Géométrie inversive - Inversive geometry

En géométrie , la géométrie inversive est l'étude de l' inversion , une transformation du plan euclidien qui mappe des cercles ou des lignes à d'autres cercles ou lignes et qui préserve les angles entre les courbes qui se croisent. De nombreux problèmes difficiles en géométrie deviennent beaucoup plus faciles à traiter lorsqu'une inversion est appliquée.

Le concept d'inversion peut être généralisé aux espaces de dimension supérieure .

Inversion dans un cercle

Inverse d'un point

P ' est l'inverse de P par rapport au cercle.

Inverser un nombre en arithmétique signifie généralement prendre sa réciproque . Une idée étroitement liée en géométrie est celle d'"inverser" un point. Dans le plan , l' inverse d'un point P par rapport à un cercle de référence (Ø) de centre O et de rayon r est un point P ' , situé sur le rayon de O à P tel que

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

C'est ce qu'on appelle l' inversion de cercle ou l' inversion de plan . L'inversion prenant n'importe quel point P (autre que O ) à son image P ' ramène également P ' à P , donc le résultat d'appliquer deux fois la même inversion est la transformation d'identité sur tous les points du plan autres que O ( self- renversement ). Pour faire de l'inversion une involution il faut introduire un point à l'infini , un seul point placé sur toutes les droites, et prolonger l'inversion, par définition, pour échanger le centre O et ce point à l'infini.

Il résulte de la définition que l'inversion de tout point à l'intérieur du cercle de référence doit se trouver à l'extérieur de celui-ci, et vice versa, avec le centre et le point à l'infini changeant de position, tandis que tout point du cercle n'est pas affecté (est invariant par inversion). En résumé, plus un point est proche du centre, plus sa transformation est éloignée, et vice versa.

Construction compas et règle

Point à l'extérieur du cercle

Pour construire l'inverse P ' d'un point P extérieur à un cercle Ø : Soit r le rayon de Ø . Les triangles rectangles OPN et ONP ' sont similaires. OP est à r comme r est à OP ' .

Pour construire l'inverse P ' d'un point P extérieur à un cercle Ø :

• Tracez le segment de O (centre du cercle Ø ) à P .
• Soit M le milieu de OP .
• Tracez le cercle c de centre M passant par P .
• Soient N et N ' les points d' intersection de Ø et c .
• Dessinez le segment NN ' .
• P ' est l'endroit où OP et NN ' se croisent.

Point à l'intérieur du cercle

Pour construire l'inverse P d'un point P ' à l' intérieur d'un cercle Ø :

• Tracez le rayon r de O (centre du cercle Ø ) à P ' .
• Tracez la ligne s passant par P ' perpendiculairement à r .
• Soit N l'un des points où Ø et s se coupent.
• Dessinez le segment ON .
• Tracez la ligne t passant par N perpendiculairement à ON .
• P est l'endroit où le rayon r et la ligne t se coupent.

La construction de Dutta

Il existe une construction du point inverse de A par rapport à un cercle P qui est indépendante que A soit à l'intérieur ou à l'extérieur de P .

Considérons un cercle P de centre O et un point A qui peut se trouver à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle P .

• Prenez le point d'intersection C du rayon OA avec le cercle P .
• Relier le point C à un point arbitraire B sur le cercle P (différent de C )
• Soit h le reflet du rayon BA dans la droite BC . Alors h coupe le rayon OC en un point A ' . A ' est le point inverse de A par rapport au cercle P .

Propriétés

• 

  L'inverse, par rapport au cercle rouge, d'un cercle passant par O (bleu) est une droite ne passant pas par O (vert), et vice versa.

• 

  L'inverse, par rapport au cercle rouge, d'un cercle ne passant pas par O (bleu) est un cercle ne passant pas par O (vert), et vice versa.

• 

  L'inversion par rapport à un cercle ne mappe pas le centre du cercle au centre de son image

L'inversion d'un ensemble de points du plan par rapport à un cercle est l'ensemble des inverses de ces points. Les propriétés suivantes rendent l'inversion de cercle utile.

• Un cercle qui passe par le centre O du cercle de référence s'inverse en une droite ne passant pas par O , mais parallèle à la tangente au cercle d'origine en O , et vice versa ; alors qu'une ligne passant par O est inversée en elle-même (mais pas invariante ponctuellement).
• Un cercle ne passant pas par O s'inverse en un cercle ne passant pas par O . Si le cercle rencontre le cercle de référence, ces points d'intersection invariants sont également sur le cercle inverse. Un cercle (ou une ligne) est inchangé par inversion si et seulement s'il est orthogonal au cercle de référence aux points d'intersection.

