Élément de volume - Volume element

En mathématiques , un élément de volume fournit un moyen d' intégrer une fonction par rapport au volume dans divers systèmes de coordonnées tels que les coordonnées sphériques et les coordonnées cylindriques . Ainsi, un élément de volume est une expression de la forme

${\displaystyle dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}$

où sont les coordonnées, de sorte que le volume de n'importe quel ensemble peut être calculé par ${\style d'affichage u_{i}}$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\, du_{3}.}$

Par exemple, en coordonnées sphériques , et ainsi . ${\displaystyle dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}$${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

La notion d'élément de volume n'est pas limitée à trois dimensions : en deux dimensions, il est souvent appelé élément de surface , et dans ce cadre, il est utile pour faire des intégrales de surface . Sous les changements de coordonnées, l'élément de volume change de la valeur absolue du déterminant jacobien de la transformation de coordonnées (par la formule de changement de variables ). Ce fait permet aux éléments de volume d'être définis comme une sorte de mesure sur une variété . Sur une orientable variété différentiable , un élément de volume se produit généralement à partir d' une forme de volume : un degré supérieur forme différentielle . Sur une variété non orientable, l'élément de volume est typiquement la valeur absolue d'une forme de volume (définie localement) : il définit une 1-densité .

Élément de volume dans l'espace euclidien

Dans l' espace euclidien , l'élément de volume est donné par le produit des différentielles des coordonnées cartésiennes

${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}$

Dans différents systèmes de coordonnées de la forme , , , l'élément de volume change par le Jacobien (déterminant) du changement de coordonnées : ${\style d'affichage x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\style d'affichage z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$

${\displaystyle dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}}\right|\,du_{ 1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

Par exemple, en coordonnées sphériques (convention mathématique)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned} }}$

le déterminant jacobien est

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$

pour que

${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}$

Cela peut être vu comme un cas particulier du fait que les formes différentielles se transforment par un retrait comme ${\style d'affichage F^{*}}$

${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{ j}}{\partial x^{i}}}\right)dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Elément de volume d'un sous-espace linéaire

Considérons le sous - espace linéaire de n à n dimensions espace euclidien R ⁿ qui est engendré par un ensemble de linéairement indépendants vecteurs

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$

Pour trouver l'élément de volume du sous-espace, il est utile de connaître le fait d'algèbre linéaire que le volume du parallélépipède couvert par le est la racine carrée du déterminant de la matrice gramienne du : ${\style d'affichage X_{i}}$${\style d'affichage X_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$

Tout point p dans le sous-espace peut recevoir des coordonnées telles que ${\style d'affichage (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

En un point p , si nous formons un petit parallélépipède de côtés , alors le volume de ce parallélépipède est la racine carrée du déterminant de la matrice Grammienne ${\displaystyle du_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}} ={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \, du_{k}.}$

Ceci définit donc la forme du volume dans le sous-espace linéaire.

Élément de volume des collecteurs

Sur une variété riemannienne orientée de dimension n , l'élément de volume est une forme de volume égale au dual de Hodge de la fonction constante unitaire, : ${\style d'affichage f(x)=1}$

${\displaystyle \omega =\star 1.}$

De manière équivalente, l'élément de volume est précisément le tenseur de Levi-Civita . En coordonnées, ${\style d'affichage \epsilon }$

${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {|\det g|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

où est le déterminant du tenseur métrique g écrit dans le système de coordonnées. ${\style d'affichage \det g}$

Elément d'aire d'une surface

Un exemple simple d'un élément de volume peut être exploré en considérant une surface bidimensionnelle incluse dans l' espace euclidien n- dimensionnel . Un tel élément de volume est parfois appelé élément de surface . Considérons un sous - ensemble et une fonction de mappage ${\displaystyle U\sous-ensemble \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

définissant ainsi une surface noyée dans . En deux dimensions, le volume n'est que l'aire, et un élément de volume permet de déterminer l'aire des parties de la surface. Ainsi, un élément de volume est une expression de la forme ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}}$

qui permet de calculer l'aire d'un ensemble B se trouvant sur la surface en calculant l'intégrale

${\displaystyle \operatorname {Zone} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}.}$

Ici, nous allons trouver l'élément de volume sur la surface qui définit l'aire au sens habituel. La matrice Jacobienne de la cartographie est

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$

d'indice i allant de 1 à n , et j allant de 1 à 2. La métrique euclidienne dans l' espace à n dimensions induit une métrique sur l'ensemble U , avec des éléments matriciels ${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\ partiel \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$

Le déterminant de la métrique est donné par

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right |^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$

Pour une surface régulière, ce déterminant est non nul ; de manière équivalente, la matrice Jacobienne a le rang 2.

Considérons maintenant un changement de coordonnées sur U , donné par un difféomorphisme

${\displaystyle f\colon U\à U,}$

de sorte que les coordonnées sont données en termes de par . La matrice Jacobienne de cette transformation est donnée par ${\style d'affichage (u_{1},u_{2})}$${\style d'affichage (v_{1},v_{2})}$${\style d'affichage (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$

Dans les nouvelles coordonnées, nous avons

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i} }{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$

et donc la métrique se transforme comme

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$

où est la métrique de retrait dans le système de coordonnées v . Le déterminant est ${\displaystyle {\tilde {g}}}$

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$

Compte tenu de la construction ci-dessus, il devrait maintenant être simple de comprendre comment l'élément de volume est invariant sous un changement de coordonnées préservant l'orientation.

En deux dimensions, le volume n'est que l'aire. L'aire d'un sous - ensemble est donnée par l'intégrale ${\style d'affichage B\sous-ensemble U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\ &=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\ sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{aligned}}}$

Ainsi, dans l'un ou l'autre système de coordonnées, l'élément de volume prend la même expression : l'expression de l'élément de volume est invariante sous un changement de coordonnées.

Notez qu'il n'y avait rien de particulier à deux dimensions dans la présentation ci-dessus ; ce qui précède se généralise trivialement à des dimensions arbitraires.

Exemple : Sphère

Par exemple, considérons la sphère de rayon r centrée à l'origine dans R ³ . Cela peut être paramétré en utilisant des coordonnées sphériques avec la carte

${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_ {2}).}$

Puis

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$

et l'élément de surface est

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.}$

Voir également

• Système de coordonnées cylindriques#Éléments de ligne et de volume
• Système de coordonnées sphériques#Intégration et différenciation en coordonnées sphériques
• Intégrale surfacique
• Intégrale de volume

Les références

• Besse, Arthur L. (1987), Variétés d'Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Résultats en mathématiques et domaines connexes (3)], vol. 10, Berlin, New York : Springer-Verlag , p. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8