Théorème des trois lacunes - Three-gap theorem
En mathématiques, le théorème de trois écart , théorème de trois minutes , ou conjecture Steinhaus stipule que si l' on place n points sur un cercle, à des angles de θ , 2 θ , 3 θ ... à partir du point de départ, alors il y aura au plus trois distances distinctes entre des paires de points dans des positions adjacentes autour du cercle. Lorsqu'il y a trois distances, la plus grande des trois est toujours égale à la somme des deux autres. À moins que θ est un multiple rationnel de π , il y aura aussi au moins deux distances distinctes.
Ce résultat a été conjecturé par Hugo Steinhaus , et prouvé dans les années 1950 par Vera T. Sós , János Surányi et Stanisław Świerczkowski . Ses applications incluent l'étude de la croissance des plantes et des systèmes d'accord musical, ainsi que la théorie des mots sturmiens .
Applications
Dans la phyllotaxie (la théorie de la croissance des plantes), il a été observé que chaque feuille successive sur les tiges de nombreuses plantes est tournée de la feuille précédente par l' angle d'or , d'environ 137,5°. Il a été suggéré que cet angle maximise le pouvoir solaire des feuilles de la plante. Si l'on regarde de bout en bout une tige de plante qui a ainsi poussé, il y aura au plus trois angles distincts entre deux feuilles consécutives dans l'ordre cyclique donné par cette vue de bout. Sur la figure, le plus grand de ces trois angles se produit trois fois, entre les feuilles numérotées 3 et 6, entre les feuilles 4 et 7, et entre les feuilles 5 et 8. Le deuxième plus grand angle se produit cinq fois, entre les feuilles 6 et 1, 9 et 4, 7 et 2, 10 et 5, et 8 et 3. Et le plus petit angle ne se produit que deux fois, entre les feuilles 1 et 9 et entre les feuilles 2 et 10. (Ce phénomène n'a rien à voir avec le nombre d' or ; le la même propriété, d'avoir seulement trois espaces distincts entre des points consécutifs sur un cercle, se produit pour tout autre angle de rotation, et pas seulement pour l'angle d'or.)
En théorie musicale , ce théorème implique que si un système d' accord est généré par un certain nombre de multiples consécutifs d' un intervalle donné , réduit à une séquence cyclique en considérant que deux tons sont équivalents lorsqu'ils diffèrent par des nombres entiers d' octaves , alors il y a au la plupart des trois intervalles différents entre les tons consécutifs de l'échelle. Par exemple, l' accord pythagoricien est ainsi construit à partir de multiples d'une quinte parfaite . Il n'a que deux intervalles distincts représentant ses demi - tons , mais s'il était prolongé d'un pas de plus, la séquence d'intervalles entre ses tons inclurait un troisième intervalle plus court, la virgule de Pythagore .
Dans la théorie des mots sturmiens , le théorème implique que les mots d'une longueur donnée n qui apparaissent dans un mot sturmien donné ont au plus trois fréquences distinctes. S'il y a trois fréquences, alors l'une d'elles doit être égale à la somme des deux autres.
Histoire et preuve
Le théorème des trois lacunes a été conjecturé par Hugo Steinhaus , et ses premières preuves ont été publiées à la fin des années 1950 par Vera T. Sós , János Surányi et Stanisław Świerczkowski . Plusieurs preuves ultérieures ont également été publiées.
La preuve simple suivante est due à Frank Liang. Définir un espace (un arc de cercle entre les points adjacents de l'ensemble donné) pour être rigide si cet écart en rotation selon un angle de θ ne produit pas un autre intervalle de la même longueur. Chaque rotation de θ augmente la position des points d' extrémité d'intervalle dans l'ordre de placement des points, et une telle augmentation ne peut être répété indéfiniment, de sorte que chaque fente a la même longueur que l'écart rigide. Mais les seules manières pour qu'un intervalle soit rigide sont que l'une de ses deux extrémités soit le dernier point de la séquence de placement (de sorte que le point correspondant manque dans l'intervalle pivoté) ou qu'un autre point atterrisse dans sa copie pivotée. Une extrémité ne peut être manquante que si l'espace est l'un des deux espaces de part et d'autre du dernier point dans l'ordre de placement. Et un point ne peut atterrir dans la copie pivotée que s'il s'agit du premier point dans l'ordre de placement. Il peut donc y avoir au plus trois espaces rigides, et au plus trois longueurs d'espaces. De plus, lorsqu'il y en a trois, la copie pivotée d'un espace rigide qui contient le premier point est divisée par ce point en deux espaces plus petits, donc dans ce cas, la longueur d'espace la plus longue est la somme des deux autres.
Un théorème étroitement apparenté , mais plus haut, aussi appelé le théorème de trois écarts, que si A est tout arc de cercle, alors la séquence d'entiers de multiples de θ que la terre en A a au plus trois écarts entre les valeurs de séquence. Encore une fois, s'il y a trois écarts, l'un est la somme des deux autres.