Les propriétés supplémentaires comprennent :

• Si un cercle q passe par deux points distincts A et A' qui sont inverses par rapport à un cercle k , alors les cercles k et q sont orthogonaux.
• Si les cercles k et q sont orthogonaux, alors une droite passant par le centre O de k et coupant q , le fait en des points inverses par rapport à k .
• Étant donné un triangle OAB dans lequel O est le centre d'un cercle k , et les points A' et B' inverses de A et B par rapport à k , alors

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ et }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Les points d'intersection de deux cercles p et q orthogonaux à un cercle k , sont inverses par rapport à k .
• Si M et M' sont des points inverses par rapport à un cercle k sur deux courbes m et m', également inverses par rapport à k , alors les tangentes à m et m' aux points M et M' sont soit perpendiculaires à la droite ligne MM' ou former avec cette ligne un triangle isocèle de base MM'.
• L'inversion laisse la mesure des angles inchangée, mais inverse l'orientation des angles orientés.

Exemples en deux dimensions

Exemples d'inversion des cercles A à J par rapport au cercle rouge en O. Les cercles A à F, qui passent par O, correspondent à des droites. Les cercles G à J, qui ne correspondent pas à d'autres cercles. Le cercle de référence et la ligne L se correspondent. Les cercles coupent leurs inverses, le cas échéant, sur le cercle de référence. Dans le fichier SVG, cliquez ou survolez un cercle pour le mettre en surbrillance.

• L'inversion d'une ligne est un cercle contenant le centre d'inversion ; ou c'est la ligne elle-même si elle contient le centre
• L'inversion d'un cercle est un autre cercle ; ou c'est une ligne si le cercle d'origine contient le centre
• L'inversion d'une parabole est une cardioïde
• L'inversion de l'hyperbole est une lemniscate de Bernoulli

Application

Pour un cercle ne passant pas par le centre d'inversion, le centre du cercle en cours d'inversion et le centre de son image en inversion sont colinéaires avec le centre du cercle de référence. Ce fait peut être utilisé pour prouver que la ligne d'Euler du triangle de contact d'un triangle coïncide avec sa ligne OI. La preuve va à peu près comme ci-dessous:

Inverser par rapport au cercle inscrit du triangle ABC . Le triangle médian du triangle de contact est inversé en triangle ABC , ce qui signifie que le centre circonscrit du triangle médian, c'est-à-dire que le centre à neuf points du triangle de contact, le centre et le centre de circonférence du triangle ABC sont colinéaires .

Deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles concentriques . Alors la distance inversive (généralement notée δ) est définie comme le logarithme népérien du rapport des rayons des deux cercles concentriques.

De plus, deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles congruents , en utilisant un cercle d'inversion centré en un point sur le cercle d'antisimilitude .

La liaison Peaucellier-Lipkin est une implémentation mécanique de l'inversion dans un cercle. Il fournit une solution exacte au problème important de la conversion entre le mouvement linéaire et circulaire.

Pôle et polaire

La ligne polaire q à un point Q par rapport à un cercle de rayon r centré sur le point O . Le point P est le point d'inversion de Q ; la polaire est la droite passant par P qui est perpendiculaire à la droite contenant O , P et Q .

Si le point R est l'inverse du point P alors la droite perpendiculaire à la droite PR passant par l'un des points est la polaire de l'autre point (le pôle ).

Les pôles et les polaires ont plusieurs propriétés utiles :

• Si un point P se trouve sur une ligne l , alors le pôle L de la ligne l se trouve sur la polaire p du point P .
• Si un point P se déplace le long d'une droite l , sa polaire p tourne autour du pôle L de la droite l .
• Si deux lignes tangentes peuvent être tracées d'un pôle au cercle, alors sa polaire passe par les deux points tangents.
• Si un point se trouve sur le cercle, sa polaire est la tangente à ce point.
• Si un point P se trouve sur sa propre ligne polaire, alors P est sur le cercle.
• Chaque ligne a exactement un pôle.

