Projection (algèbre linéaire) - Projection (linear algebra)

La transformation P est la projection orthogonale sur la droite m .

En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle , une projection est une transformation linéaire d' un espace vectoriel vers lui - même tel que . C'est-à-dire que chaque fois qu'il est appliqué deux fois à n'importe quelle valeur, il donne le même résultat que s'il était appliqué une fois ( idempotent ). Il laisse son image inchangée. Bien qu'abstraite , cette définition de « projection » formalise et généralise l'idée de projection graphique . On peut aussi considérer l'effet d'une projection sur un objet géométrique en examinant l'effet de la projection sur des points de l'objet. ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P^{2}=P}$${\style d'affichage P}$

Définitions

Une projection sur un espace vectoriel est un opérateur linéaire tel que . ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage P:V\à V}$${\style d'affichage P^{2}=P}$

Quand a un produit scalaire et est complet (c'est-à-dire quand est un espace de Hilbert ) le concept d' orthogonalité peut être utilisé. Une projection sur un espace de Hilbert est appelée projection orthogonale si elle satisfait pour tout . Une projection sur un espace de Hilbert qui n'est pas orthogonal s'appelle une projection oblique . ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

Matrice de projection

• Dans le cas de dimension finie, une matrice carrée est appelée matrice de projection si elle est égale à son carré, c'est-à-dire si .${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P^{2}=P}$
• Une matrice carrée est appelée une matrice de projection orthogonale si pour une matrice réelle, et respectivement pour une matrice complexe, où désigne la transposée de et désigne la transposée adjointe ou hermitienne de .${\style d'affichage P}$${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage P^{2}=P=P^{*}}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P^{*}}$${\style d'affichage P}$
• Une matrice de projection qui n'est pas une matrice de projection orthogonale est appelée matrice de projection oblique .

Les valeurs propres d'une matrice de projection doivent être 0 ou 1.

Exemples

Projection orthogonale

Par exemple, la fonction qui fait correspondre le point dans l'espace tridimensionnel au point est une projection orthogonale sur le plan xy . Cette fonction est représentée par la matrice${\style d'affichage (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\style d'affichage (x,y,0)}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

L'action de cette matrice sur un vecteur quelconque est

${\displaystyle P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}$

Pour voir que c'est en effet une projection, c'est-à-dire, , nous calculons ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P=P^{2}}$

${\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$.

Observer cela montre que la projection est une projection orthogonale. ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$

Projection oblique

Un exemple simple d'une projection non orthogonale (oblique) (pour la définition voir ci-dessous) est

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$

Par multiplication matricielle , on voit que

${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrice}0&0\\\alpha &1\end{bmatrice}}=P.}$

prouver que c'est bien une projection. ${\style d'affichage P}$

La projection est orthogonale si et seulement si car alors seulement . ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage \alpha =0}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$

Propriétés et classification

La transformation T est la projection selon k sur m . La plage de T est m et l'espace nul est k .

Idempotence

Par définition, une projection est idempotente (ie ). ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P^{2}=P}$

Complémentarité de la gamme et du noyau

Soit un espace vectoriel de dimension finie et une projection sur . Supposons que les sous - espaces et soient respectivement la plage et le noyau de . Ensuite , a les propriétés suivantes: ${\style d'affichage W}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage W}$ ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P}$

1. ${\style d'affichage P}$est l'opérateur d'identité sur${\style d'affichage I}$${\style d'affichage U}$

   ${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} }$.

2. Nous avons une somme directe . Chaque vecteur peut être décomposé de manière unique comme avec et , et où .${\displaystyle W=U\oplus V}$${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =P\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(IP\right)\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V}$

La plage et le noyau d'une projection sont complémentaires , tout comme et . L'opérateur est également une projection car la plage et le noyau de deviennent le noyau et la plage de et vice versa. Nous disons est une projection le long sur (kernel / plage) et est une projection le long sur . ${\style d'affichage P}$${\displaystyle Q=IP}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$

Spectre

Dans les espaces vectoriels de dimension infinie, le spectre d'une projection est contenue dans que ${\style d'affichage \{0,1\}}$

${\displaystyle (\lambda IP)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}$

Seul 0 ou 1 peut être une valeur propre d'une projection. Cela implique qu'une projection orthogonale est toujours une matrice semi-définie positive. En général, les espaces propres correspondants sont (respectivement) le noyau et l'étendue de la projection. La décomposition d'un espace vectoriel en sommes directes n'est pas unique. Par conséquent, étant donné un sous-espace , il peut y avoir de nombreuses projections dont la plage (ou le noyau) est . ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$

Si une projection n'est pas triviale, elle a un polynôme minimal , qui se factorise en racines distinctes, et est donc diagonalisable . ${\style d'affichage x^{2}-x=x(x-1)}$${\style d'affichage P}$

Produit de projections

Le produit de projections n'est en général pas une projection, même si elles sont orthogonales. Si deux projections commutent alors leur produit est une projection, mais l'inverse est faux : le produit de deux projections sans commutation peut être une projection .

