Réversibilité temporelle - Time reversibility

Un processus mathématique ou physique est réversible dans le temps si la dynamique du processus reste bien définie lorsque la séquence d'états temporels est inversée.

Un processus déterministe est réversible dans le temps si le processus inversé dans le temps satisfait les mêmes équations dynamiques que le processus original ; en d'autres termes, les équations sont invariantes ou symétriques sous un changement de signe du temps. Un processus stochastique est réversible si les propriétés statistiques du processus sont les mêmes que les propriétés statistiques des données inversées dans le temps du même processus.

Mathématiques

En mathématiques , un système dynamique est réversible dans le temps si l'évolution vers l'avant est un à un , de sorte que pour chaque état il existe une transformation (une involution ) π qui donne une correspondance un à un entre l'évolution inversée dans le temps d'un état quelconque et l'évolution dans le temps d'un autre état correspondant, donnée par l'équation de l'opérateur :

${\displaystyle U_{-t}=\pi \,U_{t}\,\pi }$

Toutes les structures indépendantes du temps (par exemple les points critiques ou les attracteurs ) auxquelles la dynamique donne lieu doivent donc soit être auto-symétriques, soit avoir des images symétriques sous l'involution .

La physique

En physique , les lois du mouvement de la mécanique classique présentent une réversibilité temporelle, tant que l'opérateur π inverse les moments conjugués de toutes les particules du système, c'est -à- dire ( T-symétrie ). ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p} }$

Dans les systèmes de mécanique quantique , cependant, la force nucléaire faible n'est pas invariante sous la seule symétrie T ; si des interactions faibles sont présentes, des dynamiques réversibles sont encore possibles, mais seulement si l'opérateur π inverse également les signes de toutes les charges et la parité des coordonnées spatiales ( C-symétrie et P-symétrie ). Cette réversibilité de plusieurs propriétés liées est connue sous le nom de symétrie CPT .

Les processus thermodynamiques peuvent être réversibles ou irréversibles , selon le changement d' entropie au cours du processus.

Processus stochastiques

Un processus stochastique est réversible dans le temps si les probabilités conjointes des séquences d'état avant et arrière sont les mêmes pour tous les ensembles d'incréments de temps {  τ _s  }, pour s = 1, ...,  k pour tout k :

${\displaystyle p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_ {t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}})}$

Un processus gaussien stationnaire univarié est réversible dans le temps. Les processus de Markov ne peuvent être réversibles que si leurs distributions stationnaires ont la propriété d' équilibre détaillé :

${\style d'affichage p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=\,p(x_{t}=j,x_{t+1}=i)}$

Le critère de Kolmogorov définit la condition pour qu'une chaîne de Markov ou une chaîne de Markov en temps continu soit réversible dans le temps.

L'inversion temporelle de nombreuses classes de processus stochastiques a été étudiée, notamment les processus de Lévy , les réseaux stochastiques ( lemme de Kelly ), les processus de naissance et de mort , les chaînes de Markov et les processus de Markov déterministes par morceaux .

Ondes et optique

La méthode d'inversion temporelle fonctionne sur la base de la réciprocité linéaire de l' équation d'onde , qui stipule que la solution d'une équation d'onde inversée dans le temps est également une solution à l' équation d'onde puisque les équations d'onde standard ne contiennent que des dérivées égales des variables inconnues. Ainsi, l' équation d'onde est symétrique en cas d'inversion temporelle, de sorte que l'inversion temporelle de toute solution valide est également une solution. Cela signifie que la trajectoire d'une onde dans l'espace est valide lorsqu'elle est parcourue dans les deux sens.

Le traitement du signal d'inversion temporelle est un processus dans lequel cette propriété est utilisée pour inverser un signal reçu ; ce signal est ensuite réémis et une compression temporelle se produit, entraînant une inversion de la forme d'onde d'excitation initiale jouée à la source initiale.

Voir également

• T-symétrie
• Absence de mémoire
• Propriété de Markov
• Informatique réversible

Remarques

Les références

• Isham, V. (1991) "Modélisation des phénomènes stochastiques". Dans : Théorie stochastique et modélisation , Hinkley, DV., Reid, N., Snell, EJ (Eds). Chapman et Hall. ISBN  978-0-412-30590-0 .
• Tong, H. (1990) Séries chronologiques non linéaires : une approche de système dynamique . Oxford UP. ISBN  0-19-852300-9