En trois dimensions

Inversion d'une sphère à la sphère rouge

Inversion d'un sphéroïde (au niveau de la sphère rouge)

Inversion d'un hyperboloïde d'une feuille

L'inversion de cercle est généralisable à l' inversion de sphère en trois dimensions. L'inversion d'un point P en 3D par rapport à une sphère de référence centré en un point O de rayon R est un point P « de telle sorte que , et les points P et P » sont sur le même rayon à partir de O . Comme avec la version 2D, une sphère s'inverse en une sphère, sauf que si une sphère passe par le centre O de la sphère de référence, elle s'inverse en un plan. Tout plan ne passant pas par O , s'inverse en une sphère touchant à O . Un cercle, c'est-à-dire l'intersection d'une sphère avec un plan sécant, s'inverse en cercle, sauf que si le cercle passe par O, il s'inverse en ligne. Cela se réduit au cas 2D lorsque le plan sécant passe par O , mais il s'agit d'un véritable phénomène 3D si le plan sécant ne passe pas par O . ${\displaystyle OP\times OP^{\prime }=R^{2}}$

Exemples en trois dimensions

Sphère

La surface la plus simple (en dehors d'un plan) est la sphère. La première image montre une inversion non triviale (le centre de la sphère n'est pas le centre d'inversion) d'une sphère avec deux crayons de cercles orthogonaux qui se coupent.

Cylindre, cône, tore

L'inversion d'un cylindre, d'un cône ou d'un tore donne un cyclide de Dupin .

Sphéroïde

Un sphéroïde est une surface de révolution et contient un crayon de cercles qui est mappé sur un crayon de cercles (voir image). L'image inverse d'un sphéroïde est une surface de degré 4.

Hyperboloïde d'une feuille

Un hyperboloïde d'une feuille, qui est une surface de révolution, contient un crayon de cercles qui est mappé sur un crayon de cercles. Un hyperboloïde d'une feuille contient deux crayons de lignes supplémentaires, qui sont mappés sur des crayons de cercles. L'image montre une telle ligne (bleue) et son inversion.

La projection stéréographique comme l'inversion d'une sphère

Projection stéréographique comme inversion d'une sphère

Une projection stéréographique projette généralement une sphère à partir d'un point (pôle nord) de la sphère sur le plan tangent au point opposé (pôle sud). Cette cartographie peut être réalisée par une inversion de la sphère sur son plan tangent. Si la sphère (à projeter) a l'équation (écrite alternativement ; centre , rayon , vert sur l'image), alors elle sera mappée par l'inversion de la sphère unité (rouge) sur le plan tangent au point . Les lignes passant par le centre d'inversion (point ) sont mappées sur elles-mêmes. Ce sont les lignes de projection de la projection stéréographique. ${\style d'affichage N}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$${\style d'affichage (0,0,-0,5)}$${\style d'affichage 0.5}$${\style d'affichage S=(0,0,-1)}$${\style d'affichage N}$

Coordonnées à 6 sphères

Les coordonnées à 6 sphères sont un système de coordonnées pour l'espace tridimensionnel obtenu en inversant les coordonnées cartésiennes .

Axiomatique et généralisation

L'un des premiers à considérer les fondements de la géométrie inversive fut Mario Pieri en 1911 et 1912. Edward Kasner écrivit sa thèse sur la « Théorie invariante du groupe d'inversion ».

Plus récemment, la structure mathématique de la géométrie inversive a été interprétée comme une structure d'incidence où les cercles généralisés sont appelés « blocs » : en géométrie d'incidence , tout plan affine avec un seul point à l'infini forme un plan de Möbius , également appelé plan inversif . Le point à l'infini est ajouté à toutes les lignes. Ces plans de Möbius peuvent être décrits axiomatiquement et existent en versions finies et infinies.

Un modèle du plan de Möbius issu du plan euclidien est la sphère de Riemann .

Invariant

Le rapport croisé entre 4 points est invariant sous une inversion. En particulier si O est le centre de l'inversion et et sont des distances aux extrémités d'une ligne L, alors la longueur de la ligne deviendra sous une inversion de centre O. L'invariant est : ${\style d'affichage x,y,z,w}$${\style d'affichage r_{1}}$${\style d'affichage r_{2}}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage d/(r_{1}r_{2})}$

${\displaystyle I={\frac {|xy||wz|}{|xw||yz|}}}$

Relation avec le programme Erlangen

Selon Coxeter, la transformation par inversion en cercle a été inventée par LI Magnus en 1831. Depuis lors, cette cartographie est devenue une voie vers les mathématiques supérieures. Grâce à certaines étapes d'application de la carte d'inversion de cercle, un étudiant de la géométrie de transformation apprécie bientôt l'importance de Felix Klein de programme d' Erlangen , une excroissance de certains modèles de géométrie hyperbolique

Dilatation

La combinaison de deux inversions dans des cercles concentriques se traduit par une similitude , une transformation homothétique , ou une dilatation caractérisée par le rapport des rayons des cercles.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2} }}=\gauche({\frac {T}{R}}\droite)^{2}x.}$

