( 1/2) = √ π , Γ(1) = 1 , et Γ( x + 1) = x Γ( x ) , et donc Γ( x + 1) = x ! , et où l'on définit à l'inverse x ! = Γ( x + 1) pour tout  x .

En multipliant V _n par R ⁿ , en différenciant par rapport à R , puis en fixant R = 1 , nous obtenons la forme fermée

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right) }}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

pour le  volume de dimension ( n − 1) de la sphère S ^{n −1} .

Autres relations

Les récurrences peuvent être combinées pour donner une relation de récurrence « dans le sens inverse » pour la surface, comme illustré dans le diagramme :

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}}$

n désigne la dimension de l'espace euclidien ambiant, qui est aussi la dimension intrinsèque du solide dont le volume est listé ici, mais qui est 1 de plus que la dimension intrinsèque de la sphère dont la surface est listée ici. Les flèches rouges incurvées montrent la relation entre les formules pour différents n . Le coefficient de formule à la pointe de chaque flèche est égal au coefficient de formule à la queue de cette flèche multiplié par le facteur dans la pointe de flèche (où le n dans la pointe de flèche fait référence à lavaleur n vers laquelle pointe la pointe de flèche). Si le sens des flèches du bas était inversé, leurs pointes de flèche diraient de multiplier par2π/n − 2. En variante a dit, l'aire de surface S _{n 1} de la sphère en n + 2 dimensions est exactement 2 π R fois le volume V _n entourée par la sphère en n dimensions.

Le décalage d'indice n vers n − 2 donne alors les relations de récurrence :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac { 2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}}$

où S ₀ = 2 , V ₁ = 2 , S ₁ = 2 π et V ₂ = π .

La relation de récurrence pour V _n peut également être prouvée par intégration avec des coordonnées polaires bidimensionnelles :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt { 1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{ 0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n} {2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^ {2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\ frac {1}{n}}={\frac {2}pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}}$

Coordonnées sphériques

Nous pouvons définir un système de coordonnées dans un espace euclidien à n dimensions qui est analogue au système de coordonnées sphérique défini pour l'espace euclidien à 3 dimensions, dans lequel les coordonnées consistent en une coordonnée radiale r , et n − 1 coordonnées angulaires φ ₁ , φ ₂ , ... φ _{n -1} , où les angles & phiv ₁ , φ ₂ , ... φ _{n -2} plage sur [0, π] radians (ou plus [0180] degrés) et φ _{n -1} parcourt [ 0,2π) radians (ou plus de [0,360) degrés). Si x _i sont les coordonnées cartésiennes, alors on peut calculer x ₁ , ... x _{n à} partir de r , φ ₁ , ... φ _{n −1} avec :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\,\ ,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1 })\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end {aligné}}}$

Sauf dans les cas particuliers décrits ci-dessous, la transformation inverse est unique :

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{ 2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n }}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{ \sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}} ^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\[6pt]\ varphi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{ 2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}}^{2}+{x_ {n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_ {n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{cas}\arccos {\frac {x_{n-1}}{ \sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0,\\[6pt]2\pi -\arccos {\ frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0.\end{cases }}\end{aligner ré}}}$

où si x _k 0 pour certains k mais tous les x _{k +1} , ... x _n sont nuls alors φ _k = 0 lorsque x _k > 0 , et φ _k = π (180 degrés) lorsque x _k < 0 .

Il existe des cas particuliers où la transformée inverse n'est pas unique ; φ _k pour tout k sera ambigu lorsque tous les x _k , x _{k +1} , ... x _n sont nuls ; dans ce cas φ _k peut être choisi nul.

Éléments de volume et de surface sphériques

Pour exprimer l' élément de volume de l' espace euclidien à n dimensions en termes de coordonnées sphériques, observez d'abord que la matrice jacobienne de la transformation est :

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\sin(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\varphi _{ 1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin( \varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _ {n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2} )\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1} )&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n -2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.}$

Le déterminant de cette matrice peut être calculé par induction. Lorsque n = 2 , un calcul simple montre que le déterminant est r . Pour n plus grand , observez que J _n peut être construit à partir de J _{n − 1} comme suit. Sauf dans la colonne n , les lignes n − 1 et n de J _n sont les mêmes que la ligne n − 1 de J _{n − 1} , mais multipliées par un facteur supplémentaire de cos φ _{n − 1} dans la ligne n − 1 et un facteur supplémentaire de sin _{n − 1} dans la ligne n . Dans la colonne n , les lignes n − 1 et n de J _n sont les mêmes que la colonne n − 1 de la ligne n − 1 de J _{n − 1} , mais multipliées par des facteurs supplémentaires de sin _{n − 1} dans la ligne n − 1 et cos φ _{n − 1} dans la ligne n , respectivement. Le déterminant de J _n peut être calculé par développement de Laplace dans la dernière colonne. Par la description récursive de J _n , la sous-matrice formée en supprimant l'entrée en ( n − 1, n ) et sa ligne et sa colonne est presque égale à J _{n − 1} , sauf que sa dernière ligne est multipliée par sin _{n − 1} . De même, la sous-matrice formée en supprimant l'entrée en ( n , n ) et sa ligne et sa colonne est presque égale à J _{n − 1} , sauf que sa dernière ligne est multipliée par cos φ _{n − 1} . Par conséquent, le déterminant de J _n est