Si deux projections orthogonales commutent alors leur produit est une projection orthogonale. Si le produit de deux projections orthogonales est une projection orthogonale, alors les deux projections orthogonales commutent (plus généralement : deux endomorphismes auto-adjoints commutent si et seulement si leur produit est auto-adjoint).

Projections orthogonales

Lorsque l'espace vectoriel a un produit scalaire et est complet (est un espace de Hilbert ) le concept d' orthogonalité peut être utilisé. Une projection orthogonale est une projection pour laquelle la plage et l'espace nul sont des sous-espaces orthogonaux . Ainsi, pour tout et dans , . Équivalent : ${\style d'affichage W}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\style d'affichage W}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf { y} \rangle =0}$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf { y} \rangle .}$

Une projection est orthogonale si et seulement si elle est auto-adjointe . En utilisant les propriétés auto-adjointes et idempotentes de , pour tout et dans nous avons , , et ${\style d'affichage P}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\style d'affichage W}$${\displaystyle P\mathbf {x} \in U}$${\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V}$

${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle P^{2}\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf { y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\left(IP\right)\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\left(PP^{2}\right) \mathbf {y} \rangle =0}$

où est le produit scalaire associé à . Par conséquent, et sont des projections orthogonales. L'autre sens, à savoir que si est orthogonal alors il est auto-adjoint, découle de ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\style d'affichage W}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle IP}$${\style d'affichage P}$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*} \mathbf {y} \rangle }$

pour chaque et dans ; ainsi . ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage W}$${\style d'affichage P=P^{*}}$

Preuve d'existence

Soit un espace métrique complet avec un produit scalaire , et soit un sous - espace linéaire fermé de (et donc aussi complet). ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage H}$ Pour chaque jeu suivant de non-négatif norme -values a une borne inférieure , et en raison de l'exhaustivité est un minimum . Nous définissons comme le point où ce minimum est obtenu. ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \{\|\mathbf {x} -\mathbf {u} \|\mid \mathbf {u} \in U\}}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\style d'affichage U}$ C'est évidemment dans . Il reste à montrer que satisfait et qu'il est linéaire. ${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\style d'affichage U}$${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\displaystyle \langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0}$ Définissons . Pour chaque valeur différente de zéro dans , les conditions suivantes sont valables : ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\style d'affichage U}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} -{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\ mathbf {v} \right\|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}-{\frac {{\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }^{ 2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}}$ En définissant, nous voyons qu'à moins qu'il ne s'évanouisse. Depuis a été choisi comme le minimum de l'ensemble susmentionné, il s'ensuit que effectivement s'évanouit. En particulier, (pour ) : . ${\displaystyle \mathbf {w} =P\mathbf {x} +{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2} }}\mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {w} \|<\|\mathbf {x} -P\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {x} }$${\displaystyle \langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0}$ La linéarité résulte de la disparition de pour tout : ${\displaystyle \langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {v} \in U}$ ${\displaystyle \langle \left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right)-P\left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right),\mathbf {v} \rangle = 0}$ ${\displaystyle \langle \left(\mathbf {x} -P\mathbf {x} \right)+\left(\mathbf {y} -P\mathbf {y} \right),\mathbf {v} \rangle =0}$ En faisant la différence entre les équations que nous avons ${\displaystyle \langle P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P\left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right),\mathbf {v} \rangle =0}$ Mais puisque nous pouvons choisir (comme c'est lui-même dans ) il s'ensuit que . De même, nous avons pour chaque scalaire . ${\displaystyle \mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle P\mathbf {x} +P\mathbf {y} =P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$${\displaystyle \lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )}$ ${\style d'affichage \lambda }$

Propriétés et cas particuliers

Une projection orthogonale est un opérateur borné . C'est parce que pour tout dans l'espace vectoriel que nous avons, par l' inégalité de Cauchy-Schwarz : ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\ mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|}$

Ainsi . ${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|}$

Pour les espaces vectoriels complexes ou réels de dimension finie, le produit scalaire standard peut être remplacé par . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Formules