Réciprocité

Quand un point dans le plan est interprété comme un nombre complexe avec un conjugué complexe , puis la réciproque de z est ${\style d'affichage z=x+iy,}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

Par conséquent, la forme algébrique de l'inversion dans un cercle unité est donnée par où : ${\displaystyle z\mapsto w}$

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

La réciprocité est la clé de la théorie de la transformation en tant que générateur du groupe de Möbius . Les autres générateurs sont la translation et la rotation, toutes deux familières à travers des manipulations physiques dans l'espace 3 ambiant. L'introduction de la réciprocité (dépendante de l'inversion du cercle) est ce qui produit la nature particulière de la géométrie de Möbius, qui est parfois identifiée à la géométrie inversive (du plan euclidien). Cependant, la géométrie inversive est l'étude la plus large puisqu'elle inclut l'inversion brute dans un cercle (pas encore fait, avec la conjugaison, en réciprocité). La géométrie inversive inclut également la cartographie de conjugaison . Ni la conjugaison ni l'inversion dans un cercle ne font partie du groupe de Möbius car elles ne sont pas conformes (voir ci-dessous). Les éléments du groupe de Möbius sont des fonctions analytiques de l'ensemble du plan et sont donc nécessairement conformes .

Transformer des cercles en cercles

Considérons, dans le plan complexe, le cercle de rayon autour du point${\style d'affichage r}$${\style d'affichage a}$

${\displaystyle (za)(za)^{*}=r^{2}}$

où sans perte de généralité, en utilisant la définition de l'inversion ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

il est simple de montrer qu'obéit à l'équation ${\style d'affichage w}$

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2} }{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2} }}}$

et donc qui décrit le cercle de centre et de rayon${\style d'affichage w}$${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Quand le cercle se transforme en ligne parallèle à l'axe imaginaire${\displaystyle a\to r,}$${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Pour et le résultat pour est ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$${\style d'affichage w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}ar^{2})}}+{\ frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{ 2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right )\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}ar^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{* }-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

montrant que le décrit le cercle de centre et de rayon . ${\style d'affichage w}$${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}ar^{2}\right|}}}$

Quand l'équation pour devient ${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$${\style d'affichage w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\} \operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow { }&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{ w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Géométrie supérieure

Comme mentionné ci-dessus, zéro, l'origine, nécessite une considération particulière dans la cartographie d'inversion de cercle. L'approche est de joindre un point à l'infini désigné ou 1/0 . Dans l'approche des nombres complexes, où la réciprocité est l'opération apparente, cette procédure conduit à la ligne projective complexe , souvent appelée la sphère de Riemann . Ce sont des sous-espaces et des sous-groupes de cet espace et un groupe de mappages qui ont été appliqués pour produire les premiers modèles de géométrie hyperbolique par Beltrami , Cayley et Klein . Ainsi la géométrie inversive inclut les idées lancées par Lobatchevsky et Bolyai dans leur géométrie plane. De plus, Felix Klein était tellement dépassé par cette facilité des mappages à identifier les phénomènes géométriques qu'il livra un manifeste, le programme Erlangen , en 1872. Depuis lors, de nombreux mathématiciens réservent le terme de géométrie pour un espace ainsi qu'un groupe de mappages de cet espace. Les propriétés significatives des figures dans la géométrie sont celles qui sont invariantes dans ce groupe.

Par exemple, Smogorzhevsky développe plusieurs théorèmes de géométrie inversive avant de commencer la géométrie lobachevskienne.

Dans des dimensions supérieures

Dans l' espace à n dimensions où il y a une sphère de rayon r , l' inversion dans la sphère est donnée par

${\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}}$

La transformation par inversion dans les hyperplans ou hypersphères dans E ⁿ peut être utilisée pour générer des dilatations, des translations ou des rotations. En effet, deux hypersphères concentriques, utilisées pour produire des inversions successives, entraînent une dilatation ou une contraction au centre des hypersphères. Un tel mappage est appelé similitude .

Lorsque deux hyperplans parallèles sont utilisés pour produire des réflexions successives, le résultat est une translation . Lorsque deux hyperplans se coupent dans un ( n –2) -plat , des réflexions successives produisent une rotation où chaque point du ( n –2)-plat est un point fixe de chaque réflexion et donc de la composition.

Ce sont tous des mappages conformes , et en fait, lorsque l'espace a trois dimensions ou plus, les mappages générés par inversion sont les seuls mappages conformes. Le théorème de Liouville est un théorème classique de géométrie conforme .