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\ varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad {} +(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})) (\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2 })|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=( r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

L'induction donne alors une expression de forme fermée pour l'élément de volume en coordonnées sphériques

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right )}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^ {n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\ varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

La formule du volume de la n- ball peut en être déduite par intégration.

De même, l'élément de surface de la ( n − 1) -sphère de rayon R , qui généralise l' élément de surface de la 2-sphère, est donné par

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _ {2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

Le choix naturel d'une base orthogonale sur les coordonnées angulaires est un produit de polynômes ultrasphériques ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{nj-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^ {\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {nj- 1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n +j}\pi \Gamma (s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {nj-1}{2}}\right)} }\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

pour j = 1, 2,... n − 2 , et le e ^{estφ _j} pour l'angle j = n − 1 en accord avec les harmoniques sphériques .

Coordonnées polysphériques

Le système de coordonnées sphériques standard résulte de l'écriture de ℝ ⁿ comme le produit ℝ × ℝ ^{n − 1} . Ces deux facteurs peuvent être liés à l'aide de coordonnées polaires. Pour chaque point x de ℝ ⁿ , les coordonnées cartésiennes standards

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(\mathbf { y} ,\mathbf {z} )}$

peut être transformé en un système mixte de coordonnées polaires-cartésiennes :

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\cos \theta ,(r\sin \theta )\mathbf {z} ).}$

Ceci indique que les points de ℝ ⁿ peuvent être exprimées en prenant le rayon à partir de l'origine et passant par z ∈ ℝ ^{n - 1} , la rotation vers le premier vecteur de base par θ , et se déplaçant d' une distance r le long du rayon. La répétition de cette décomposition conduit finalement au système de coordonnées sphérique standard.

Les systèmes de coordonnées polysphériques découlent d'une généralisation de cette construction. L'espace ℝ ⁿ est divisé comme le produit de deux espaces euclidien de dimension plus petite, mais ni l' espace est nécessaire pour être une ligne. Spécifiquement, supposons que p et q sont des entiers positifs tels que n = p + q . Alors ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q . En utilisant cette décomposition, un point x ∈ ℝ ⁿ peut être écrit comme

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q} )=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Cela peut être transformé en un système mixte de coordonnées polaires-cartésiennes en écrivant :

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Voici et sont les vecteurs unitaires associés à y et z . Cela exprime x en termes de , , r ≥ 0 , et un angle θ . On peut montrer que le domaine de θ est [0, 2π) si p = q = 1 , [0, π] si exactement l'un de p et q est 1, et [0, π/2] si ni p ni q sont 1. La transformation inverse est ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert ) \\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z } \rVert ).\end{aligned}}}$

Ces divisions peuvent être répétées tant que l'un des facteurs impliqués a une dimension deux ou plus. Un système de coordonnées polysphérique est le résultat de la répétition de ces divisions jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de coordonnées cartésiennes. Les fractionnements après le premier ne nécessitent pas de coordonnée radiale car les domaines de et sont des sphères, de sorte que les coordonnées d'un système de coordonnées polysphériques sont un rayon non négatif et n − 1 angles. Les systèmes de coordonnées polysphériques possibles correspondent à des arbres binaires à n feuilles. Chaque nœud non feuille de l'arbre correspond à un découpage et détermine une coordonnée angulaire. Par exemple, la racine de l'arbre représente ℝ ⁿ , et ses enfants immédiats représentent la première division en ℝ ^p et ℝ ^q . Les nœuds feuilles correspondent aux coordonnées cartésiennes pour S ^{n − 1} . Les formules de conversion des coordonnées polysphériques en coordonnées cartésiennes peuvent être déterminées en trouvant les chemins de la racine aux nœuds feuilles. Ces formules sont des produits avec un facteur pour chaque branche empruntée par le chemin. Pour un nœud dont la coordonnée angulaire correspondante est θ _i , prendre la branche gauche introduit un facteur de sin θ _i et prendre la branche droite introduit un facteur de cos θ _i . La transformation inverse, des coordonnées polysphériques aux coordonnées cartésiennes, est déterminée en regroupant les nœuds. Chaque paire de nœuds ayant un parent commun peut être convertie d'un système de coordonnées polaires-cartésiennes mixtes en un système de coordonnées cartésiennes en utilisant les formules ci-dessus pour un fractionnement. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$