Un cas simple se produit lorsque la projection orthogonale est sur une ligne. Si est un vecteur unitaire sur la ligne, alors la projection est donnée par le produit extérieur${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }.}$

(Si est à valeur complexe, la transposée dans l'équation ci-dessus est remplacée par une transposée hermitienne). Cet opérateur laisse u invariant, et il annihile tous les vecteurs orthogonaux à , prouvant qu'il s'agit bien de la projection orthogonale sur la droite contenant u . Une façon simple de voir cela est de considérer un vecteur arbitraire comme la somme d'un composant sur la ligne (c'est-à-dire le vecteur projeté que nous recherchons) et un autre perpendiculaire à celui-ci, . En appliquant la projection, on obtient ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }}$

${\displaystyle P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u } \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sign} (\mathbf {u} ^{\mathsf {T }}\mathbf {x} _{\parallel })\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallèle }}$

par les propriétés du produit scalaire des vecteurs parallèles et perpendiculaires.

Cette formule peut être généralisée aux projections orthogonales sur un sous-espace de dimension arbitraire. Soit une base orthonormée du sous - espace , et notons la matrice dont les colonnes sont , c'est à dire . Alors la projection est donnée par : ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage n\fois k}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle P_{A}=AA^{\mathrm {T} }}$

qui peut être réécrit comme

${\displaystyle P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.}$

La matrice est l' isométrie partielle qui s'annule sur le complément orthogonal de et est l'isométrie qui s'intègre dans l'espace vectoriel sous-jacent. La plage de est donc l' espace final de . Il est également clair que l'opérateur d'identité est activé . ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage P_{A}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage U}$

La condition d'orthonormalité peut également être supprimée. Si est une base (pas nécessairement orthonormée) et est la matrice avec ces vecteurs en colonnes, alors la projection est : ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle P_{A}=A\gauche(A^{\mathrm {T} }A\droite)^{-1}A^{\mathrm {T} }.}$

La matrice s'intègre toujours dans l'espace vectoriel sous-jacent mais n'est plus une isométrie en général. La matrice est un « facteur de normalisation » qui récupère la norme. Par exemple, l'opérateur de rang 1 n'est pas une projection si Après division par nous obtenons la projection sur le sous-espace couvert par . ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} =\gauche\|\mathbf {u} \right\|^{2},}$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}} }$${\displaystyle u}$

Dans le cas général, nous pouvons avoir une matrice définie positive arbitraire définissant un produit scalaire , et la projection est donnée par . Puis ${\style d'affichage D}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx}$${\style d'affichage P_{A}}$${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \mathrm {range} (A)}\left\|xy\right\|_{D}^{2}}$

${\displaystyle P_{A}=A(A^{\mathrm {T} }DA)^{-1}A^{\mathrm {T} }D.}$

Lorsque l'espace de portée de la projection est généré par une trame (c'est-à-dire que le nombre de générateurs est supérieur à sa dimension), la formule de la projection prend la forme : . Ici représente le pseudo-inverse de Moore-Penrose . Ce n'est qu'une des nombreuses façons de construire l'opérateur de projection. ${\style d'affichage P_{A}=AA^{+}}$${\style d'affichage A^{+}}$

Si est une matrice non singulière et (c'est-à-dire est la matrice d' espace nul de ), ce qui suit est vrai : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A^{\mathrm {T} }B=0}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^ {\mathrm {T} }\\B^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathrm {T} }\\B^{\ mathrm {T} }\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathrm {T} }\\B^ {\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathrm {T} }\ \B^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathrm {T} }A&O\ \O&B^{\mathrm {T} }B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathrm {T} }\\B^{\mathrm {T} }\end {bmatrice}}\\[4pt]&=A(A^{\mathrm {T} }A)^{-1}A^{\mathrm {T} }+B(B^{\mathrm {T} } B)^{-1}B^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}$

Si la condition orthogonale est améliorée avec un non-singulier, les conditions suivantes sont valables : ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }WB=A^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }B=0}$${\style d'affichage W}$

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }\\\gauche(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}W.}$

Toutes ces formules sont également valables pour les espaces de produits internes complexes, à condition que la transposition conjuguée soit utilisée à la place de la transposition. De plus amples détails sur les sommes des projecteurs peuvent être trouvés dans Banerjee et Roy (2014). Voir aussi Banerjee (2004) pour l'application des sommes de projecteurs en trigonométrie sphérique de base.

Projections obliques

Le terme projections obliques est parfois utilisé pour désigner des projections non orthogonales. Ces projections sont également utilisées pour représenter des figures spatiales dans des dessins en deux dimensions (voir projection oblique ), mais pas aussi fréquemment que les projections orthogonales. Alors que le calcul de la valeur ajustée d'une régression des moindres carrés ordinaire nécessite une projection orthogonale, le calcul de la valeur ajustée d'une régression à variables instrumentales nécessite une projection oblique.

