Tétraèdre trirectangulaire - Trirectangular tetrahedron

Un tétraèdre trirectangulaire peut être construit par un octant de coordonnées et un plan croisant les 3 axes loin de l'origine, comme:
x> 0
y> 0
z> 0
et x / a + y / b + z / c <1

En géométrie , un tétraèdre trirectangulaire est un tétraèdre où les trois angles de face à un sommet sont des angles droits . Ce sommet est appelé l' angle droit du tétraèdre trirectangulaire et la face opposée est appelée la base . Les trois bords qui se rejoignent à angle droit sont appelés les jambes et la perpendiculaire de l'angle droit à la base est appelée l' altitude du tétraèdre.

Seul le graphe bifurquant du groupe Affine Coxeter a un domaine fondamental tétraèdre trirectangulaire. ${\ displaystyle B_ {3}}$

Formules métriques

Si les jambes ont des longueurs a, b, c , alors le tétraèdre trirectangulaire a le volume

{\ displaystyle V = {\ frac {abc} {6}}.}

L'altitude h satisfait

{\ displaystyle {\ frac {1} {h ^ {2}}} = {\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}}.}

L'aire de la base est donnée par ${\ displaystyle T_ {0}}$

{\ displaystyle T_ {0} = {\ frac {abc} {2h}}.}

Théorème de De Gua

Si l' aire de la base est et que les aires des trois autres faces (à angle droit) sont , et , alors ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle T_ {3}}$

{\ displaystyle T_ {0} ^ {2} = T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} + T_ {3} ^ {2}.}

Il s'agit d'une généralisation du théorème de Pythagore à un tétraèdre.

Solution entière

Corps parfait

Bipyramide trirectangulaire avec arêtes (240, 117, 44, 125, 244, 267, 44, 117, 240)

L'aire de la base (a, b, c) est toujours (Gua) un nombre irrationnel. Ainsi, un tétraèdre trirectangulaire à arêtes entières n'est jamais un corps parfait. Le bipyramide trirectangulaire (6 faces, 9 arêtes, 5 sommets) construit à partir de ces tétraèdres trirectangulaires et les gauchers connexes connectés sur leurs bases ont des arêtes, des faces et un volume rationnels, mais l'espace-diagonale interne entre les deux sommets trirectangulaires est toujours irrationnel. Le dernier est le double de l' altitude du tétraèdre trirectangulaire et une partie rationnelle de l'espace-diagonale irrationnelle (prouvée) de la brique Euler associée (bc, ca, ab).

Arêtes entières

Il existe des tétraèdres trirectangulaires avec des jambes et des côtés entiers du triangle de base, par exemple (découvert en 1719 par Halcke). Voici quelques autres exemples avec des jambes et des côtés entiers. ${\ Displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle d = {\ sqrt {b ^ {2} + c ^ {2}}}, e = {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}}, f = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle a = 240, b = 117, c = 44, d = 125, e = 244, f = 267}$

    a        b        c        d        e        f

   240      117       44      125      244      267
   275      252      240      348      365      373
   480      234       88      250      488      534
   550      504      480      696      730      746
   693      480      140      500      707      843
   720      351      132      375      732      801
   720      132       85      157      725      732
   792      231      160      281      808      825
   825      756      720     1044     1095     1119
   960      468      176      500      976     1068
  1100     1008      960     1392     1460     1492
  1155     1100     1008     1492     1533     1595
  1200      585      220      625     1220     1335
  1375     1260     1200     1740     1825     1865
  1386      960      280     1000     1414     1686
  1440      702      264      750     1464     1602
  1440      264      170      314     1450     1464

Notez que certains d'entre eux sont des multiples de plus petits. Notez également A031173 .

Visages entiers

Il existe des tétraèdres trirectangulaires à faces entières et d'altitude h , par exemple sans ou avec coprime . ${\ displaystyle T_ {c}, T_ {a}, T_ {b}, T_ {0}}$ ${\ displaystyle a = 42, b = 28, c = 14, T_ {c} = 588, T_ {a} = 196, T_ {b} = 294, T_ {0} = 686, h = 12}$ ${\ displaystyle a = 156, b = 80, c = 65, T_ {c} = 6240, T_ {a} = 2600, T_ {b} = 5070, T_ {0} = 8450, h = 48}$ ${\ Displaystyle a, b, c}$