Les coordonnées polysphériques ont également une interprétation en termes de groupe orthogonal spécial . Une division ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q détermine un sous-groupe

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\ mathbb {R} ).}$

C'est le sous-groupe qui laisse chacun des deux facteurs fixes. Le choix d'un ensemble de représentants de co-ensemble pour le quotient revient au même que le choix d'angles représentatifs pour cette étape de la décomposition des coordonnées polysphériques. ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

En coordonnées polysphériques, la mesure de volume sur ℝ ⁿ et la mesure de surface sur S ^{n − 1} sont des produits. Il est un facteur pour chaque angle, et la mesure du volume sur ℝ ⁿ a aussi un facteur pour la coordonnée radiale. La mesure de surface a la forme :

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

où les facteurs F _i sont déterminés par l'arbre. De même, la mesure du volume est

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\ thêta _{i}.}$

Supposons que nous ayons un nœud de l'arbre qui correspond à la décomposition ℝ ^{n ₁ + n ₂} = ℝ ^{n ₁} × ℝ ^{n ₂} et qui a la coordonnée angulaire θ . Le facteur correspondant F dépend des valeurs de n ₁ et n ₂ . Lorsque la mesure d'aire est normalisée de sorte que l'aire de la sphère soit 1, ces facteurs sont les suivants. Si n ₁ = n ₂ = 1 , alors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si n ₁ > 1 et n ₂ = 1 , et si B désigne la fonction bêta , alors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\ frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si n ₁ = 1 et n ₂ > 1 , alors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_ {2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Enfin, si n ₁ et n ₂ sont tous deux supérieurs à un, alors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1 }{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Projection stéréographique

Tout comme une sphère bidimensionnelle intégrée dans trois dimensions peut être mappée sur un plan à deux dimensions par une projection stéréographique , une n- sphère peut être mappée sur un hyperplan à n dimensions par la version à n dimensions de la projection stéréographique. Par exemple, le point [ x , y , z ] sur une sphère bidimensionnelle de rayon 1 correspond au point [X/1− z,oui/1− z] sur le plan xy . En d'autres termes,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

De même, la projection stéréographique d'une n -sphère S ^{n −1} de rayon 1 correspondra à l' hyperplan ( n − 1) -dimensionnel ℝ ^{n −1} perpendiculaire à l' axe x _n comme

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac { x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Générer des points aléatoires

Uniformément aléatoire sur la ( n − 1) -sphère

Un ensemble de points uniformément répartis sur la surface d'une unité 2-sphère générée à l'aide de l'algorithme de Marsaglia.

Pour générer des points aléatoires uniformément distribués sur l'unité ( n − 1) -sphère (c'est-à-dire la surface de l'unité n -ball), Marsaglia (1972) donne l'algorithme suivant.

Générer un vecteur de déviations normales à n dimensions (il suffit d'utiliser N(0, 1) , bien qu'en fait le choix de la variance soit arbitraire), x = ( x ₁ , x ₂ ,... x _n ) . Calculez maintenant le "rayon" de ce point :

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Le vecteur 1/rx est uniformément réparti sur la surface de l'unité n -ball.

Une alternative donnée par Marsaglia est de sélectionner uniformément au hasard un point x = ( x ₁ , x ₂ ,... x _n ) dans l'unité n -cube en échantillonnant chaque x _i indépendamment de la distribution uniforme sur (–1,1) , calculant r comme ci-dessus, et rejetant le point et ré-échantillonnant si r 1 (c'est-à-dire si le point n'est pas dans la n- boule), et lorsqu'un point dans la balle est obtenu en l'élargissant à la surface sphérique par le facteur1/r; puis encore1/rx est uniformément réparti sur la surface de l'unité n -ball. Cette méthode devient très inefficace pour les dimensions supérieures, car une fraction infime du cube unitaire est contenue dans la sphère. Dans dix dimensions, moins de 2% du cube est rempli par la sphère, de sorte qu'en général plus de 50 tentatives seront nécessaires. Dans soixante-dix dimensions, moinsd'un cube est rempli, ce qui signifie qu'un billion de quadrillions d'essais seront généralement nécessaires, bien plus qu'un ordinateur ne pourrait jamais effectuer. ${\style d'affichage 10^{-24}}$

Uniformément au hasard dans la n- ball

Avec un point choisi uniformément au hasard à partir de la surface de la sphère unité ( n − 1) (par exemple, en utilisant l'algorithme de Marsaglia), il suffit d'un rayon pour obtenir un point uniformément au hasard à l'intérieur de l'unité n -boule. Si u est un nombre généré uniformément au hasard à partir de l'intervalle [0, 1] et x est un point choisi uniformément au hasard dans l'unité ( n − 1) -sphère, alors u ^{1 ⁄ n} x est uniformément distribué dans l'unité n -Balle.