Les projections sont définies par leur espace nul et les vecteurs de base utilisés pour caractériser leur portée (qui est le complément de l'espace nul). Lorsque ces vecteurs de base sont orthogonaux à l'espace nul, alors la projection est une projection orthogonale. Lorsque ces vecteurs de base ne sont pas orthogonaux à l'espace nul, la projection est une projection oblique. Soit les vecteurs forment une base pour la portée de la projection, et assemble ces vecteurs dans la matrice . La plage et l'espace nul sont des espaces complémentaires, donc l'espace nul a la dimension . Il s'ensuit que le complément orthogonal de l'espace nul est de dimension . Formons une base pour le complément orthogonal de l'espace nul de la projection, et assemblons ces vecteurs dans la matrice . La projection est alors définie par ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\style d'affichage n\fois k}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle nk}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle P=A\gauche(B^{\mathsf {T}}A\droite)^{-1}B^{\mathsf {T}}.}$

Cette expression généralise la formule des projections orthogonales donnée ci-dessus.

Trouver la projection avec un produit intérieur

Soit un espace vectoriel (dans ce cas un plan) englobé par des vecteurs orthogonaux . Soit un vecteur. On peut définir une projection de sur comme ${\style d'affichage V}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}}$${\style d'affichage y}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\style d'affichage V}$

${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\ cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}}$

où les indices répétés sont additionnés ( notation de somme d'Einstein ). Le vecteur peut être écrit comme une somme orthogonale telle que . est parfois noté . Il existe un théorème en algèbre linéaire qui indique qu'il s'agit de la distance la plus courte de à et qu'il est couramment utilisé dans des domaines tels que l'apprentissage automatique. ${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\style d'affichage V}$

y est projeté sur l'espace vectoriel V.

Formes canoniques

Toute projection sur un espace vectoriel de dimension sur un champ est une matrice diagonalisable , puisque son polynôme minimal divise , qui se scinde en facteurs linéaires distincts. Il existe donc une base sous la forme ${\style d'affichage P=P^{2}}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage x^{2}-x}$${\style d'affichage P}$

${\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{dr}}$

où est le rang de . Voici la matrice identité de taille , et est la matrice zéro de taille . Si l'espace vectoriel est complexe et muni d'un produit scalaire , alors il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de P est ${\style d'affichage r}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage I_{r}}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle 0_{dr}}$${\displaystyle dr}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\ end{bmatrice}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.}$

où . Les nombres entiers et les nombres réels sont déterminés de manière unique. Notez que . Le facteur correspond au sous-espace invariant maximal sur lequel agit une projection orthogonale (de sorte que P lui-même est orthogonal si et seulement si ) et les blocs correspondent aux composantes obliques . ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0}$${\style d'affichage k,s,m}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\style d'affichage 2k+s+m=d}$${\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage k=0}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

Projections sur des espaces vectoriels normés

Lorsque l'espace vectoriel sous-jacent est un (pas nécessairement de dimension finie) espace vectoriel normé , des questions analytiques, hors de propos dans le cas de dimension finie, doivent être pris en considération. Supposons maintenant qu'il s'agisse d' un espace Banach . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Bon nombre des résultats algébriques discutés ci-dessus survivent au passage à ce contexte. Une décomposition en somme directe donnée en sous-espaces complémentaires spécifie toujours une projection, et vice versa. Si est la somme directe , alors l' opérateur défini par est toujours une projection avec plage et noyau . C'est clair aussi que . Inversement, si est projection sur , c'est -à- dire , alors on vérifie facilement que . En d'autres termes, c'est aussi une projection. La relation implique et est la somme directe . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle X=U\oplus V}$${\style d'affichage P(u+v)=u}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage P^{2}=P}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage P^{2}=P}$${\style d'affichage (1-P)^{2}=(1-P)}$${\style d'affichage 1-P}$${\style d'affichage P^{2}=P}$${\style d'affichage 1=P+(1-P)}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)}$

Cependant, contrairement au cas de dimension finie, les projections n'ont pas besoin d'être continues en général. Si un sous-espace de n'est pas fermé dans la topologie de norme, alors la projection sur n'est pas continue. En d'autres termes, la plage d'une projection continue doit être un sous-espace fermé. De plus, le noyau d'une projection continue (en fait, un opérateur linéaire continu en général) est fermé. Ainsi une projection continue donne une décomposition de en deux sous-espaces fermés complémentaires : . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)}$