L'ajout d'un point à l'infini à l'espace supprime la distinction entre hyperplan et hypersphère ; la géométrie inversive de dimension supérieure est alors fréquemment étudiée dans le contexte présumé d'une n- sphère comme espace de base. Les transformations de la géométrie inversive sont souvent appelées transformations de Möbius . La géométrie inversive a été appliquée à l'étude des colorations, ou partitionnements, d'une n- sphère.

Propriété de mappage anticonformiste

La carte d'inversion de cercle est anticonforme, ce qui signifie qu'en chaque point elle conserve les angles et inverse l'orientation (une carte est dite conforme si elle conserve les angles orientés ). Algébriquement, une application est anticonforme si en tout point le Jacobien est un scalaire fois une matrice orthogonale à déterminant négatif : en deux dimensions le Jacobien doit être un scalaire fois une réflexion en tout point. Cela signifie que si J est le Jacobien, alors et Calcul du Jacobien dans le cas z _i = x _i /|| x || ² , où || x || ² = x ₁ ² + ... + x _n ² donne JJ ^T = kI , avec k = 1/|| x || ⁴ , et en plus det( J ) est négatif; donc la carte inversive est anticonforme. ${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$

Dans le plan complexe, la carte d'inversion de cercle la plus évidente (c'est-à-dire en utilisant le cercle unité centré à l'origine) est le conjugué complexe de la carte inverse complexe prenant z à 1/ z . L'application inverse analytique complexe est conforme et son conjugué, l'inversion de cercle, est anticonforme. Dans ce cas, une homographie est conforme alors qu'une anti-homographie est anticonforme.

Géométrie inversive et géométrie hyperbolique

La ( n  − 1)-sphère d'équation

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

aura un rayon positif si a ₁ ² + ... + a _n ² est supérieur à c , et à l' inversion donne la sphère

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

Par conséquent, il sera invariant par inversion si et seulement si c = 1. Mais c'est la condition d'être orthogonal à la sphère unité. On est donc conduit à considérer les ( n  − 1)-sphères d'équation

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

qui sont invariants par inversion, orthogonaux à la sphère unité, et ont des centres en dehors de la sphère. Ceux-ci, avec les hyperplans subspatiaux séparant les hémisphères, sont les hypersurfaces du modèle de disque de Poincaré de la géométrie hyperbolique.

Puisque l'inversion dans la sphère unité laisse les sphères orthogonales à elle invariantes, l'inversion mappe les points à l'intérieur de la sphère unité vers l'extérieur et vice versa. Ceci est donc vrai en général des sphères orthogonales, et en particulier l'inversion dans l'une des sphères orthogonales à la sphère unité fait correspondre la sphère unité à elle-même. Il mappe également l'intérieur de la sphère unité à lui-même, avec des points à l'extérieur de la sphère orthogonale se mappant à l'intérieur, et vice versa ; ceci définit les réflexions du modèle du disque de Poincaré si l'on inclut également avec elles les réflexions à travers les diamètres séparant les hémisphères de la sphère unité. Ces réflexions génèrent le groupe d'isométries du modèle, ce qui nous dit que les isométries sont conformes. Par conséquent, l'angle entre deux courbes dans le modèle est le même que l'angle entre deux courbes dans l'espace hyperbolique.

Voir également

• Cercle d'antisimilitude
• Dualité (géométrie projective)
• Courbe inverse
• Point limite (géométrie)
• Transformation de Möbius
• Géométrie projective
• Hexlet de Soddy
• Inversion de courbes et de surfaces (allemand)

Remarques

Les références

• Altshiller-Court, Nathan (1952), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2e éd.), New York: Barnes & Noble , LCCN  52-13504
• Blair, David E. (2000), Inversion Theory and Conformal Mapping , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2636-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthieu F.; Gray, Jeremy J. (1998), "Chapitre 5: Géométrie Inversive", Géométrie , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 199-260, ISBN 0-521-59787-0
• Coxeter, HSM (1969) [1961], Introduction à la géométrie (2e éd.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Hartshorne, Robin (2000), "Chapitre 7 : Géométrie non euclidienne, Section 37 : Inversion circulaire" , Géométrie : Euclid et au-delà , Springer, ISBN 0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), Géométrie College , New York: Holt, Rinehart et Winston , LCCN  69-12075

Liens externes

• Inversion : Reflet dans un cercle à couper le nœud
• La page de géométrie inversive de Wilson Stother
• IMO Compendium Training Materials problèmes pratiques sur la façon d'utiliser l'inversion pour les problèmes des olympiades mathématiques
• Weisstein, Eric W. "Inversion" . MathWorld .
• Dictionnaire visuel des courbes de plans spéciaux Xah Lee