Alternativement, les points peuvent être échantillonnés uniformément à partir de l'unité n -ball par une réduction à partir de l'unité ( n + 1) -sphere. En particulier, si ( x ₁ , x ₂ ,..., x _{n +2} ) est un point sélectionné uniformément dans l'unité ( n + 1) -sphère, alors ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n ) est uniformément distribué dans l'unité n -ball (c'est-à-dire en écartant simplement deux coordonnées).

Si n est suffisamment grand, la majeure partie du volume de la n- boule sera contenue dans la région très proche de sa surface, donc un point sélectionné à partir de ce volume sera également probablement proche de la surface. C'est l'un des phénomènes conduisant à la soi-disant malédiction de la dimensionnalité qui survient dans certaines applications numériques et autres.

Sphères spécifiques

0-sphère

La paire de points {± R } avec la topologie discrète pour certains R > 0 . La seule sphère qui n'est pas connectée à un chemin . A une structure de groupe de Lie naturelle ; isomorphe à O(1). Parallélisable.

1-sphère

Communément appelé un cercle . A un groupe fondamental non trivial. Structure du groupe de Lie abélien U(1) ; le groupe du cercle . Topologiquement équivalent à la droite projective réelle .

2-sphère

Communément appelé simplement une sphère . Pour sa structure complexe, voir sphère de Riemann . Équivalent à la ligne projective complexe

3-sphère

Parallélisable, principale U (1) -bundle sur la structure du groupe, de Lie 2-sphère Sp (1) .

4-sphère

Équivalent à la raie projective quaternionique , H P ¹ . SO(5)/SO(4).

5-sphère

Principal U (1) -bundle sur C P ² . SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Il est indécidable si une variété donnée de dimension n est homéomorphe à S ⁿ pour n  5.

6-sphère

Possède une structure presque complexe provenant de l'ensemble des octonions unitaires purs . SO(7)/SO(6) = G ₂ /SU(3). La question de savoir s'il a une structure complexe est connue sous le nom de problème de Hopf, d' après Heinz Hopf .

7-sphère

Structure de quasigroupe topologique comme l'ensemble des octonions unitaires . Principal Sp(1)-bundle sur S ⁴ . Parallélisable. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/ G ₂ = Spin(6)/SU(3). La sphère 7 présente un intérêt particulier puisque c'est dans cette dimension que furent découvertes les premières sphères exotiques .

8-sphère

Équivalent à la raie projective octononique O P ¹ .

23-sphère

Un emballage de sphères très dense est possible dans un espace à 24 dimensions, ce qui est lié aux qualités uniques du réseau Leech .

Sphère octaédrique

La n- sphère octaédrique est définie de la même manière que la n- sphère mais en utilisant la norme 1

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

La 1-sphère octaédrique est un carré (sans son intérieur). La 2-sphère octaédrique est un octaèdre régulier ; d'où le nom. La n -sphère octaédrique est la jointure topologique de n  + 1 paires de points isolés. Intuitivement, la jointure topologique de deux paires est générée en traçant un segment entre chaque point d'une paire et chaque point de l'autre paire ; cela donne un carré. Pour joindre cela à une troisième paire, tracez un segment entre chaque point du carré et chaque point de la troisième paire ; cela donne un octaèdre.

Voir également

Remarques

Les références

• Flandre, Harley (1989). Formes différentielles avec applications aux sciences physiques . New York : Publications de Douvres . ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Expérimenter la géométrie : sur le plan et la sphère . Salle des apprentis . ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapitre 20 : 3-sphères et 3-espaces hyperboliques).CS1 maint: postscript ( lien )
• Semaines, Jeffrey R. (1985). La forme de l'espace : comment visualiser les surfaces et les variétés tridimensionnelles . Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapitre 14 : L'hypersphère).CS1 maint: postscript ( lien )
• Marsaglia, G. (1972). "Choisir un point de la surface d'une sphère". Annales de statistiques mathématiques . 43 (2) : 645-646. doi : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Huber, Greg (1982). « Dérivation de la fonction gamma des volumes n-sphères ». Amer. Math. Mensuel . 89 (5) : 301-302. doi : 10.2307/2321716 . JSTOR  2321716 . MR  1539933 .
• Barnéa, Nir (1999). « Fonctions hyperphériques avec symétrie permutationnelle arbitraire : construction inversée ». Phys. Rév . A . 59 (2) : 1135-1146. Bibcode : 1999PhRvA..59.1135B . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1135 .

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Hypersphère" . MathWorld .