L'inverse est également vrai, avec une hypothèse supplémentaire. Supposons que est un sous-espace fermé de . S'il existe un sous - espace fermé tel que X = U ⊕ V , puis la projection avec la gamme et le noyau est continue. Cela découle du théorème du graphe fermé . Supposons x _n → x et Px _n → y . Il faut le montrer . Puisque est fermé et { Px _n } U , y est compris , c'est - à - dire Py = y . Aussi, x _n − Px _n = ( I − P ) x _n → x − y . Puisque est fermé et {( I − P ) x _n } V , nous avons , c'est -à- dire , ce qui prouve l'affirmation. ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage Px=y}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage xy\dans V}$${\style d'affichage P(xy)=Px-Py=Px-y=0}$

L'argument ci-dessus utilise l'hypothèse que les deux et sont fermés. En général, étant donné un sous - espace fermé , il n'est pas nécessaire qu'il existe un sous - espace fermé complémentaire , bien que pour les espaces de Hilbert cela puisse toujours être fait en prenant le complément orthogonal . Pour les espaces de Banach, un sous-espace à une dimension a toujours un sous-espace complémentaire fermé. Ceci est une conséquence immédiate du théorème de Hahn-Banach . Soit l'étendue linéaire de . D'après Hahn-Banach, il existe une fonctionnelle linéaire bornée telle que φ ( u ) = 1 . L'opérateur satisfait , c'est-à-dire qu'il s'agit d'une projection. La limite de implique la continuité de et est donc un sous-espace complémentaire fermé de . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi }$${\style d'affichage P(x)=\varphi (x)u}$${\style d'affichage P^{2}=P}$${\displaystyle \varphi }$${\style d'affichage P}$${\displaystyle \ker(P)=\operatorname {rg} (IP)}$${\style d'affichage U}$

Applications et autres considérations

Les projections (orthogonales et autres) jouent un rôle majeur dans les algorithmes pour certains problèmes d'algèbre linéaire :

• Décomposition QR (voir Transformation de Householder et Décomposition de Gram–Schmidt ) ;
• Décomposition en valeur singulière
• Réduction à la forme Hessenberg (la première étape de nombreux algorithmes aux valeurs propres )
• Régression linéaire
• Les éléments projectifs des algèbres matricielles sont utilisés dans la construction de certains K-groupes dans la K-théorie des opérateurs

Comme indiqué ci-dessus, les projections sont un cas particulier des idempotents. Analytiquement, les projections orthogonales sont des généralisations non commutatives de fonctions caractéristiques . Les idempotents sont utilisés pour classer, par exemple, les algèbres semi-simples , tandis que la théorie de la mesure commence par considérer les fonctions caractéristiques des ensembles mesurables. Ainsi, comme on peut l'imaginer, les projections sont très souvent rencontrées dans le cadre d' algèbres d'opérateurs . En particulier, une algèbre de von Neumann est générée par son réseau complet de projections.

Généralisations

Plus généralement, étant donné une application entre espaces vectoriels normés on peut de manière analogue demander que cette application soit une isométrie sur le complément orthogonal du noyau : soit une isométrie (comparer Isométrie partielle ) ; en particulier, il doit être sur. Le cas d'une projection orthogonale est lorsque W est un sous-espace de V. En géométrie riemannienne , cela est utilisé dans la définition d'une submersion riemannienne . ${\displaystyle T\colon V\à W,}$${\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W}$

Voir également

• Matrice de centrage , qui est un exemple de matrice de projection.
• Orthogonalisation
• Sous-espace invariant
• Propriétés de la trace
• Algorithme de projection de Dykstra pour calculer la projection sur une intersection d'ensembles

Remarques

Les références

• Banerjee, Sudipto ; Roy, Anindya (2014), Algèbre linéaire et analyse matricielle pour la statistique , Textes en science statistique (1ère éd.), Chapman et Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Opérateurs linéaires, Partie I : Théorie générale . Intersciences.
• Meyer, Carl D. (2000). Analyse matricielle et algèbre linéaire appliquée . Société de Mathématiques Industrielles et Appliquées. ISBN 978-0-89871-454-8.

Liens externes

• Conférence d'algèbre linéaire du MIT sur les matrices de projection sur YouTube , du MIT OpenCourseWare
• Algèbre linéaire 15d : La transformation de la projection sur YouTube , par Pavel Grinfeld .
• Tutoriel sur les projections géométriques planaires – un tutoriel simple à suivre expliquant les différents types de projections géométriques planaires.