Disphénoïde - Disphenoid

Les disphénoïdes tétragonaux et digonaux peuvent être positionnés à l'intérieur d'un cuboïde coupant deux faces opposées. Les deux ont quatre bords égaux sur les côtés. Le digonal a deux paires de faces triangulaires isocèles congruentes, tandis que le tétragonal a quatre faces triangulaires isocèles congruentes.

Un disphénoïde rhombique a des faces triangulaires scalènes congruentes et peut s'ajuster en diagonale à l'intérieur d'un cuboïde . Il a trois ensembles de longueurs d'arête, existant sous forme de paires opposées.

En géométrie , un disphénoïde (du grec sphenoeides, "wedgelike") est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles à angle aigu congruents . Il peut également être décrit comme un tétraèdre dans lequel tous les deux bords opposés ont des longueurs égales. D' autres noms pour la même forme sont sphénoïde , bisphenoid , isocèles tétraèdre , equifacial tétraèdre , tétraèdre presque régulière , et tetramonohedron .

Tous les angles solides et figures de sommet d'un disphénoïde sont les mêmes, et la somme des angles de face à chaque sommet est égale à deux angles droits . Cependant, un disphénoïde n'est pas un polyèdre régulier , car, en général, ses faces ne sont pas des polygones réguliers et ses arêtes ont trois longueurs différentes.

Cas particuliers et généralisations

Si les faces d'un disphénoïde sont des triangles équilatéraux , il s'agit d'un tétraèdre régulier avec une symétrie tétraédrique T _d , bien que ce ne soit pas normalement appelé disphénoïde. Lorsque les faces d'un disphénoïde sont des triangles isocèles , on parle de disphénoïde tétragonal . Dans ce cas, il présente une symétrie dièdre D _2d . Un sphénoïde avec des triangles scalènes comme faces est appelé disphénoïde rhombique et il a une symétrie dièdre D ₂ . Contrairement au disphénoïde tétragonal, le disphénoïde rhombique n'a pas de symétrie de réflexion , il est donc chiral . Les disphénoïdes tétragonaux et les disphénoïdes rhombiques sont des isoèdres : en plus d'être congruents l'un à l'autre, toutes leurs faces sont symétriques l'une par rapport à l'autre.

Il est impossible de construire un disphenoid avec triangle rectangle ou triangle obtus visages. Lorsque les triangles rectangles sont collés ensemble selon le motif d'un disphénoïde, ils forment une figure plate (un rectangle doublement couvert) qui ne renferme aucun volume. Lorsque des triangles obtus sont collés de cette manière, la surface résultante peut être pliée pour former un disphénoïde (par le théorème d'unicité d' Alexandrov ) mais un avec des faces triangulaires aiguës et avec des arêtes qui en général ne se trouvent pas le long des bords des triangles obtus donnés.

Deux autres types de tétraèdre généralisent le disphénoïde et ont des noms similaires. Le disphénoïde digonal a des faces de deux formes différentes, les deux triangles isocèles, avec deux faces de chaque forme. Le disphénoïde phyllique a de même des faces avec deux formes de triangles scalènes.

Les disphénoïdes peuvent également être considérés comme des antiprismes digonaux ou comme des prismes quadrilatères alternés .

Caractérisations

Un tétraèdre est un disphénoïde si et seulement si son parallélépipède circonscrit est rectangle.

Nous avons aussi qu'un tétraèdre est un disphénoïde si et seulement si le centre de la sphère circonscrite et la sphère inscrite coïncident.

Une autre caractérisation indique que si d ₁ , d ₂ et d ₃ sont les perpendiculaires communes de AB et CD ; AC et BD ; et AD et BC respectivement dans un tétraèdre ABCD , alors le tétraèdre est un disphénoïde si et seulement si d ₁ , d ₂ et d ₃ sont perpendiculaires par paires .

Les disphénoïdes sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes . Sur un disphénoïde, toutes les géodésiques fermées ne se croisent pas.

Les disphénoïdes sont les tétraèdres dans lesquels les quatre faces ont le même périmètre , les tétraèdres dans lesquels les quatre faces ont la même aire et les tétraèdres dans lesquels les défauts angulaires des quatre sommets sont égaux à π . Ce sont les polyèdres ayant un filet en forme de triangle aigu, divisé en quatre triangles similaires par des segments reliant les points médians des bords.

Formules métriques

Le volume d'un disphénoïde avec des bords opposés de longueur l , m et n est donné par

${\ displaystyle V = {\ sqrt {\ frac {(l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}) (l ^ {2} -m ^ {2} + n ^ {2}) (-l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2})} {72}}}.}$

La sphère circonscrite a un rayon (le circumradius)

${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}} {8}}}}$

et la sphère inscrite a un rayon

${\ displaystyle r = {\ frac {3V} {4T}}}$

où V est le volume du disphénoïde et T est l'aire de n'importe quel visage, qui est donnée par la formule de Heron . Il y a aussi la relation intéressante suivante reliant le volume et le circumradius:

${\ displaystyle \ displaystyle 16T ^ {2} R ^ {2} = l ^ {2} m ^ {2} n ^ {2} + 9V ^ {2}.}$

Les carrés des longueurs des bimédiens sont

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}), \ quad {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2 } -m ^ {2} + n ^ {2}), \ quad {\ tfrac {1} {2}} (- l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}).}$

Autres propriétés

Si les quatre faces d'un tétraèdre ont le même périmètre, alors le tétraèdre est un disphénoïde.

Si les quatre faces d'un tétraèdre ont la même surface, alors c'est un disphénoïde.

Les centres des sphères circonscrites et inscrites coïncident avec le centre de gravité du disphénoïde.

Les bimédiens sont perpendiculaires aux bords qu'ils relient et entre eux.

Nids d'abeilles et cristaux

Disphénoïde tétraédrique remplissant l'espace à l'intérieur d'un cube. Deux arêtes ont des angles dièdres de 90 ° et quatre arêtes ont des angles dièdres de 60 °.

Certains disphénoïdes tétragonaux formeront des nids d'abeilles . Le disphénoïde dont les quatre sommets sont (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) et (0, 1, -1) est un tel disphénoïde. Chacune de ses quatre faces est un triangle isocèle avec des arêtes de longueurs √ 3 , √ 3 et 2. Il peut tesseller l' espace pour former le nid d'abeilles tétraédrique disphénoïde . Comme le décrit Gibb (1990) , il peut être plié sans découpe ni chevauchement à partir d'une seule feuille de papier A4 .

«Disphénoïde» est également utilisé pour décrire deux formes de cristal :

• Forme cristalline en forme de coin du système tétragonal ou orthorhombique . Il présente quatre faces triangulaires qui se ressemblent et qui correspondent en position à des faces alternées de la dipyramide tétragonale ou orthorhombique . Il est symétrique autour de chacun des trois axes de symétrie diad mutuellement perpendiculaires dans toutes les classes sauf le tétragonal-disphénoïdal, dans lequel la forme est générée par un axe de symétrie tétrade inverse.
• Forme cristalline délimitée par huit triangles scalènes disposés par paires, constituant un scalénoèdre tétragonal .

Autres utilisations

Six disphénoïdes tétragonaux attachés bout à bout dans un anneau construisent un kaléidocycle , un jouet en papier qui peut tourner sur 4 ensembles de faces dans un hexagone.

Voir également

• Tétraèdre orthocentrique
• Disphénoïde snub - Un solide de Johnson avec 12 faces triangulaires équilatérales et une symétrie D _2d .
• Tétraèdre trirectangulaire

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Disphenoid" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "tétraèdre isocèle" . MathWorld .